Вектор ба вектор орон зай. вектор орон зай

4.3.1 Шугаман орон зайн тодорхойлолт

Болъё ā , , - зарим багцын элементүүд ā , , Газар λ , μ - бодит тоо, λ , μ Р..

L олонлогийг нэрлэдэгшугаман эсвэлвектор орон зай, хэрэв хоёр үйлдлийг тодорхойлсон бол:

1 0 . Нэмэлт. Энэ олонлогийн хос элемент бүр нь тэдгээрийн нийлбэр гэж нэрлэгддэг ижил олонлогийн элементтэй холбоотой байдаг

ā + =

2°.Тооноор үржүүлэх. Аливаа бодит тоо λ ба элемент ā Лижил олонлогийн элементийг томилсон λ ā Лмөн дараах шинж чанаруудыг хангасан байна.

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. байдаг null элемент
, ийм ā +=ā ;

4. байдаг эсрэг элемент -
тиймэрхүү ā +(-ā )=.

Хэрэв λ , μ - бодит тоо, дараа нь:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Шугаман орон зайн элементүүд ā, , ... векторууд гэж нэрлэдэг.

Дасгал хийх.Эдгээр олонлогууд нь шугаман орон зайг бүрдүүлдэг гэдгийг өөртөө харуул:

1) Хавтгай дээрх геометрийн векторуудын багц;

2) Гурван хэмжээст орон зай дахь геометрийн векторуудын багц;

3) Тодорхой хэмжээний олон гишүүнтийн багц;

4) Ижил хэмжээтэй матрицын багц.

4.3.2 Шугаман хамааралтай ба бие даасан векторууд. Орон зайн хэмжээс ба суурь

Шугаман хослол векторууд ā 1 , ā 2 , …, ā n Лхэлбэрийн ижил орон зайн вектор гэж нэрлэдэг:

,

Хаана λ i - бодит тоо.

Векторууд ā 1 , .. , ā n дуудсаншугаман бие даасан, хэрэв бүх λ байвал тэдгээрийн шугаман хослол тэг вектор болби тэгтэй тэнцүү,тэр бол

λ i=0

Хэрэв шугаман хослол нь тэг вектор ба дор хаяж нэг нь байвал λ битэгээс ялгаатай бол эдгээр векторуудыг шугаман хамааралтай гэж нэрлэдэг. Сүүлийнх нь векторуудын дор хаяж нэгийг нь бусад векторуудын шугаман хослол хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн үг юм. Үнэн хэрэгтээ, жишээлбэл,
. Дараа нь,
, Хаана

.

Хамгийн их шугаман бие даасан эмх цэгцтэй векторуудын системийг гэнэ суурь зай Л. Суурь векторуудын тоог нэрлэнэ хэмжээс зай.

Байгаа гэж бодъё nшугаман бие даасан векторууд, дараа нь орон зай гэж нэрлэдэг n- хэмжээст. Бусад орон зайн векторуудыг шугаман хослол хэлбэрээр илэрхийлж болно nсуурь векторууд. суурь тус бүрээр n- хэмжээст орон зайг авч болно ямар ч nэнэ орон зайн шугаман бие даасан векторууд.

Жишээ 17.Өгөгдсөн шугаман орон зайн суурь ба хэмжээсийг ол:

a) нэг шулуун дээр байрлах векторуудын багц (зарим шулуунтай давхцах)

б) хавтгайд хамаарах векторуудын олонлог

в) гурван хэмжээст орон зайн векторуудын багц

г) хамгийн ихдээ хоёр зэрэгтэй олон гишүүнтийн олонлог.

Шийдэл.

A)Векторууд нь коллинеар байдаг тул нэг шулуун дээр байрлах дурын хоёр вектор шугаман хамааралтай байх болно
, Тэр
, λ - скаляр. Иймээс энэ орон зайн суурь нь тэгээс өөр зөвхөн нэг (ямар ч) вектор юм.

Ихэвчлэн энэ зай байдаг Р, түүний хэмжээ 1.

б)дурын хоёр коллинеар бус вектор
нь шугаман хамааралгүй, хавтгай дээрх дурын гурван вектор нь шугаман хамааралтай байна. Аливаа векторын хувьд , тоонууд байна  Тэгээд  тиймэрхүү
. Орон зайг хоёр хэмжээст гэж нэрлэдэг, тэмдэглэсэн Р 2 .

Хоёр хэмжээст орон зайн суурь нь дурын хоёр коллинеар бус вектороор бүрддэг.

V)Дурын гурван давхцаагүй вектор нь шугаман бие даасан байх бөгөөд тэдгээр нь гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог. Р 3 .

G)Хамгийн ихдээ хоёр зэрэгтэй олон гишүүнт орон зайг үндэс болгон дараах гурван векторыг сонгож болно. ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 нь нэгтэй ижил олон гишүүнт). Энэ орон зай гурван хэмжээст байх болно.

Лекц 6. Вектор орон зай.

Гол асуултууд.

1. Вектор шугаман орон зай.

2. Орон зайн суурь ба хэмжээ.

3. Орон зайн чиг баримжаа.

4. Векторыг суурийн хувьд задлах.

5. Вектор координат.

1. Вектор шугаман орон зай.

Шугаман үйлдлүүдийг тодорхойлсон дурын шинж чанартай элементүүдээс бүрдэх олонлогийг: хоёр элемент нэмэх, элементийг тоогоор үржүүлэх үйлдлийг гэнэ. зай, тэдгээрийн элементүүд нь векторуудэнэ орон зайг геометрийн вектор хэмжигдэхүүнтэй адил тэмдэглэнэ: . ВекторуудИйм хийсвэр орон зай нь дүрмээр бол энгийн геометрийн векторуудтай ямар ч нийтлэг байдаггүй. Хийсвэр орон зайн элементүүд нь функц, тоон систем, матриц гэх мэт, тодорхой тохиолдолд энгийн векторууд байж болно. Тиймээс ийм орон зайг нэрлэдэг вектор орон зай .

Вектор орон зай нь, Жишээлбэл, коллинеар векторуудын олонлог, гэж тэмдэглэгдсэн В1 , coplanar векторуудын багц В2 , энгийн (бодит орон зай) векторуудын багц В3 .

Энэ тохиолдолд бид вектор орон зайн дараах тодорхойлолтыг өгч болно.

Тодорхойлолт 1.Векторуудын олонлогийг нэрлэдэг вектор орон зай, хэрэв олонлогийн дурын векторуудын шугаман хослол нь мөн энэ олонлогийн вектор бол. Векторуудыг өөрсдөө гэж нэрлэдэг элементүүдвектор орон зай.

Онолын болон хэрэглээний хувьд илүү чухал нь вектор орон зайн ерөнхий (хийсвэр) ойлголт юм.

Тодорхойлолт 2.Цөөн хэдэн Раль ч хоёр элемент болон нийлбэрийг тодорхойлсон элементүүд болон аль ч элементийн хувьд https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> гэж нэрлэдэг. вектор(эсвэл шугаман) зайвектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх үйлдлүүд дараах нөхцлүүдийг хангаж байвал түүний элементүүд нь векторууд болно. аксиомууд) :

1) нэмэх нь солигддог, өөрөөр хэлбэл.gif" width="184" height="25">;

3) ямар ч https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= гэсэн ийм элемент (тэг вектор) байдаг. " 99" өндөр "27">;

5) дурын вектор болон дурын λ тооны хувьд тэгш байдал биелнэ;

6) дурын вектор болон дурын тооны хувьд λ Тэгээд µ тэгш байдал хүчинтэй байна https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> болон дурын тоо λ Тэгээд µ шударга ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

Вектор орон зайг тодорхойлсон аксиомуудаас хамгийн энгийнийг нь дага үр дагавар :

1. Вектор орон зайд зөвхөн нэг тэг - элемент - тэг вектор байна.

2. Вектор орон зайд вектор бүр өвөрмөц эсрэг вектортой байна.

3. Элемент бүрийн хувьд тэгш байдал биелэгдэнэ.

4. Аливаа бодит тооны хувьд λ болон тэг вектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" өргөн "145" өндөр "28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> нь тэгш байдлыг хангасан вектор юм https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" өргөн "73" өндөр "24">.

Тиймээс, үнэхээр бүх геометрийн векторуудын олонлог нь шугаман (вектор) орон зай юм, учир нь энэ олонлогийн элементүүдийн хувьд томъёолсон аксиомуудыг хангасан тоог нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүд тодорхойлогддог.

2. Орон зайн суурь ба хэмжээ.

Вектор орон зайн үндсэн ойлголтууд нь суурь ба хэмжээсийн тухай ойлголтууд юм.

Тодорхойлолт.Орон зайн дурын векторыг шугаман байдлаар илэрхийлэх тодорхой дарааллаар авсан шугаман бие даасан векторуудын багцыг гэнэ. суурьэнэ орон зай. Векторууд. Суурийг бүрдүүлдэг орон зайг нэрлэдэг үндсэн .

Дурын шулуун дээр байрлах векторуудын олонлогын суурь нь энэ шулууны вектортой нэг коллинеар гэж үзэж болно.

Онгоцонд үндэслэсэнтодорхой дарааллаар авсан энэ хавтгай дээрх хоёр коллинеар бус векторыг нэрлэе https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Хэрэв суурь векторууд нь хос перпендикуляр (ортогональ) байвал суурь гэж нэрлэдэг ортогональ, хэрэв эдгээр векторууд нэгтэй тэнцүү урттай бол суурийг дуудна ортонормаль .

Хамгийн том тооорон зайн шугаман бие даасан векторууд гэж нэрлэдэг хэмжээсэнэ орон зай, өөрөөр хэлбэл, орон зайн хэмжээс нь энэ орон зайн суурь векторуудын тоотой давхцдаг.

Тиймээс эдгээр тодорхойлолтуудын дагуу:

1. Нэг хэмжээст орон зай В1 шулуун шугам бөгөөд суурь нь -аас бүрдэнэ нэг шугаманвектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" өргөн "39" өндөр "23 src=">.

3. Энгийн орон зай нь гурван хэмжээст орон зай юм В3 , түүний суурь нь бүрддэг гурван хосгүйвекторууд.

Эндээс бид бодит орон зай дахь шулуун, хавтгай дээрх суурь векторуудын тоо нь геометрт шулуун шугам, хавтгай, орон зайн хэмжээсүүдийн тоо (хэмжээ) гэж нэрлэгддэг зүйлтэй давхцаж байгааг харж байна. Тиймээс илүү ерөнхий тодорхойлолтыг оруулах нь зүйн хэрэг.

Тодорхойлолт.вектор орон зай Рдуудсан n- хамгийн ихдээ багтаасан бол хэмжээст nшугаман бие даасан векторууд ба тэмдэглэнэ Р n. Тоо nдуудсан хэмжээсзай.

Хэмжээний дагуу орон зайг хуваана хязгаарлагдмал хэмжээстТэгээд хязгааргүй хэмжээст. Тодорхойлолтоор тэг орон зайн хэмжээсийг тэг гэж үздэг.

Тайлбар 1.Орон зай бүрт та хэдэн ч суурийг зааж өгч болно, гэхдээ энэ зайны бүх суурь нь ижил тооны векторуудаас бүрдэнэ.

Тайлбар 2. IN n- хэмжээст вектор орон зайд суурь нь ямар ч эрэмбэлэгдсэн цуглуулга юм nшугаман бие даасан векторууд.

3. Орон зайн чиг баримжаа.

Суурь векторуудыг орон зайд оруулъя В3 байна нийтлэг эхлэлТэгээд захиалсан, өөрөөр хэлбэл аль векторыг эхнийх, аль нь хоёр дахь, аль нь гуравдугаарт тооцогдохыг зааж өгсөн болно. Жишээлбэл, үндсэндээ векторуудыг индексжүүлэлтийн дагуу эрэмбэлдэг.

Үүний төлөө орон зайг чиглүүлэхийн тулд ямар нэгэн үндэслэл тогтоож, эерэгээр зарлах шаардлагатай .

Орон зайн бүх суурийн олонлог нь хоёр ангилалд, өөрөөр хэлбэл огтлолцдоггүй хоёр дэд олонлогт багтдаг болохыг харуулж болно.

a) нэг дэд бүлэгт (ангид) хамаарах бүх суурь нь байна адилханчиг баримжаа (ижил нэртэй суурь);

б) хамаарах дурын хоёр суурь янз бүрийндэд олонлогууд (ангиуд), байна эсрэгчиг баримжаа, ( өөр өөр нэрссуурь).

Хэрэв орон зайн суурийн хоёр ангиллын нэг нь эерэг, нөгөө нь сөрөг гэж зарлагдвал энэ орон зай гэж бид хэлнэ. чиглэсэн .

Ихэнхдээ орон зайг чиглүүлэхдээ зарим суурийг дууддаг зөв, бусад нь байхад зүүний үзэлтнүүд .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв гурав дахь векторын төгсгөлөөс ажиглах үед эхний векторын хамгийн богино эргэлт https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> явуулж байна цагийн зүүний эсрэг(Зураг 1.8, а).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" өргөн "15" өндөр "23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Цагаан будаа. 1.8. Баруун суурь (a) ба зүүн суурь (б)

Ихэвчлэн орон зайн зөв суурь нь эерэг суурь гэж тунхагладаг

Орон зайн баруун (зүүн) суурийг мөн "баруун" ("зүүн") шураг эсвэл гимлетийн дүрмийг ашиглан тодорхойлж болно.

Үүнтэй адилтгаж үзвэл баруун, зүүн гэсэн ойлголт гурван ихэрЗахиалга өгөх ёстой нэмэлт бус векторууд (Зураг 1.8).

Тиймээс, ерөнхий тохиолдолд, хуваарьгүй векторуудын хоёр дараалсан гурвалсан орон зайд ижил чиглэлтэй (ижил нэртэй) байна. В3 хэрэв тэдгээр нь хоёулаа баруун эсвэл хоёулаа зүүн, мөн - эсрэг чиглэл (эсрэг), хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь баруун, нөгөө нь зүүн байвал.

Орон зайн хувьд ч мөн адил хийгддэг В2 (онгоц).

4. Векторыг суурийн хувьд задлах.

Үндэслэлийг хялбарчлахын тулд бид энэ асуултыг гурван хэмжээст вектор орон зайн жишээн дээр авч үзэх болно Р3 .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> энэ зайны дурын вектор байг.

3-р бүлэг Шугаман вектор орон зай

Сэдэв 8. Шугаман вектор орон зай

Шугаман орон зайн тодорхойлолт. Шугаман орон зайн жишээ

2.1-ээс чөлөөт вектор нэмэх үйлдлийг тодорхойлсон Р 3 ба векторыг бодит тоогоор үржүүлэх үйлдлүүд ба эдгээр үйлдлүүдийн шинж чанаруудыг мөн жагсаасан болно. Эдгээр үйлдлүүд болон тэдгээрийн шинж чанаруудыг дурын шинж чанартай объектуудын (элементүүдийн) багц болгон өргөтгөх нь геометрийн векторуудын шугаман орон зайн тухай ойлголтыг ерөнхийд нь гаргахад хүргэдэг. Р§2.1-д тодорхойлсон 3. Шугаман вектор орон зайн тодорхойлолтыг томъёолъё.

Тодорхойлолт 8.1.Цөөн хэдэн Вэлементүүд X , цагт , z ,... гэж нэрлэдэг шугаман вектор орон зай, Хэрэв:

хоёр элемент тус бүр нь гэсэн дүрэм байдаг x Тэгээд цагт -аас В-ийн гурав дахь элементтэй таарч байна В, дуудсан нийлбэр X Тэгээд цагт ба тэмдэглэсэн X + цагт ;

элемент бүр гэсэн дүрэм байдаг x ямар ч бодит тоо нь элементийг холбодог В, дуудсан элементийн бүтээгдэхүүн Xтоо бүртба тэмдэглэсэн x .

Дурын хоёр элементийн нийлбэр X + цагт мөн ажил x Дурын тоонд хамаарах аливаа элемент нь дараах шаардлагыг хангасан байх ёстой шугаман орон зайн аксиомууд:

1°. X + цагт = цагт + X (нэмэлтийн шилжих чадвар).

2°. ( X + цагт ) + z = X + (цагт + z ) (нэмэлтийн холбоо).

3°. Элемент байна 0 , дуудсан тэг, ийм

X + 0 = X , x .

4°. Хэнд ч зориулав x элемент байна (- X ), дуудсан эсрэг X , ийм

X + (– X ) = 0 .

5°. ( x ) = ()x , x , , Р.

6°. x = x , x .

7°. () x = x + x , x , , Р.

8°. ( X + цагт ) = x + y , x , y , Р.

Шугаман орон зайн элементүүдийг дуудах болно векторуудтэдгээрийн мөн чанараас үл хамааран.

Энэ нь 1°–8° аксиомуудаас харахад ямар ч шугаман орон зайд байдаг Вдараах шинж чанарууд үнэн байна:

1) өвөрмөц тэг вектор байдаг;

2) вектор бүрийн хувьд x нэг эсрэг вектор байна (– X ), ба (- X ) = (–l) X ;

3) дурын векторын хувьд X тэгш байдал 0 × X = 0 .

Жишээлбэл, 1) өмчийг баталцгаая. Үүнийг сансарт гэж үзье Вхоёр тэг байна: 0 1 ба 0 2. Аксиомд 3° оруулах X = 0 1 , 0 = 0 2, бид авдаг 0 1 + 0 2 = 0 1 . Үүний нэгэн адил, хэрэв X = 0 2 , 0 = 0 1, тэгвэл 0 2 + 0 1 = 0 2. 1 ° аксиомыг харгалзан бид олж авна 0 1 = 0 2 .

Бид шугаман орон зайн жишээг өгдөг.

1. Олон бодит тоошугаман орон зайг бүрдүүлдэг Р. 1°-8° аксиомууд үүнд сэтгэл хангалуун байгаа нь ойлгомжтой.

2. §2.1-д үзүүлсэн гурван хэмжээст орон зай дахь чөлөөт векторуудын олонлог нь мөн шугаман орон зайг бүрдүүлдэг ба үүнийг тэмдэглэнэ. Р 3 . Тэг вектор нь энэ зайны тэг юм.

Хавтгай ба шулуун дээрх векторуудын багц нь мөн шугаман орон зай юм. Бид тэдгээрийг тэмдэглэнэ Р 1 ба Р 2 тус тус.

3. Орон зайн ерөнхий ойлголт Р 1 , Р 2 ба Р 3 нь орон зайд үйлчилдэг Рn, n Ндуудсан арифметик n хэмжээст орон зай, тэдгээрийн элементүүд (векторууд) нь захиалгат цуглуулгууд юм nдурын бодит тоо ( x 1 ,…, x n), i.e.

Рn = {(x 1 ,…, x n) | x i Р, би = 1,…, n}.

Тэмдэглэгээг ашиглах нь тохиромжтой x = (x 1 ,…, x n), үүнд x iдуудсан i-р координат(бүрэлдэхүүн хэсэг)вектор x .

Учир нь X , цагт РnТэгээд РДараах томьёогоор нэмэх ба үржүүлэхийг тодорхойлъё.

X + цагт = (x 1 + y 1 ,…, x n+ у н);

x = (x 1 ,…, x n).

Тэг орон зай элемент Рnвектор юм 0 = (0,…, 0). Хоёр векторын тэгш байдал X = (x 1 ,…, x n) Мөн цагт = (y 1 ,…, у н) -аас Рn, тодорхойлолтоор харгалзах координатын тэгш байдлыг илэрхийлнэ, i.e. X = цагт Û x 1 = y 1 &… & x n = у н.

1°–8° аксиомуудын биелэлт энд тодорхой харагдаж байна.

4. Болъё C [ а ; б] нь [ сегмент дээрх бодит тасралтгүй олонлог юм. а; б] функцууд е: [а; б] Р.

Функцуудын нийлбэр еТэгээд g-аас C [ а ; б] функц гэж нэрлэдэг h = е + g, тэгш эрхээр тодорхойлогддог

h = е + g Û h(x) = (е + g)(x) = е(X) + g(x), " x Î [ а; б].

Функциональ бүтээгдэхүүн е Î C [ а ; б] дугаарлах а Î Ртэгш эрхээр тодорхойлогддог

у = е Û у(X) = (е)(X) = е(x), " x Î [ а; б].

Ийнхүү хоёр функцийг нэмэх, функцийг тоогоор үржүүлэх үйлдлүүд олонлогийг эргүүлнэ C [ а ; б] векторууд нь функц болох шугаман орон зайд. 1°–8° аксиомууд энэ орон зайд байх нь ойлгомжтой. Энэ зайны тэг вектор нь ижил тэг функц ба хоёр функцийн тэгш байдал юм еТэгээд gТодорхойлолтоор дараахь зүйлийг хэлнэ.

е = g е(x) = g(x), " x Î [ а; б].

Ийм вектор орон зайд харгалзах. Зарим зохиогчид Евклидийн болон Гильбертийн өмнөх орон зайг адилтгадаг. Энэ нийтлэлд эхний тодорхойлолтыг эхнийх нь гэж үзэх болно.

N (\displaystyle n)-хэмжээт Евклидийн орон зайг ихэвчлэн тэмдэглэдэг E n (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)); Тухайн орон зайг байгалийн Евклидийн бүтэцээр хангасан нь контекстээс тодорхой болсон тохиолдолд тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг.

Албан ёсны тодорхойлолт

Евклидийн орон зайг тодорхойлохын тулд цэгийн үржвэрийн үндсэн ойлголтыг авахад хялбар байдаг. Евклидийн вектор орон зай нь бодит тоонуудын талбар дээрх хязгаарлагдмал хэмжээст вектор орон зай гэж тодорхойлогддог бөгөөд тэдгээрийн хос вектор дээр бодит утгатай функц өгөгдсөн байдаг. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot,\cdot),)дараах гурван шинж чанартай:

Евклидийн орон зайн жишээ - координатын орон зай R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),)янз бүрийн багцаас бүрдэнэ бодит тоо (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots,x_(n)),)томъёогоор тодорхойлогддог скаляр бүтээгдэхүүн (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\нийлбэр _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Урт ба өнцөг

Евклидийн орон зайд өгсөн скаляр үржвэр нь урт ба өнцгийн геометрийн ойлголтыг нэвтрүүлэхэд хангалттай юм. Вектор урт u (\displaystyle u)гэж тодорхойлсон (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))ба тэмдэглэсэн | у | . (\displaystyle |u|.)Дотоод үржвэрийн эерэг тодорхой байдал нь тэгээс өөр векторын урт нь тэг биш гэдгийг баталгаажуулдаг бөгөөд энэ нь хоёр шугаман байдлаас гарах болно. | a u | = | a | | у | , (\displaystyle |au|=|a||u|,)өөрөөр хэлбэл пропорциональ векторуудын урт нь пропорциональ байна.

Векторуудын хоорондох өнцөг u (\displaystyle u)Тэгээд v (\displaystyle v)томъёогоор тодорхойлно φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|)}\баруун).)Косинусын теоремоос хоёр хэмжээст Евклидийн орон зайд ( евклидийн хавтгай) энэ тодорхойлолтөнцөг нь ердийнхтэй давхцдаг. Гурван хэмжээст орон зайн адил тэгш өнцөгт векторуудыг векторууд гэж тодорхойлж болно, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь тэнцүү байна. π 2. (\ displaystyle (\ frac (\ pi ) (2)).)

Коши-Буняковский-Шварцын тэгш бус байдал ба гурвалжингийн тэгш бус байдал

Дээр өгөгдсөн өнцгийн тодорхойлолтод нэг цоорхой үлдсэн байна: тулд arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\баруун))гэж тодорхойлсон, энэ нь тэгш бус байдал зайлшгүй шаардлагатай | (x, y) | x | | у | | ≤ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)Энэхүү тэгш бус байдал нь үнэхээр дурын Евклидийн орон зайд байдаг бөгөөд үүнийг Коши-Буняковский-Шварцын тэгш бус байдал гэж нэрлэдэг. Энэ тэгш бус байдал нь эргээд гурвалжингийн тэгш бус байдлыг илэрхийлнэ. | u+v | ⩽ | у | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.)Гурвалжны тэгш бус байдал нь дээр дурдсан уртын шинж чанаруудын хамт векторын урт нь Евклидийн вектор орон зайн норм ба функц гэсэн үг юм. d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)Евклидийн орон зайн хэмжүүрийн орон зайн бүтцийг тодорхойлдог (энэ функцийг Евклидийн хэмжүүр гэж нэрлэдэг). Ялангуяа элементүүдийн хоорондох зай (цэг) x (\displaystyle x)Тэгээд y (\displaystyle y)координатын орон зай R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))томъёогоор өгөгдсөн d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\нийлбэр _(i=1)^(n)) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Алгебрийн шинж чанарууд

Ортонормаль суурь

Хос зай ба операторууд

Аливаа вектор x (\displaystyle x)Евклидийн орон зай нь шугаман функцийг тодорхойлдог x ∗ (\displaystyle x^(*))гэж тодорхойлсон энэ зай дээр x ∗ (y) = (x , y) . (\ displaystyle x^(*)(y)=(x,y).)Энэхүү харьцуулалт нь Евклидийн орон зай ба түүний хос орон зайн хоорондох изоморфизм бөгөөд тооцоололд саад учруулахгүйгээр тэдгээрийг тодорхойлох боломжийг олгодог. Ялангуяа хавсарсан операторууд нь түүний давхард биш, харин анхны орон зайд үйлчилдэг гэж үзэж болох бөгөөд өөрөө залгах операторууд нь залгаатай нь давхцаж байгаа операторууд гэж тодорхойлж болно. Ортонормаль суурьт залгах операторын матрицыг анхны операторын матриц руу шилжүүлдэг ба өөрөө залгах операторын матриц нь тэгш хэмтэй байна.

Евклидийн орон зайн хөдөлгөөн

Евклидийн орон зайн хөдөлгөөн нь хэмжигдэхүүнийг хадгалдаг хувиргалт (мөн изометр гэж нэрлэдэг) юм. Хөдөлгөөний жишээ - Вектор руу параллель орчуулга v (\displaystyle v), энэ нь цэгийг орчуулдаг p (\displaystyle p)яг p+v (\displaystyle p+v). Аливаа хөдөлгөөн нь нэг цэгийг тогтворжуулсан зэрэгцээ орчуулга, хувиргалтаас бүрдсэн найрлага гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. Тогтмол цэгийг гарал үүсэл болгон сонгосноор аливаа ийм хөдөлгөөнийг гэж үзэж болно

Википедиа, чөлөөт нэвтэрхий толь

вектор(эсвэл шугаман) зай- скаляр - бие биенээ нэмэх, тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдийг тодорхойлсон вектор гэж нэрлэгддэг элементүүдийн багц болох математикийн бүтэц. Эдгээр үйлдлүүд нь найман аксиомд хамаарна. Скаляр нь бодит, комплекс эсвэл бусад тооны талбарын элементүүд байж болно. Ийм орон зайн онцгой тохиолдол бол ердийн гурван хэмжээст Евклидийн орон зай бөгөөд тэдгээрийн векторууд нь жишээлбэл, физик хүчийг илэрхийлэхэд ашиглагддаг. Үүний зэрэгцээ вектор орон зайн элемент болох векторыг чиглэсэн сегмент хэлбэрээр зааж өгөх шаардлагагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Аливаа шинж чанартай вектор орон зайн элементэд "вектор" гэсэн ойлголтыг нэгтгэн дүгнэх нь нэр томьёо төөрөгдүүлэхээс гадна дурын шинж чанартай орон зайн хувьд хүчинтэй хэд хэдэн үр дүнг ойлгох эсвэл бүр урьдчилан таамаглах боломжийг бидэнд олгодог. .

Вектор орон зай нь шугаман алгебрийн судалгааны сэдэв юм. Вектор орон зайн гол шинж чанаруудын нэг нь түүний хэмжээс юм. Хэмжээ гэдэг нь огторгуйн шугаман бие даасан элементүүдийн хамгийн их тоо, өөрөөр хэлбэл барзгар геометрийн тайлбарыг ашиглах замаар зөвхөн скаляраар нэмэх, үржүүлэх үйлдлээр бие биенээ илэрхийлэх боломжгүй чиглэлүүдийн тоо юм. Вектор орон зай нь норм эсвэл цэгийн бүтээгдэхүүн гэх мэт нэмэлт бүтэцтэй байж болно. Ийм орон зай нь байгалийн тооцоололд ихэвчлэн хязгааргүй хэмжээст функцын орон зай хэлбэрээр гарч ирдэг ( Англи), энд векторууд нь функцууд . Шинжилгээний олон асуудал нь векторуудын дараалал өгөгдсөн вектор руу нийлж байгаа эсэхийг олж мэдэхийг шаарддаг. Ийм асуултыг нэмэлт бүтэцтэй вектор орон зайд авч үзэх боломжтой бөгөөд ихэнх тохиолдолд ойрын болон тасралтгүй байдлын тухай ойлголтыг тодорхойлох боломжийг олгодог тохиромжтой топологи байдаг. Ийм топологийн векторын орон зай, тухайлбал Банах ба Гильбертийн орон зай нь илүү гүнзгий судлах боломжийг олгодог.

Шугаман алгебр нь векторуудаас гадна дээд зэрэглэлийн тензоруудыг судалдаг (скалярыг 0 зэрэглэлийн тензор, векторыг 1-р зэрэглэлийн тензор гэж үзнэ).

Вектор орон зайн тухай ойлголт гарч ирэхийг таамаглаж байсан анхны бүтээлүүд нь 17-р зуунаас эхэлдэг. Тэр үед л аналитик геометр, матрицын тухай сургаал, шугаман тэгшитгэлийн систем, Евклидийн векторууд хөгжжээ.

Тодорхойлолт

Шугаман, эсвэл вектор орон зай $V\backslash зүүн(F\backslash баруун)$талбай дээгүүр $Ф$захиалгат дөрвөлжин юм $(V,F,+,\backslash cdot)$, Хаана

• $В$- дурын шинж чанартай хоосон бус олонлог элементүүдийг нэрлэдэг векторууд;
• $Ф$- элементүүдийг нь дууддаг (алгебрийн) талбар скаляр;
• Үйл ажиллагааг тодорхойлсон нэмэлтүүдвекторууд $V\backslash \; дахин\; V\backslash \; V\; хүртэл$, хос элемент тус бүрд тохирох $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$багц $В$ $В$тэднийг дуудаж байна нийлбэрба тэмдэглэсэн $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Үйл ажиллагааг тодорхойлсон векторуудыг скаляраар үржүүлэх $F\backslash time\; V\backslash to\; V$, элемент тус бүртэй таарч байна $\backslash lambda$талбайнууд $Ф$болон элемент бүр $\backslash mathbf(x)$багц $В$багцын цорын ганц элемент $В$, тэмдэглэсэн $\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash mathbf(x)$эсвэл $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Вектор орон зайг ижил олонлог элемент дээр тодорхойлсон боловч илүү янз бүрийн талбарууд, өөр өөр вектор орон зай байх болно (жишээлбэл, бодит тооны хосуудын багц $\backslash mathbb(R)^2$бодит тоонуудын талбар дээрх хоёр хэмжээст вектор орон зай эсвэл нэг хэмжээст - комплекс тоонуудын талбар дээр байж болно).

Хамгийн энгийн шинж чанарууд

1. Вектор орон зай нь нэмэлтээр абелийн бүлэг юм.
2. төвийг сахисан элемент $\backslash mathbf(0)\; \backslash V-д$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$хэний ч төлөө $\backslash mathbf(x)\; \backslash -д\; V$.
4. Хэнд ч зориулав $\backslash mathbf(x)\; \backslash -д\; V$эсрэг элемент $-\backslash mathbf(x)\; \backslash v-д$бүлгийн шинж чанаруудаас дагах цорын ганц зүйл юм.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$хэний ч төлөө $\backslash mathbf(x)\; \backslash -д\; V$.
6. $(-\backslash альфа)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ямар ч хувьд $Ф-д\; \backslash альфа\; \backslash$Тэгээд $\backslash mathbf(x)\; \backslash -д\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$хэний ч төлөө $Ф-д\; \backslash альфа\; \backslash$.

Холбогдох тодорхойлолт ба шинж чанарууд

дэд орон зай

Алгебрийн тодорхойлолт: Шугаман дэд орон зайэсвэл вектор дэд орон зайхоосон бус дэд олонлог юм $К$шугаман орон зай $В$тиймэрхүү $К$-д тодорхойлсонтой харьцуулахад өөрөө шугаман орон зай юм $В$скаляраар нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүд. Бүх дэд орон зайн олонлогийг ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг $\backslash mathrm(Лат)(V)$. Дэд олонлог нь дэд орон зай байхын тулд энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм

1. ямар ч векторын хувьд $\backslash mathbf(x)\backslash -д\; K$, вектор $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$мөн харьяалагддаг байсан $К$, дурын хувьд $Ф-д\; \backslash альфа\backslash$;
2. дурын векторуудын хувьд $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash K-д$, вектор $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$мөн харьяалагддаг байсан $К$.

Сүүлийн хоёр мэдэгдэл нь дараахтай тэнцүү байна.

Аливаа векторын хувьд $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash K-д$, вектор $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$мөн харьяалагддаг байсан $К$ямар ч хувьд $Ф-д\; \backslash альфа,\; \backslash бета\; \backslash$.

Ялангуяа зөвхөн нэг тэг вектороос бүрдэх вектор орон зай нь аливаа орон зайн дэд орон зай юм; аливаа орон зай нь өөрөө дэд орон зай юм. Энэ хоёртой давхцахгүй байгаа дэд орон зайг нэрлэдэг эзэмшдэгэсвэл өчүүхэн бус.

Дэд орон зайн шинж чанарууд

• Аливаа дэд орон зайн гэр бүлийн огтлолцол нь дахин дэд орон зай юм;
• Дэд орон зайн нийлбэр $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$элементүүдийн боломжит бүх нийлбэрийг агуулсан олонлог гэж тодорхойлсон $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Дэд орон зайн хязгаарлагдмал гэр бүлийн нийлбэр нь дахин дэд орон зай юм.

Шугаман хослолууд

Үзэлтийн төгсгөлийн нийлбэр

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Шугаман хослолыг:

Суурь. Хэмжээ

Векторууд $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$дуудсан шугаман хамааралтай, хэрэв тэдгээрийн тэгтэй тэнцүү шугаман хослол байвал:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash альфа\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash nq\; 0.$

Үгүй бол эдгээр векторуудыг дуудна шугаман бие даасан.

Энэ тодорхойлолт нь дараах ерөнхийлөлтийг зөвшөөрдөг: хязгааргүй олон тооны векторууд $В$дуудсан шугаман хамааралтай, хэрэв зарим нь эцсийнтүүний дэд олонлог ба шугаман бие даасан, хэрэв байгаа бол эцсийндэд олонлог нь шугаман бие даасан байна.

Үндсэн шинж чанарууд:

• Ямар ч $n$шугаман бие даасан элементүүд $n$- хэмжээст орон зайн хэлбэр суурьэнэ орон зай.
• Аливаа вектор $\backslash mathbf(x)\; \backslash -д\; V$Үндсэн элементүүдийн хязгаарлагдмал шугаман хослол хэлбэрээр (өвөрмөц байдлаар) төлөөлж болно:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Шугаман бүрхүүл

Шугаман бүрхүүл $\backslash mathcal\; V(X)$дэд олонлогууд $X$шугаман орон зай $В$- бүх дэд орон зайн огтлолцол $В$агуулсан $X$.

Шугаман бүрхүүл нь дэд орон зай юм $В$.

Шугаман бүрхүүл гэж бас нэрлэдэг дэд орон зай үүсгэсэн $X$. Мөн шугаман зай гэж ярьдаг $\backslash mathcal\; V(X)$- орон зай, сунасанбөөн $X$.

Шугаман бүрхүүл $\backslash mathcal\; V(X)$-ийн элементүүдийн янз бүрийн төгсгөлтэй дэд системүүдийн бүх боломжит шугаман хослолуудаас бүрдэнэ $X$. Ялангуяа, хэрэв $X$Энэ нь хязгаарлагдмал олонлог юм $\backslash mathcal\; V(X)$элементүүдийн бүх шугаман хослолуудаас бүрдэнэ $X$. Тиймээс тэг вектор нь үргэлж шугаман зайд хамаарна.

Хэрэв $X$шугаман бие даасан олонлог бол суурь болно $\backslash mathcal\; V(X)$улмаар түүний хэмжээсийг тодорхойлдог.

Жишээ

• Цорын ганц элемент нь тэг байх хоосон орон зай.
• Бүх функцүүдийн орон зай $X\backslash to\; F$хязгаарлагдмал дэмжлэгтэй тэнцүү хэмжээтэй вектор орон зайг бүрдүүлдэг $X$.
• Бодит тоонуудын талбарыг рационал тоонуудын талбар дээрх тасралтгүй хэмжээст вектор орон зай гэж үзэж болно.
• Аливаа талбар нь өөрөөсөө дээгүүр орших нэг хэмжээст орон зай юм.

Нэмэлт бүтэц

бас үзнэ үү

"Вектор орон зай" нийтлэлд сэтгэгдэл бичнэ үү.

Тэмдэглэл

Уран зохиол

• Гельфанд I. M.Шугаман алгебрийн лекц. - 5 дахь. - М .: Добросвет, MTSNMO, 1998. - 319 х. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Гельфанд I. M.Шугаман алгебрийн лекц. 5-р хэвлэл. - М .: Добросвет, МТСНМО, 1998. - 320 х. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Кострикин А.И., Манин Ю.И.Шугаман алгебр ба геометр. 2-р хэвлэл. - М .: Наука, 1986. - 304 х.
• Кострикин А.И.Алгебрийн танилцуулга. 2-р хэсэг: Шугаман алгебр. - 3 дахь. - М .: Наука., 2004. - 368 х. - (Их сургуулийн сурах бичиг).
• Мальцев А.И.Шугаман алгебрийн үндэс. - 3 дахь. - М .: Наука, 1970. - 400 х.

• Постников М.М.Шугаман алгебр (Геометрийн лекц. II семестер). - 2 дахь. - М .: Наука, 1986. - 400 х.
• Странг Г.Шугаман алгебр ба түүний хэрэглээ = Шугаман алгебр ба түүний хэрэглээ. - М .: Мир, 1980. - 454 х.
• Ильин В.А., Позняк Е.Г.Шугаман алгебр. 6-р хэвлэл. - М .: Физматлит, 2010. - 280 х. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Халмош П.Хязгаарлагдмал хэмжээст вектор орон зай = Төгсгөл хэмжээст вектор орон зай. - М .: Физматгиз, 1963. - 263 х.
• Фаддеев Д.К.Алгебрын тухай лекцүүд. - 5 дахь. - Санкт-Петербург. : Лан, 2007. - 416 х.
• Шафаревич И.Р., Ремизов А.О.Шугаман алгебр ба геометр. - 1-р. - М .: Физматлит, 2009. - 511 х.
• Шрейер О., Шпернер Г.Геометрийн танилцуулга дахь шугаман алгебрийн танилцуулга = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (Герман хэлнээс орчуулсан). - М.–Л.: ОНТИ, 1934. - 210 х.

Вектор ба матрицууд Векторууд Үндсэн ойлголтууд Векторын төрлүүд Вектор дээрх үйлдлүүд Орон зайн төрлүүд матрицууд Үндсэн ойлголтууд Бусад

Вектор орон зайг тодорхойлсон ишлэл

Кутузов эгнээ дундуур алхаж, хааяа зогсоод Туркийн дайнаас мэддэг офицерууддаа, заримдаа цэргүүдэд хэдэн сайхан үг хэлдэг байв. Гутал руу харснаа гунигтайхан толгойгоо сэгсрэн хэд хэдэн удаа австрийн генерал руу заав, үүний төлөө хэнийг ч зэмлэхгүй байгаа бололтой, гэхдээ ямар муухай болохыг олж харахаас өөр аргагүй байв. Рокийн тухай ерөнхий командлагчийн үгийг алдахаас эмээж, тэр болгондоо түрүүлж гүйж байв. Кутузовын ард ямар ч сул үг сонсогдохуйц зайд 20 хүн алхаж байв. Хамтлагийн эрхмүүд хоорондоо ярилцаж, хааяа инээлдэв. Ерөнхий командлагчийн ард хамгийн ойр байсан нь царайлаг адьютант байв. Энэ бол хунтайж Болконский байв. Түүний хажууд дээд тушаалын офицер, туйлын тарган, эелдэг, инээмсэглэлтэй нөхөр Несвицкий байв. хөөрхөн царайба нойтон нүд; Хажууд нь алхаж яваа хар гасрын офицерын сэрэл хөдөлж, Несвицкий инээхээс өөрийгөө барьж ядан байв. Хусарын офицер инээмсэглэлгүй, тогтсон нүдээ өөрчлөлгүй, полкийн командлагчийн ар тал руу нухацтай царайлан харж, түүний хөдөлгөөн бүрийг дуурайв. Рокийн дарга чичирч, урагш тонгойх тоолонд яг адилхан, яг тэр чигээрээ гусарын офицер чичирч, урагш бөхийж байв. Несвицкий инээгээд бусдыг нь инээдтэй хүн рүү харахаар түлхэв.
Кутузов даргын араас эргэлдэж байсан мянган нүдний хажуугаар удаан, хайхрамжгүй алхав. 3-р роттой тэнцэж байгаад гэнэт зогсов. Хамтлагийнхан энэ зогсолтыг урьдчилан таамаглаагүй тул өөрийн эрхгүй түүн рүү дайрав.
- Өө, Тимохин! - гэж ерөнхий командлагч хэлээд, цэнхэр пальто шаналж байсан улаан хамартай ахмадыг танив.
Тимохины сунгаснаас илүү сунгах боломжгүй юм шиг санагдаж байхад полкийн командлагч түүнийг зэмлэв. Гэвч тэр агшинд ерөнхий командлагч түүн рүү хандан, ахмад босож, хэрвээ ерөнхий командлагч түүн рүү жаахан харвал ахмад тэсэхгүй байх шиг санагдсан. ; Тиймээс Кутузов өөрийн байр суурийг ойлгож, эсрэгээрээ ахмаддаа хамгийн сайн сайхныг хүсэн яаран буцав. Кутузовын махлаг, шархадсан нүүрэнд үл анзаарагдам инээмсэглэл тодорлоо.
"Бас нэг Измайловский нөхөр" гэж тэр хэлэв. "Зоригтой офицер!" Та үүнд сэтгэл хангалуун байна уу? Кутузов полк командлагчаас асуув.
Полкийн командлагч толинд туссан мэт, гусарын офицерт үл үзэгдэх мэт чичирч, урагш очин хариулав.
“Их баяртай байна, Эрхэмсэг ноён.
"Бид бүгдээрээ сул талгүй" гэж Кутузов инээмсэглэн түүнээс холдов. "Тэр Бахустай холбоотой байсан.
Рекийн командлагч өөрийгөө үүнд буруугүй гэж айж, хариулсангүй. Тэр үед офицер ахлагчийн улаан хамартай, гэдэс нь зангидсан царайг анзаарч, түүний царай, байрлалыг адилхан дуурайсан тул Несвицкий инээж чадсангүй.
Кутузов эргэж харав. Офицер хүссэнээрээ царайгаа хянаж чаддаг нь илт байв: яг тэр мөчид Кутузов эргэж харахад офицер ярвайж, үүний дараа хамгийн ноцтой, хүндэтгэлтэй, гэм зэмгүй дүр төрхийг олж авав.
Гурав дахь компани нь сүүлчийнх байсан тул Кутузов ямар нэг зүйлийг санаж байсан бололтой. Ханхүү Андрей дагалдан яваа хүмүүсээс гараад францаар чимээгүйхэн хэлэв.
-Та энэ хороонд цол бууруулсан Долоховыг сануулах тушаал өгсөн.
- Долохов хаана байна? гэж Кутузов асуув.
Цэргийн саарал пальто өмссөн Долохов дуудахыг хүлээсэнгүй. Тунгалаг шаргал үстэй нарийхан дүр цэнхэр нүдцэрэг урдаас гарав. Тэрээр ерөнхий командлагч руу ойртож, харуул хамгаалалт хийсэн.
- Нэхэмжлэх үү? - Бага зэрэг хөмсөг зангидан Кутузов асуув.
"Энэ бол Долохов" гэж хунтайж Андрей хэлэв.
- А! Кутузов хэлэв. - Энэ хичээл таныг засаж залруулна гэж найдаж байна, сайн үйлчил. Эзэн хаан нигүүлсэнгүй. Хэрэв та үүнийг хүртэх эрхтэй бол би чамайг мартахгүй.
Цэлмэг цэнхэр нүд нь ерөнхий командлагч руу яг л цэргийн командлагчийг зоригтойгоор харж, яг л харцаараа ерөнхий командлагчийг цэргээс холдуулж байсан ердийн байдлын хөшгийг урж хаях шиг болов.
"Эрхэмсэг ноёнтон, би чамаас нэг зүйл гуйж байна" гэж тэр цуурайтсан, хатуу, яаралгүй хоолойгоор хэлэв. “Надад гэм буруугаа засч, эзэн хаан болон Орост үнэнч гэдгээ нотлох боломж олгохыг би танаас хүсч байна.
Кутузов нүүр буруулав. Ахмад Тимохиноос нүүр буруулах тэр үеийнх шигээ инээмсэглэл нүүрэнд нь гялалзав. Долоховын хэлсэн бүх зүйл, түүнд хэлж чадах бүх зүйл нь түүнийг аль хэдийн уйтгартай болгож, энэ бүхэн өөрийг нь уйтгартай байсныг удаан хугацааны турш мэдэж байсан гэдгээ илэрхийлэхийг хүссэн мэт тэр нүүр буруулж, ярвайв. түүнд хэрэгтэй зүйл огтхон ч биш.. Тэр эргэж, сүйх тэрэгний зүг алхав.
Тус дэглэм нь компаниудад хуваагдаж, Браунаугаас холгүй байрлах хуваарилагдсан орон сууцнууд руу чиглэж, хүнд хэцүү шилжилтийн дараа гутал өмсөж, хувцаслаж, амрах гэж найдаж байв.
- Прохор Игнатич, чи надад дүр эсгэдэггүй юм уу? - гэж дэглэмийн командлагч хэлээд, 3-р ротыг эргэлдэж, тэр газар руу явж, урд нь явж байсан ахмад Тимохин руу явав. Баяр баясгалантай явсаны дараа полкийн командлагчийн царай няцашгүй баяр хөөрийг илэрхийлэв. - Хааны алба ... чи чадахгүй ... өөр нэг удаа чи урдаас тасална ... би хамгийн түрүүнд уучлалт гуйх болно, чи намайг мэднэ ... Маш их баярлалаа! Тэгээд тэр гараа командлагч руу сунгав.
"Уучлаарай, генерал, би зүрхлэх үү!" - гэж ахмад хариулж, хамраа улайж, инээмсэглэж, Ишмаелийн дэргэд өгзөгөөр цохиулсан урд хоёр шүд байхгүйг инээмсэглэв.
-Тийм ээ, ноён Долоховыг би мартахгүй гэж хэлээрэй, тэгвэл тэр тайван байх болно. Тиймээ надад хэлээч, тэр юу вэ, тэр яаж байгаа юм бэ гэж асуумаар байсан. Тэгээд бүх зүйл ...
"Тэр өөрийн үйлчлэлд маш сайн, Эрхэмсэг ноён ... гэхдээ карахтер ..." гэж Тимохин хэлэв.
- Тэгээд юу, ямар дүр бэ? гэж ангийн захирагч асуув.
"Эрхэмсэг ноён, тэр хэдэн өдрийн турш олдог" гэж ахмад хэлэв, "тэр ухаалаг, мэдлэгтэй, эелдэг. Тэгээд энэ бол араатан. Польшид тэр еврей хүнийг алсан, хэрэв та мэдэж байвал ...
"Тийм ээ, тийм ээ, тийм" гэж дэглэмийн командлагч хэлэв, "бүх зүйлд харамсах ёстой." залуу эрзолгүй байдалд. Эцсийн эцэст, гайхалтай холболтууд ... Тэгэхээр та ...
"Эрхэм дээдэс би сонсож байна" гэж Тимохин даргын хүслийг ойлгосон мэт инээмсэглэн хэлэв.
- Тийм тийм.
Полкийн командлагч Долоховыг эгнээнээсээ олж, морийг нь уясан.
"Эхний тохиолдлын өмнө, эпулет" гэж тэр түүнд хэлэв.
Долохов эргэн тойрноо хараад, юу ч хэлэлгүй, шоолж инээмсэглэсэн амныхаа илэрхийлэлийг өөрчилсөнгүй.
"За, сайн байна" гэж дэглэмийн командлагч үргэлжлүүлэн хэлэв. "Хүмүүс надаас нэг шил архи авдаг" гэж тэр нэмж хэлэхэд цэргүүд сонсогддог. - Та бүхэнд баярлалаа! Бурхан ивээг! - Тэгээд тэр нэг компанийг гүйцэж түрүүлээд нөгөө рүү явав.
- За, тэр зөв, сайн залуу; Чи түүнтэй хамт үйлчилж болно" гэж дэд дарга Тимохин хажууд нь явж байсан офицерт хэлэв.
"Нэг үг, улаан! ... (ротийн командлагчийг улаан хаан хочлосон)" гэж дэд офицер инээв.
Хяналтын дараа эрх баригчдын баяр баясгалан нь цэргүүдэд шилжсэн. Рота хөгжилтэй байсан. Хаа сайгүй цэргүүдийн дуу хоолой ярьж байлаа.
- Тэд Кутузовыг нэг нүдтэй гэж яаж хэлэв?
- Гэхдээ үгүй! Бүрэн муруй.
- Үгүй ... ахаа, чамаас том нүдтэй. Гутал, хүзүүвч - бүх зүйлийг эргэн тойрноо харав ...
- Тэр яаж миний дүү, миний хөлийг харж байна ... за! Бодоод үз дээ…
- Нөгөөх нь Австри хүн, шохойгоор түрхсэн мэт хамт байсан. Гурил шиг цагаан. Би цай, тэд яаж сумаа цэвэрлэдэг!
- Юу вэ, Федешоу! ... тэр хэлэхдээ, магадгүй харуулууд эхлэхэд та ойртож зогссон уу? Тэд бүгдийг хэлсэн, Бунапарт өөрөө Бруновт зогсож байна.
- Бунапарт зогсож байна! чи худлаа ярьж байна, тэнэг! Юу мэдэхгүй байна! Одоо Пруссчууд бослого гаргаж байна. Тиймээс Австри түүнийг тайвшруулж байна. Түүнийг эвлэрсэн даруйд Буунапарттай дайн эхэлнэ. Тэгээд тэр хэлэхдээ, Бруновт Бунапарт зогсож байна! Тэнэг хүн гэдэг нь илт. Та илүү их сонс.
"Хараач, хараал идсэн түрээслэгчид! Тав дахь компани, хараарай, аль хэдийн тосгон руу эргэлдэж байна, тэд будаа чанах болно, бид энэ газарт хараахан хүрэхгүй байна.
-Хараал ид шидээд өгөөч.
"Чи өчигдөр тамхи өгсөн үү?" Ингээд л болоо, ахаа. За, Бурхан чамтай хамт байна.
- Хэрэв тэд зогссон бол, тэгэхгүй бол та дахиад таван миль пропрем идэхгүй.
-Германчууд бидэнд тэргэнцэр бэлэглэсэн нь сайхан байсан. Чи яв, мэд: энэ нь чухал!
- Тэгээд энд, ах аа, хүмүүс бүхэлдээ галзуурсан. Тэнд бүх зүйл туйл мэт санагдсан, бүх зүйл Оросын титэм байсан; Одоо ах аа, хатуу герман хүн явлаа.
- Дуу зохиогчид урагшаа! - Би ахмадын уйлахыг сонссон.
Тэгээд янз бүрийн зэрэглэлийн хорин хүн компанийн урдуур гүйж гарав. Бөмбөрчин дууны дэвтэр рүү эргэлдэн дуулж, гараа даллаж, "Үүр цайж байгаа юм биш үү, нар жаргаж байна ..." гэж эхэлж, "Тэр чинь" гэсэн үгээр төгсдөг цэргийн дууг эхлүүлэв. , ах нар аа, Каменскийн аавын хамт биднийг алдаршуулах болно ..." гэж Туркт дуулж байсан бөгөөд одоо Австри улсад дуулж байсан бөгөөд зөвхөн "Каменскийн аав" -ын оронд "Кутузовын аав" гэсэн үгийг оруулсан байна.
Цэргийн хүн шиг сүүлчийн үгсээ таслан, газар ямар нэг юм шидэж байгаа юм шиг гараа даллаж, дөч орчим насны хуурай, царайлаг цэрэг бөмбөрчин дууны зохиолч цэргүүд рүү ширүүн харан нүдээ анив. Тэгээд бүх нүд нь түүн рүү эргэлдэж байгаа эсэхийг шалгаад толгой дээрээ үл үзэгдэх, нандин зүйлийг хоёр гараараа болгоомжтой өргөж, хэдэн секундын турш барьж байгаад гэнэт цөхрөнгөө барж шидэв.
Өө, чи, миний халхавч, миний халхавч!
"Миний шинэ халхавч..." гэсэн хорин дуу хоолой сонсогдоход халбагачин сумны жинг үл харгалзан урагш үсэрч, ротын урд арагшаа алхаж, мөрөө хөдөлгөж, хэн нэгнийг халбагаар заналхийлэв. Цэргүүд дууны хэмнэлтэй гараа савлаж, хөлийг нь өөрийн эрхгүй цохиж цэлгэр алхаж байв. Компанийн ард дугуйны чимээ, булгийн шуугиан, морины чимээ сонсогдов.
Кутузов дагалдан яваа хүмүүсийн хамт хотод буцаж ирэв. Ерөнхий командлагч ард түмэн цаашдаа чөлөөтэй алхаж явах ёстой гэж дохио өгч, дууны эгшиг, бүжиглэж буй цэрэг, хөгжөөнтэй, эрч хүчтэйг харсан түүний царай болон бүх талынх нь нүүрэнд баяр баясгалан илэрхийлэв. ротын жагсаалын цэргүүд. Хоёр дахь эгнээний баруун жигүүрээс сүйх тэрэг ротуудыг гүйцэж түрүүлэхэд цэнхэр нүдтэй цэрэг Долохов өөрийн эрхгүй анхаарал татсан бөгөөд тэрээр дууны хэмнэл дээр онцгой хурдан бөгөөд дэгжин алхаж, цэргүүдийн царайг харав. энэ үед компанитай яваагүй хүн бүрийг өрөвдөж байгаа юм шиг өнгөрч буй хүмүүс. Кутузовын дагалдан яваа цэргүүдийн хусар корнет нь полкийн командлагчийг дуурайж, тэрэгний ард хоцорч Долохов руу явав.
Нэгэн цагт Санкт-Петербургт байсан Жерков гуссар корнет Долоховын тэргүүлсэн хүчирхийллийн нийгэмлэгт харьяалагддаг байв. Жерков Долоховтой хилийн чанадад цэрэг болж танилцсан боловч түүнийг таних шаардлагагүй гэж үзжээ. Одоо Кутузов цол бууруулсан хүнтэй ярилцсаны дараа тэрээр хуучин найзынхаа баяр хөөрөөр түүн рүү эргэв.
-Эрхэм найз минь, сайн байна уу? - гэж дууны эгшиглэнд мориныхоо гишгүүрийг компанийн гишгүүртэй тэнцүүлэв.
- Би тийм үү? - гэж Долохов хүйтнээр хариулав, - таны харж байгаагаар.
Энэхүү амьд дуу нь Жерковын ярисан эгдүүтэй хөгжилтэй байдал, Долоховын хариултуудын зориудаар хүйтэн байдалд онцгой ач холбогдол өгч байв.
-Тэгвэл та эрх баригчидтай яаж ойлголцдог вэ? гэж Жерков асуув.
- Юу ч биш, сайн хүмүүс. Та төв байранд яаж орсон бэ?
-Ажилласан, би үүрэг гүйцэтгэж байна.
Тэд чимээгүй байв.
"Би баруун ханцуйнаасаа шонхор шувууг гаргалаа" гэж дуу нь өөрийн эрхгүй баяр хөөртэй, хөгжилтэй мэдрэмжийг төрүүлэв. Дууны эгшгээр хэлээгүй бол тэдний яриа өөр байх байсан байх.
-Ямар үнэн бэ, Австричууд зодуулсан гэж? гэж Долохов асуув.
"Чөтгөр мэддэг" гэж тэд хэлдэг.
"Би баяртай байна" гэж Долохов дууны шаардлагын дагуу товч бөгөөд тодорхой хариулав.
"За, орой нь фараон ломбард хийх үед бидэн дээр ирээрэй" гэж Жерков хэлэв.
Эсвэл их мөнгөтэй юу?
- Ирээрэй.
- Хориотой. Тэр тангараг өгсөн. Үүнийг дуустал би архи уудаггүй, тоглодоггүй.
За, эхний зүйлээс өмнө ...
- Та тэнд харах болно.
Тэд дахиад л чимээгүй болов.
"Ороорой, хэрэв танд ямар нэгэн зүйл хэрэгтэй бол төв байранд байгаа бүх хүмүүс туслах болно ..." гэж Жерков хэлэв.
Долохов инээв.
"Чи санаа зовохгүй байсан нь дээр. Надад юу хэрэгтэй байна, би асуухгүй, өөрөө авна.
"Тийм ээ, би үнэхээр ...
-За, би ч гэсэн.
- Баяртай.
- Эрүүл байх…
... мөн өндөр, хол,
Гэртээ ...
Жерков мориндоо шөрмөсөө шүргэж, тэр нь гурван удаа догдолж, өшиглөж, хаанаас эхлэхээ мэдэхгүй давхиж, давхиж, компанийг гүйцэж түрүүлж, сүйх тэргийг гүйцэв.

Шалгалтаас буцаж ирэхэд Кутузов Австрийн генералын хамт ажлын өрөөндөө очиж, адъютантыг дуудаж, ирж буй цэргүүдийн байдалтай холбоотой зарим бичиг баримт, урагшлах армийг удирдаж байсан Арчдук Фердинандаас хүлээн авсан захидлыг өгөхийг тушаав. . Ханхүү Андрей Болконский шаардлагатай бичиг баримтын хамт ерөнхий командлагчийн өрөөнд оров. Ширээн дээр тавьсан төлөвлөгөөний өмнө Кутузов болон Хофкригсратын Австрийн гишүүн суув.
"Аа ..." гэж Кутузов Болконский руу эргэж хараад туслахыг хүлээхийг урьсан мэт хэлээд франц хэлээр эхэлсэн яриагаа үргэлжлүүлэв.
"Генерал, би ганц л зүйлийг хэлье" гэж Кутузов аятайхан дэгжин илэрхийлэл, аялгуугаар хэлээд, тайван хэлсэн үг бүрийг сонсохыг албаддаг. Кутузов өөрийгөө таашаалтайгаар сонссон нь илт байв. -Жанжин аа, би ганцхан зүйлийг хэлье, хэрвээ асуудал миний хувийн хүслээс шалтгаалсан бол Эрхэмсэг эзэн хаан Францын гэрээслэл аль эрт биелэх байсан. Би аль эрт Ардюкед элсэх байсан. Австри гэх мэт армийн дээд командлалыг өөрөөсөө илүү мэдлэгтэй, чадварлаг жанжинд шилжүүлж, энэ бүх хүнд үүрэг хариуцлагыг биечлэн үүрэх нь миний хувьд баяр баясгалан байх болно гэдэгт итгэ. . Гэхдээ нөхцөл байдал биднээс илүү хүчтэй байна, генерал аа.
Кутузов хэлэхдээ: "Чи надад итгэхгүй байх эрхтэй, тэр ч байтугай надад итгэх эсэх нь хамаагүй, гэхдээ танд үүнийг хэлэх шалтгаан байхгүй. Энэ бол бүх зүйл юм."
Австрийн генерал сэтгэл дундуур байсан ч Кутузовт ижил өнгөөр ​​хариулж чадсангүй.
"Харин ч эсрэгээрээ" гэж тэр үгийн зусардсан утгаас нь харш, зэвүүцсэн, ууртай хэлэв, "эсрэгээр, Эрхэмсэг ноён нийтлэг үйл хэрэгт оролцсоныг Эрхэмсэг дээдэс өндрөөр үнэлдэг; Гэхдээ жинхэнэ удаашрал нь Оросын алдарт цэргүүд болон тэдний командлагчдыг тулалдаанд хурааж дассан амжилтаас нь салгаж байна гэж бид үзэж байна "гэж тэр бэлдсэн хэллэгээ дуусгав.
Кутузов инээмсэглэлээ өөрчлөлгүй бөхийв.
- Эрхэмсэг ноён Эрц герцог Фердинанд надад хүндэтгэл үзүүлсэн сүүлчийн захидалд үндэслэн би генерал Мак шиг чадварлаг туслахын удирдлаган дор Австрийн цэргүүд аль хэдийн шийдэмгий ялалт байгуулсан бөгөөд одоо больсон гэж би итгэлтэй байна. бидний тусламж хэрэгтэй байна гэж Кутузов хэлэв.
Генерал хөмсөг зангидсан. Хэдийгээр Австричуудын ялагдлын талаар эерэг мэдээ гараагүй ч ерөнхий таагүй цуу яриаг батлах хэт олон нөхцөл байдал байсан; Тиймээс Австричуудын ялалтын тухай Кутузовын таамаглал нь доог тохуутай маш төстэй байв. Гэвч Кутузов эелдэгхэн инээмсэглэж, тэр үүнийг хүлээх эрхтэй гэсэн ижил илэрхийлэлтэй хэвээр байв. Үнэхээр ч Макийн армиас хүлээн авсан сүүлчийн захидал нь түүнд ялалт, армийн хамгийн ашигтай стратегийн байр суурийг илэрхийлжээ.
"Надад энэ захидлыг энд өгөөч" гэж Кутузов хунтайж Андрейд хандав. - Хэрэв та үүнийг үзэхийг хүсвэл энд байна. - Тэгээд Кутузов уруулынхаа үзүүр дээр тохуурхсан инээмсэглэл тодруулан Герман-Австрийн генералын эрц герцог Фердинандын захидлаас дараах хэсгийг уншив: "Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70,000 Mann, um den Feind, wenn er. den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit wonden ve alabachreite, . Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal Zuzubereiten, soer verdi.” [Бидэнд бүрэн төвлөрсөн хүч, 70,000 орчим хүн байгаа тул дайсан Лехийг гатлахад бид довтолж, ялах боломжтой. Бид аль хэдийн Ульмыг эзэмшиж байгаа тул бид Дунай мөрний хоёр эргийг захирах давуу талыг хадгалж чадна, тиймээс хэрэв дайсан Лехийг гаталж, Дунай мөрнийг гаталж, түүний холбооны шугам руу яаран, Дунай мөрний доод хэсгийг гаталж, дайсныг минут тутамд давж гарна. , хэрэв тэр бүх хүчээ манай үнэнч холбоотнууд руу чиглүүлэхээр шийдсэн бол түүний зорилго биелэхээс сэргийлнэ. Тиймээс бид Оросын эзэнт гүрний арми бүрэн бэлэн болсон цагийг баяртайгаар хүлээж, дараа нь бид дайсныг зохих хувь заяанд нь бэлтгэх боломжийг хялбархан олох болно.