Хамгийн их утгын модуль. Тооны үнэмлэхүй утга

Энэ нийтлэлд бид нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийх болно тооны үнэмлэхүй утга. Бид өгөх болно янз бүрийн тодорхойлолтуудтооны модулийн хувьд бид тэмдэглэгээг нэвтрүүлж, график дүрслэлийг өгдөг. Ингэхдээ анхаарч үзээрэй янз бүрийн жишээТодорхойлолтоор тооны модулийг олох. Үүний дараа бид модулийн үндсэн шинж чанаруудыг жагсааж, зөвтгөдөг. Өгүүллийн төгсгөлд бид модулийг хэрхэн тодорхойлж, хэрхэн байрлуулах талаар ярих болно. нийлмэл тоо.

Хуудасны навигаци.

Тооны модуль - тодорхойлолт, тэмдэглэгээ, жишээ

Эхлээд бид танилцуулъя модулийн тэмдэглэгээ. a тооны модулийг гэж бичнэ, өөрөөр хэлбэл тооны зүүн ба баруун талд бид модулийн тэмдгийг үүсгэсэн босоо шугамуудыг тавина. Хэд хэдэн жишээ хэлье. Жишээ нь, модуль -7 гэж бичиж болно; модуль 4,125 гэж бичнэ, модулийг гэж бичнэ.

Модулийн дараах тодорхойлолт нь олонлогийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хувьд бүхэл тоо, рационал ба иррационал тоонуудад хамаарна. бодит тоо. Бид комплекс тооны модулийн талаар ярих болно.

Тодорхойлолт.

a-ийн модуль a тоо нь өөрөө, хэрэв a бол эерэг тоо, эсвэл −a тоо, хэрэв а сөрөг тоо бол a тооны эсрэг талд, эсвэл a=0 бол 0 байна.

Тооны модулийн дуут тодорхойлолтыг ихэвчлэн бичдэг дараах хэлбэр , энэ тэмдэглэгээ нь хэрэв a>0 , хэрэв a=0 , хэрэв a<0 .

Бичлэгийг илүү авсаархан хэлбэрээр илэрхийлж болно . Энэ тэмдэглэгээ нь хэрэв (a нь 0-ээс их эсвэл тэнцүү), хэрэв a<0 .

Мөн рекорд бий . Энд a=0 гэсэн тохиолдлыг тусад нь тайлбарлах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд тэг нь өөрөөсөө эсрэг тоо гэж тооцогддог тул −0=0 байна.

авчиръя тооны модулийг олох жишээөгөгдсөн тодорхойлолттой. Жишээлбэл, 15 ба тоонуудын модулиудыг олъё. Олж эхэлцгээе. 15 тоо эерэг тул түүний модуль нь тодорхойлолтоор энэ тоотой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, . Тооны модуль гэж юу вэ? Сөрөг тоо тул түүний модуль нь тоон эсрэг талын тоо, өөрөөр хэлбэл тоотой тэнцүү байна . Ийнхүү, .

Энэ зүйлийн төгсгөлд бид нэг дүгнэлтийг өгсөн бөгөөд энэ нь тооны модулийг олоход практикт хэрэглэхэд маш тохиромжтой юм. Тооны модулийн тодорхойлолтоос ийм зүйл гарч ирнэ тооны модуль нь түүний тэмдгээс үл хамааран модулийн тэмдгийн доорх тоотой тэнцүү байна, дээр дурдсан жишээнүүдээс харахад энэ нь маш тодорхой харагдаж байна. Дуут мэдэгдэл нь яагаад тооны модулийг бас дууддагийг тайлбарладаг тооны үнэмлэхүй утга. Тэгэхээр тооны модуль ба абсолют утга нь нэг юм.

Тооны модуль нь зай

Геометрийн хувьд тооны модулийг гэж тайлбарлаж болно зай. авчиръя тооны модулийг зайгаар тодорхойлох.

Тодорхойлолт.

a-ийн модулькоординатын шулуун дээрх эх цэгээс а тоотой харгалзах цэг хүртэлх зай юм.

Энэ тодорхойлолт нь эхний догол мөрөнд өгөгдсөн тооны модулийн тодорхойлолттой нийцэж байна. Энэ санааг тайлбарлая. Эхлэлээс эерэг тоонд харгалзах цэг хүртэлх зай нь энэ тоотой тэнцүү байна. Тэг нь лавлагаа цэгтэй тохирч байгаа тул жишиг цэгээс 0 координаттай цэг хүртэлх зай нь тэгтэй тэнцүү байна (О цэгээс цэг хүртэл хүрэхийн тулд нэг сегмент болон нэг сегментийн аль нэг хэсгийг бүрдүүлдэг сегмент шаардлагагүй. координат 0). Гарал үүсэлээс сөрөг координаттай цэг хүртэлх зай нь тухайн цэгийн координатын эсрэг талын тоотой тэнцүү байна, учир нь энэ нь эхлэлээс координат нь эсрэг тоо болох цэг хүртэлх зайтай тэнцүү байна.

Жишээ нь, 9-ийн тооны модуль нь 9, учир нь эхээс координат 9-тэй цэг хүртэлх зай есөн байна. Өөр нэг жишээ татъя. −3.25 координаттай цэг нь О цэгээс 3.25 зайд байрладаг тул .

Тооны модулийн дуут тодорхойлолт нь хоёр тооны зөрүүний модулийг тодорхойлох онцгой тохиолдол юм.

Тодорхойлолт.

Хоёр тооны ялгааны модуль a ба b нь a ба b координаттай координатын шугамын цэгүүдийн хоорондох зайтай тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, координатын шулуун дээрх A(a) ба B(b) цэгүүдийг өгвөл А цэгээс В цэг хүртэлх зай нь a ба b тоонуудын зөрүүний модультай тэнцүү байна. Хэрэв бид O цэгийг (лавлагаа цэг) В цэг гэж авбал энэ догол мөрний эхэнд өгөгдсөн тооны модулийн тодорхойлолтыг авна.

Тооны модулийг арифметик квадрат язгуураар тодорхойлох

Заримдаа олддог арифметик квадрат язгуураар модулийг тодорхойлох.

Жишээлбэл, −30 тоонуудын модулиудыг тооцоолж, энэ тодорхойлолтыг үндэслэнэ. Бидэнд байгаа . Үүний нэгэн адил бид гуравны хоёрын модулийг тооцоолно. .

Тооны модулийг арифметик квадрат язгуураар тодорхойлсон тодорхойлолт нь мөн энэ зүйлийн эхний догол мөрөнд өгсөн тодорхойлолттой нийцэж байна. Үүнийг үзүүлье. a эерэг тоо, −a сөрөг тоо байг. Дараа нь Тэгээд , хэрэв a=0 байвал .

Модулийн шинж чанарууд

Модуль нь хэд хэдэн онцлог үр дүнтэй байдаг - модулийн шинж чанарууд. Одоо бид тэдгээрийн гол бөгөөд хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг зүйлийг өгөх болно. Эдгээр шинж чанаруудыг нотлохдоо бид зайны хувьд тооны модулийг тодорхойлоход найдах болно.

Хамгийн ойлгомжтой модулийн шинж чанараас эхэлцгээе тооны модуль нь сөрөг тоо байж болохгүй. Шууд утгаараа энэ шинж чанар нь дурын тооны a гэсэн хэлбэртэй байна. Энэ шинж чанарыг зөвтгөхөд маш хялбар байдаг: тооны модуль нь зай бөгөөд зайг сөрөг тоогоор илэрхийлэх боломжгүй.

Модулийн дараагийн шинж чанар руу шилжье. Хэрэв энэ тоо тэг байвал тухайн тооны модуль тэгтэй тэнцүү байна. Тодорхойлолтоор тэгийн модуль нь тэг юм. Тэг нь гарал үүсэлтэй тохирч байна, координатын шугамын өөр ямар ч цэг тэгтэй тохирохгүй, учир нь бодит тоо бүр координатын шугам дээрх нэг цэгтэй холбоотой байдаг. Үүнтэй ижил шалтгаанаар тэгээс бусад тоо нь эхээс өөр цэгтэй тохирч байна. Мөн эдгээр цэгүүд давхцаж байвал хоёр цэгийн хоорондох зай тэгтэй тэнцүү байх тул эхээс О цэгээс бусад цэг хүртэлх зай нь тэгтэй тэнцүү биш юм. Дээрх үндэслэл нь зөвхөн тэгийн модуль нь тэгтэй тэнцүү гэдгийг баталж байна.

Үргэлжлүүл. Эсрэг тоонууд нь тэнцүү модультай, өөрөөр хэлбэл ямар ч тооны хувьд a . Үнэн хэрэгтээ координатууд нь эсрэг тоонууд болох координатын шулуун дээрх хоёр цэг нь эх цэгээс ижил зайд байгаа нь эсрэг тоонуудын модулиуд тэнцүү гэсэн үг юм.

Дараагийн модулийн шинж чанар нь: хоёр тооны үржвэрийн модуль нь эдгээр тоонуудын модулийн үржвэртэй тэнцүү байна, тэр бол, . Тодорхойлолтоор a ба b тоонуудын үржвэрийн модуль нь a b бол, эсвэл −(a b) байна. Бодит тоог үржүүлэх дүрмээс үзэхэд a ба b тоонуудын модулийн үржвэр нь авч үзсэн шинж чанарыг нотлох a b , , эсвэл −(a b) , if -тэй тэнцүү байна.

a-г b-д хуваах коэффициентийн модуль нь a-ийн модулийг b-ийн модульд хуваах коэффициенттэй тэнцүү байна., тэр бол, . Модулийн энэ шинж чанарыг зөвтгөж үзье. Хэмжилт нь үржвэртэй тэнцүү тул . Өмнөх өмчийн буянаар бид байна . Зөвхөн тэгш байдлыг ашиглахад л үлддэг бөгөөд энэ нь тооны модулийн тодорхойлолтоос шалтгаалан хүчинтэй байна.

Дараах модулийн шинж чанарыг тэгш бус байдлаар бичнэ. , a , b ба c нь дурын бодит тоо юм. Бичсэн тэгш бус байдал нь үүнээс өөр зүйл биш юм гурвалжны тэгш бус байдал. Үүнийг тодорхой болгохын тулд координатын шулуун дээрх A(a) , B(b) , C(c) цэгүүдийг авч, орой нь нэг шулуун дээр орших сөнөсөн ABC гурвалжинг авч үзье. Тодорхойлолтоор ялгааны модуль нь AB сегментийн урттай тэнцүү, - АС сегментийн урт ба - CB сегментийн урттай тэнцүү байна. Гурвалжны аль нэг талын урт нь нөгөө хоёр талын уртын нийлбэрээс хэтрэхгүй тул тэгш бус байдал , тиймээс тэгш бус байдал нь бас биелнэ.

Сая нотлогдсон тэгш бус байдал нь хэлбэрээр илүү түгээмэл байдаг . Бичгийн тэгш бус байдлыг ихэвчлэн модулийн тусдаа өмч гэж үздэг: " Хоёр тооны нийлбэрийн модуль нь эдгээр тоонуудын модулийн нийлбэрээс хэтрэхгүй". Тэгэхдээ b-ийн оронд −b-г тавиад c=0 гэж авбал тэгш бус байдал нь тэгш бус байдлаас шууд үүснэ.

Комплекс тооны модуль

өгье комплекс тооны модулийг тодорхойлох. Бидэнд өгье нийлмэл тоо, алгебрийн хэлбэрээр бичигдсэн , энд x ба y нь зарим бодит тоонууд бөгөөд өгөгдсөн нийлмэл z-ийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тус тус төлөөлдөг бөгөөд төсөөллийн нэгж юм.

Тооны модуль нь математикт шинэ ойлголтыг нэвтрүүлдэг. Тооны модуль гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн ажиллах талаар дэлгэрэнгүй авч үзье.

Жишээ авч үзье:

Бид гэрээсээ гараад дэлгүүр рүү явлаа. 300 м өнгөрчээ, математикийн хувьд энэ илэрхийллийг +300 гэж бичиж болно, "+" тэмдэгээс 300 гэсэн тоо өөрчлөгдөхгүй. Математикийн тоонуудын зай буюу модуль нь адилхан бөгөөд мөн дараах байдлаар бичиж болно: |300|=300. Тооны модулийн тэмдгийг хоёр босоо шугамаар заана.

Тэгээд бид эсрэг чиглэлд 200 метр алхсан. Математикийн хувьд бид буцах замыг -200 гэж бичиж болно. Гэхдээ бид буцсан ч гэсэн “хасах хоёр зуун метр явсан” гэж тэгж хэлдэггүй, учир нь хэмжигдэхүүний хувьд зай эерэг хэвээр байна. Үүний тулд модуль гэсэн ойлголтыг математикт нэвтрүүлсэн. Та -200-ийн зай эсвэл модулийг дараах байдлаар бичиж болно: |-200|=200.

Модулийн шинж чанарууд.

Тодорхойлолт:
Тооны модуль эсвэл тооны үнэмлэхүй утгань эхлэх цэгээс хүрэх газар хүртэлх зай юм.

Тэгтэй тэнцүү биш бүхэл тооны модуль нь үргэлж эерэг тоо байдаг.

Модуль нь дараах байдлаар бичигдсэн:

1. Эерэг тооны модуль нь тухайн тоотой тэнцүү байна.
| a|=а

2. Сөрөг тооны модуль нь эсрэг тоотой тэнцүү байна.
|- a|=а

3. 0-ийн модуль, тэгтэй тэнцүү.
|0|=0

4. Эсрэг тоонуудын модулиуд тэнцүү байна.
| a|=|-a|=а

Холбогдох асуултууд:
Тооны модуль гэж юу вэ?
Хариулт: Модуль гэдэг нь эхлэх цэгээс хүрэх газар хүртэлх зай юм.

Хэрэв та бүхэл тооны өмнө "+" тэмдэг тавьбал юу болох вэ?
Хариулт: тоо нь утгыг өөрчлөхгүй, жишээлбэл, 4=+4.

Хэрэв та бүхэл тооны өмнө "-" тэмдэг тавьбал юу болох вэ?
Хариулт: тоо нь 4 ба -4 болж өөрчлөгдөнө.

Аль тоо нь ижил модультай вэ?
Хариулт: эерэг тоо ба тэг нь ижил модультай байна. Жишээлбэл, 15=|15|.

Ямар тоонууд модультай байдаг - эсрэг тоо вэ?
Хариулт: сөрөг тоонуудын хувьд модуль нь эсрэг тоотой тэнцүү байна. Жишээлбэл, |-6|=6.

Жишээ №1:
Тоонуудын модулийг ол: a) 0 b) 5 c) -7?

Шийдэл:
a) |0|=0
б) |5|=5
в)|-7|=7

Жишээ №2:
Модули нь тэнцүү хоёр өөр тоо байдаг уу?

Шийдэл:
|10|=10
|-10|=10

Эсрэг тоонуудын модулиуд тэнцүү байна.

Жишээ №3:
Ямар хоёр эсрэг тоонд модуль 9 байдаг вэ?

Шийдэл:
|9|=9
|-9|=9

Хариулт: 9 ба -9.

Жишээ №4:
Дараахыг хийнэ үү: a) |+5|+|-3| б) |-3|+|-8| в)|+4|-|+1|

Шийдэл:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
б) |-3|+|-8|=3+8=11
в)|+4|-|+1|=4-1=3

Жишээ №5:
Ол: a) 2-р тооны модуль b) 6-р тооны модуль в) 8 тооны модуль г) 1-ийн тооны модуль e) 0 тооны модуль.
Шийдэл:

a) 2-ын тооны модулийг |2| гэж тэмдэглэнэ эсвэл |+2| Энэ нь адилхан.
|2|=2

б) 6 дугаарын модулийг |6| гэж тэмдэглэнэ эсвэл |+6| Энэ нь адилхан.
|6|=6

в) 8-ын тооны модулийг |8| гэж тэмдэглэнэ эсвэл |+8| Энэ нь адилхан.
|8|=8

г) 1-ийн тооны модулийг |1| гэж тэмдэглэнэ эсвэл |+1| Энэ нь адилхан.
|1|=1

д) 0 тооны модулийг |0|, |+0| гэж тэмдэглэнэ эсвэл |-0| Энэ нь адилхан.
|0|=0

Модуль бол хүн бүрийн сонссон мэт боловч бодит байдал дээр хэн ч ойлгохгүй байгаа зүйлүүдийн нэг юм. Тиймээс өнөөдөр модультай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан том хичээл байх болно.

Би танд шууд хэлье: хичээл энгийн байх болно. Ерөнхийдөө модуль нь ерөнхийдөө харьцангуй энгийн сэдэв юм. "Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг, энэ нь амархан! Энэ нь миний тархийг дэлбэрч байна!" - гэж олон оюутнууд хэлэх болно, гэхдээ энэ бүх тархины эвдрэл нь ихэнх хүмүүсийн толгойд мэдлэг биш, харин ямар нэгэн тэнэг зүйл байдагтай холбоотой юм. Мөн энэ хичээлийн зорилго бол новшийг мэдлэг болгон хувиргах явдал юм. :)

Жаахан онол

Ингээд явцгаая. Хамгийн чухал зүйлээс эхэлцгээе: модуль гэж юу вэ? Тооны модуль нь зүгээр л ижил тоо боловч хасах тэмдэггүйгээр авсан гэдгийг танд сануулъя. Жишээлбэл, $\left| -5 \right|=5$. Эсвэл $\left| -129.5\баруун|=129.5$.

Ийм энгийн гэж үү? Тийм ээ, энгийн. Тэгвэл эерэг тооны модуль хэд вэ? Энд бүр ч энгийн: эерэг тооны модуль нь энэ тоотой тэнцүү байна: $\left| 5\right|=5$; $\left| 129.5 \right|=129.5$ гэх мэт.

Энэ нь сониуч зүйл болж хувирав: өөр өөр тоонууд ижил модультай байж болно. Жишээ нь: $\left| -5 \right|=\left| 5\right|=5$; $\left| -129.5 \баруун|=\зүүн| 129.5 \right|=129.5$. Модулиуд нь ижил байдаг эдгээр тоонууд нь ямар төрлийн тоо болохыг харахад хялбар байдаг: эдгээр тоо нь эсрэгээрээ байна. Тиймээс бид эсрэг тоонуудын модулиуд тэнцүү гэдгийг бид өөрсдөө тэмдэглэж байна.

\[\зүүн| -a \right|=\left| a\right|\]

Өөр нэг чухал баримт: модуль нь хэзээ ч сөрөг байдаггүй. Бидний авсан ямар ч тоо - тэр ч байтугай эерэг, бүр сөрөг - түүний модуль нь үргэлж эерэг (эсвэл онцгой тохиолдолд тэг) болж хувирдаг. Ийм учраас модулийг ихэвчлэн тооны абсолют утга гэж нэрлэдэг.

Нэмж дурдахад, хэрэв бид эерэг ба сөрөг тооны модулийн тодорхойлолтыг нэгтгэвэл бүх тооны модулийн глобал тодорхойлолтыг олж авна. Тухайлбал: хэрэв тоо эерэг (эсвэл тэг) байвал тухайн тооны модуль нь энэ тоотой тэнцүү, хэрэв тоо нь сөрөг байвал эсрэг тоотой тэнцүү байна. Та үүнийг томъёогоор бичиж болно:

Мөн тэгийн модуль байдаг, гэхдээ энэ нь үргэлж тэгтэй тэнцүү байдаг. Мөн тэг бол эсрэг талгүй цорын ганц тоо юм.

Тиймээс, хэрэв бид $y=\left| функцийг авч үзвэл x \right|$ гэж үзээд түүний графикийг зурж үзвэл ийм "дүр" гарч ирнэ:

Модулийн график ба тэгшитгэлийн шийдлийн жишээ

Энэ зургаас та $\left| гэдгийг шууд харж болно -m \right|=\left| m \right|$ байх ба модулийн график хэзээ ч x тэнхлэгээс доош буудаггүй. Гэхдээ энэ нь бүгд биш: улаан шугам нь $y=a$ шулуун шугамыг тэмдэглэсэн бөгөөд энэ нь эерэг $a$-тэй бол бидэнд нэгэн зэрэг хоёр үндэс өгдөг: $((x)_(1))$ болон $((x) _(2)) $, гэхдээ бид энэ тухай дараа ярих болно. :)

Цэвэр алгебрийн тодорхойлолтоос гадна геометрийн тодорхойлолт байдаг. Тооны шулуун дээр $((x)_(1))$ ба $((x)_(2))$ гэсэн хоёр цэг байна гэж бодъё. Энэ тохиолдолд илэрхийлэл $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ нь зөвхөн заасан цэгүүдийн хоорондох зай юм. Эсвэл хэрэв хүсвэл эдгээр цэгүүдийг холбосон сегментийн урт:

Модуль гэдэг нь тоон шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зай юм

Мөн энэ тодорхойлолтоос харахад модуль нь үргэлж сөрөг биш байдаг. Гэхдээ хангалттай тодорхойлолт, онол - бодит тэгшитгэл рүү шилжье. :)

Үндсэн томъёо

За, бид тодорхойлолтыг нь оллоо. Гэхдээ энэ нь тийм ч амар болсонгүй. Яг энэ модулийг агуулсан тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Тайвшир, зүгээр л тайвшир. Хамгийн энгийн зүйлээс эхэлцгээе. Иймэрхүү зүйлийг авч үзье:

\[\зүүн| x\right|=3\]

Тэгэхээр modulo$x$ нь 3. $x$ нь юутай тэнцүү байж болох вэ? Тодорхойлолтоос харахад $x=3$ бидэнд яг тохирно. Үнэхээр:

\[\зүүн| 3\баруун|=3\]

Өөр тоо байна уу? Cap байгаа гэдгийг илтгэж байх шиг байна. Жишээлбэл, $x=-3$ — $\left| -3 \right|=3$, өөрөөр хэлбэл. шаардлагатай тэгш байдал хангагдсан байна.

Тэгэхээр бид хайж, бодоод үзвэл илүү олон тоо олдох болов уу? Гэхдээ сал: өөр тоо байхгүй байна. Тэгшитгэл $\left| x \right|=3$ нь зөвхөн хоёр үндэстэй: $x=3$ ба $x=-3$.

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. $x$ хувьсагчийн оронд $f\left(x \right)$ функцийг модулийн тэмдгийн доор өлгөх ба баруун талд гурвалжны оронд $a$ дурын тоог оруулъя. Бид тэгшитгэлийг авна:

\[\зүүн| f\left(x \right) \right|=a\]

За, яаж шийдэх вэ? Танд сануулъя: $f\left(x \right)$ нь дурын функц, $a$ нь дурын тоо. Тэдгээр. ямар ч байсан! Жишээлбэл:

\[\зүүн| 2x+1 \баруун|=5\]

\[\зүүн| 10x-5 \баруун|=-65\]

Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье. Та түүний тухай шууд хэлж болно: түүнд үндэс байхгүй. Яагаад? Энэ нь зөв: модуль нь сөрөг тоотой тэнцүү байхыг шаарддаг бөгөөд энэ нь хэзээ ч тохиолддоггүй, учир нь модуль нь үргэлж эерэг тоо эсвэл онцгой тохиолдолд тэг байдаг гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг болсон.

Гэхдээ эхний тэгшитгэлээр бүх зүйл илүү хөгжилтэй байдаг. Хоёр сонголт байна: нэг бол модулийн тэмдгийн доор эерэг илэрхийлэл байна, дараа нь $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, эсвэл энэ илэрхийлэл сөрөг хэвээр байх бөгөөд энэ тохиолдолд $\left| 2х+1 \баруун|=-\зүүн(2х+1 \баруун)=-2х-1$. Эхний тохиолдолд бидний тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичих болно.

\[\зүүн| 2x+1 \баруун|=5\Баруун сум 2x+1=5\]

Гэнэт $2x+1$ дэд модулийн илэрхийлэл үнэхээр эерэг байна - энэ нь 5 тоотой тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, Бид энэ тэгшитгэлийг найдвартай шийдэж чадна - үр дүнд нь үндэс нь хариултын нэг хэсэг болно:

Ялангуяа итгэлгүй хүмүүс олсон үндсийг анхны тэгшитгэлд орлуулахыг оролдож, модулийн доор үнэхээр эерэг тоо байх болно гэдэгт итгэлтэй байж болно.

Одоо сөрөг дэд модулийн илэрхийллийн тохиолдлыг харцгаая:

\[\зүүн\( \эхлэх(эгцлэх)& \зүүн| 2x+1 \баруун|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\Баруун сум -2x-1=5 \Баруун сум 2x+1=-5\]

Өө! Дахин хэлэхэд бүх зүйл тодорхой байна: бид $2x+1 \lt 0$ гэж таамаглаж, үр дүнд нь $2x+1=-5$-ийг авсан - үнэхээр энэ илэрхийлэл тэгээс бага байна. Олдсон үндэс нь бидэнд тохирох болно гэдгийг аль хэдийн мэдэж байсан ч бид үүссэн тэгшитгэлийг шийддэг.

Нийтдээ бид $x=2$, $x=3$ гэсэн хоёр хариултыг дахин авсан. Тиймээ, тооцооны хэмжээ нь маш энгийн $\left| тэгшитгэлээс арай илүү байсан. x \right|=3$, гэхдээ үндсэндээ юу ч өөрчлөгдөөгүй. Тэгэхээр бүх нийтийн алгоритм байдаг болов уу?

Тиймээ, ийм алгоритм байдаг. Тэгээд одоо бид дүн шинжилгээ хийх болно.

Модулийн тэмдэгээс салах

$\left| тэгшитгэлийг өгье f\left(x \right) \right|=a$, болон $a\ge 0$ (өөрөөр хэлбэл, бидний мэдэж байгаагаар үндэс байхгүй). Дараа нь та дараах дүрмийн дагуу модулийн тэмдгээс салж болно.

\[\зүүн| f\left(x \right) \right|=a\Баруун сум f\зүүн(x \баруун)=\pm a\]

Тиймээс модультай бидний тэгшитгэл хоёр хуваагдана, гэхдээ модульгүй. Энэ бол бүхэл бүтэн технологи юм! Хэд хэдэн тэгшитгэлийг шийдэхийг хичээцгээе. Эндээс эхэлье

\[\зүүн| 5x+4 \баруун|=10\Баруун сум 5x+4=\pm 10\]

Баруун талд нэмэх тэмдэгтэй арав байх үед, хасах тэмдэгтэй бол бид тусад нь авч үзэх болно. Бидэнд байгаа:

\[\эхлэх(зохицуулах)& 5x+4=10\Баруун тийш 5x=6\Баруун сум x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Баруун сум 5x=-14\Баруун сум x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгээд л болоо! Бид $x=1.2$ ба $x=-2.8$ гэсэн хоёр үндэс авсан. Бүх шийдэл нь шууд утгаараа хоёр мөрийг авсан.

За, асуултгүй, арай илүү ноцтой зүйлийг харцгаая:

\[\зүүн| 7-5x \баруун|=13\]

Дахин хэлэхэд модулийг нэмэх ба хасахтай нээнэ үү:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 7-5x=13\Баруун сум -5x=6\Баруун сум x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Баруун сум -5х=-20\Баруун сум x=4. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин хэдэн мөр - хариулт бэлэн боллоо! Миний хэлсэнчлэн модульд төвөгтэй зүйл байхгүй. Та зөвхөн хэдэн дүрмийг санах хэрэгтэй. Тиймээс бид цаашаа явж, үнэхээр илүү хэцүү ажлуудыг үргэлжлүүлнэ.

Хувьсах баруун талын хайрцаг

Одоо энэ тэгшитгэлийг авч үзье:

\[\зүүн| 3x-2 \баруун|=2х\]

Энэ тэгшитгэл нь өмнөх бүх тэгшитгэлээс үндсэндээ ялгаатай юм. Хэрхэн? Мөн $2x$ илэрхийлэл тэнцүү тэмдгийн баруун талд байгаа нь эерэг эсвэл сөрөг эсэхийг бид урьдчилан мэдэж чадахгүй.

Ийм тохиолдолд яаж байх вэ? Нэгдүгээрт, бид үүнийг нэг удаа, бүрэн ойлгох ёстой Хэрэв тэгшитгэлийн баруун тал сөрөг байвал тэгшитгэл нь үндэсгүй болно- модуль нь сөрөг тоотой тэнцүү байж болохгүй гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн.

Хоёрдугаарт, хэрэв баруун хэсэг нь эерэг хэвээр байвал (эсвэл тэгтэй тэнцүү бол) та өмнөх шигээ үргэлжлүүлж болно: модулийг нэмэх тэмдгээр тусад нь, хасах тэмдгээр тусад нь нээнэ үү.

Тиймээс бид $f\left(x \right)$ болон $g\left(x \right)$ дурын функцүүдийн дүрмийг томъёолдог:

\[\зүүн| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& f\left(x \баруун)=\pm g\left(x \баруун) ), \\& g\left(x \баруун)\ge 0. \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Бидний тэгшитгэлийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна.

\[\зүүн| 3x-2 \баруун|=2x\Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(зүүн)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\төгсгөл(зүүн) \баруун.\]

За, бид $2x\ge 0$-ын шаардлагыг ямар нэгэн байдлаар шийдэж чадна. Эцэст нь бид эхний тэгшитгэлээс олж авсан үндсийг тэнэг байдлаар орлуулж, тэгш бус байдал биелэх эсэхийг шалгаж болно.

Тэгэхээр тэгшитгэлийг өөрөө шийдье:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 3x-2=2\Баруун тийш 3x=4\Баруун сум x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Баруун сум 3x=0\Баруун сум x=0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

За, эдгээр хоёр үндэсийн аль нь $2x\ge 0$ шаардлагыг хангах вэ? Тийм ээ, хоёулаа! Тиймээс хариулт нь $x=(4)/(3)\;$ ба $x=0$ гэсэн хоёр тоо байх болно. Энэ бол шийдэл. :)

Оюутны нэг нь аль хэдийн уйдаж эхэлсэн гэж би сэжиглэж байна? За, бүр илүү төвөгтэй тэгшитгэлийг авч үзье:

\[\зүүн| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \баруун|=x-((x)^(3))\]

Хэдийгээр энэ нь муухай харагдаж байгаа ч үнэн хэрэгтээ энэ нь "модуль нь функцтэй тэнцүү" хэлбэрийн ижил тэгшитгэл юм:

\[\зүүн| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

Мөн энэ нь ижил аргаар шийдэгддэг:

\[\зүүн| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \баруун|=x-((x)^(3))\Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \баруун), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Бид дараа нь тэгш бус байдлын асуудлыг шийдэх болно - энэ нь ямар нэг байдлаар хэтэрхий харгис юм (үнэндээ энгийн, гэхдээ бид үүнийг шийдэхгүй). Одоохондоо гарсан тэгшитгэлүүдийг харцгаая. Эхний тохиолдлыг авч үзье - энэ нь модулийг нэмэх тэмдгээр өргөтгөсөн үед юм.

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

За, энд та зүүн талд байгаа бүх зүйлийг цуглуулж, ижил төстэй зүйлийг авчирч, юу болохыг харах хэрэгтэй. Тэгээд ийм зүйл болдог:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

$((x)^(2))$ нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтанд оруулбал маш энгийн тэгшитгэл гарна.

\[((x)^(2))\left(2x-3 \баруун)=0\Баруун сум \зүүн[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Энд бид бүтээгдэхүүний нэг чухал шинж чанарыг ашигласан бөгөөд үүний тулд бид анхны олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгон хуваасан: хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна.

Одоо бид ижил аргаар модулийг хасах тэмдгээр өргөжүүлэх замаар олж авсан хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзэх болно.

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \баруун); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \баруун)=0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин хэлэхэд ижил зүйл: хүчин зүйлийн дор хаяж нэг нь тэг байх үед бүтээгдэхүүн нь тэг болно. Бидэнд байгаа:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\ end(align) \right.\]

Бид $x=0$, $x=1.5$, $x=(2)/(3)\;$ гэсэн гурван үндэстэй болсон. За, энэ багцаас эцсийн хариулт юу болох вэ? Үүнийг хийхийн тулд бидэнд тэгш бус байдлын нэмэлт хязгаарлалт байгаа гэдгийг санаарай:

Энэ шаардлагыг хэрхэн анхаарч үзэх вэ? Олдсон үндсийг орлуулаад эдгээр $x$-д тэгш бус байдал байгаа эсэхийг шалгая. Бидэнд байгаа:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& x=0\Баруун сум x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Баруун сум x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Баруун сум x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс $x=1.5$ үндэс нь бидэнд тохирохгүй байна. Зөвхөн хоёр үндэс хариуд нь явах болно:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Таны харж байгаагаар, энэ тохиолдолд ч гэсэн хэцүү зүйл байгаагүй - модультай тэгшитгэлийг үргэлж алгоритмын дагуу шийддэг. Та олон гишүүнт болон тэгш бус байдлын талаар сайн ойлголттой байх хэрэгтэй. Тиймээс бид илүү төвөгтэй ажлууд руу шилжиж байна - аль хэдийн нэг биш, хоёр модуль байх болно.

Хоёр модультай тэгшитгэл

Одоогийн байдлаар бид зөвхөн хамгийн энгийн тэгшитгэлийг судалж үзсэн - нэг модуль, өөр зүйл байсан. Эцэст нь бүх зүйл $\left| шиг тэгшитгэл болж буурахын тулд бид энэ "өөр зүйлийг" модулиас хол тэгш бус байдлын өөр хэсэг рүү илгээсэн. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ эсвэл бүр энгийн $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Гэхдээ цэцэрлэг дууссан - илүү ноцтой зүйлийг анхаарч үзэх цаг болжээ. Ийм тэгшитгэлээр эхэлцгээе.

\[\зүүн| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Энэ бол "модуль нь модультай тэнцүү" хэлбэрийн тэгшитгэл юм. Үндсэн чухал зүйл бол бусад нэр томъёо, хүчин зүйл байхгүй байна: зүүн талд зөвхөн нэг модуль, баруун талд нэг модуль - өөр юу ч биш.

Ийм тэгшитгэлийг шийдэх нь бидний өнөөг хүртэл судалж байснаас хамаагүй хэцүү гэж бодох болно. Гэхдээ үгүй: эдгээр тэгшитгэлийг шийдэх нь илүү хялбар байдаг. Энд томъёо байна:

\[\зүүн| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Баруун сум f\зүүн(x \баруун)=\pm g\left(x \баруун)\]

Бүгд! Бид зүгээр л нэгийг нь нэмэх эсвэл хасах тэмдгээр угтвар тавих замаар дэд модулийн илэрхийллүүдийг тэгшитгэдэг. Дараа нь бид үүссэн хоёр тэгшитгэлийг шийдэж, үндэс бэлэн боллоо! Ямар ч нэмэлт хязгаарлалт, тэгш бус байдал гэх мэт. Бүх зүйл маш энгийн.

Энэ асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе:

\[\зүүн| 2x+3 \баруун|=\зүүн| 2x-7 \баруун|\]

Бага ангийн Ватсон! Модулиудыг нээх:

\[\зүүн| 2x+3 \баруун|=\зүүн| 2x-7 \баруун|\Баруун сум 2x+3=\pm \зүүн(2x-7 \баруун)\]

Тохиолдол бүрийг тусад нь авч үзье:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2х+3=-\зүүн(2х-7 \баруун)\Баруун сум 2х+3=-2х+7. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Эхний тэгшитгэл нь үндэсгүй. Яагаад гэвэл $3=-7$ хэзээ вэ? $x$-ийн ямар утгуудын хувьд? “Ямар новш вэ $x$? Та чулуугаар шидсэн үү? Ерөөсөө $x$ байхгүй" гэж та хэлэв. Мөн та зөв байх болно. Бид $x$ хувьсагчаас хамааралгүй тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд үүний зэрэгцээ тэгш байдал нь өөрөө буруу байна. Тийм учраас үндэс байхгүй.

Хоёрдахь тэгшитгэлийн хувьд бүх зүйл арай илүү сонирхолтой, гэхдээ бас маш энгийн:

Таны харж байгаагаар бүх зүйл шууд утгаараа хэд хэдэн мөрөнд шийдэгдсэн - бид шугаман тэгшитгэлээс өөр юу ч хүлээгээгүй. :)

Үүний үр дүнд эцсийн хариулт нь: $x=1$.

За, яаж? Хэцүү үү? Мэдээж үгүй. Өөр зүйл туршиж үзье:

\[\зүүн| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \баруун|\]

Бид дахин $\left| шиг тэгшитгэлтэй байна f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Тиймээс бид нэн даруй дахин бичиж, модулийн тэмдгийг илчилнэ.

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \баруун)\]

Магадгүй одоо хэн нэгэн: "Хөөе, ямар утгагүй юм бэ? Яагаад нэмэх хасах тэмдэг зүүн талд биш баруун талд байна вэ? Тайвшир, би бүгдийг тайлбарлах болно. Үнэн хэрэгтээ бид тэгшитгэлээ дараах байдлаар дахин бичих ёстой байсан.

Дараа нь та хаалтуудыг нээж, бүх нэр томьёог тэнцүү тэмдгээс нэг чиглэлд шилжүүлэх хэрэгтэй (учир нь тэгшитгэл нь хоёр тохиолдолд дөрвөлжин байх болно), дараа нь үндсийг олох хэрэгтэй. Гэхдээ та хүлээн зөвшөөрөх ёстой: "нэмэх хасах" нь гурван гишүүний өмнө байх үед (ялангуяа эдгээр нэр томъёоны аль нэг нь дөрвөлжин илэрхийлэл бол) "нэмэх хасах" нь зөвхөн хоёрын өмнө байх үеийн нөхцөл байдлаас илүү төвөгтэй харагддаг. нөхцөл.

Гэхдээ анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичихэд юу ч саад болохгүй.

\[\зүүн| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \баруун|\Баруун сум \зүүн| ((x)^(2))-3x+2 \баруун|=\зүүн| x-1 \баруун|\]

Юу болсон бэ? Тийм ээ, онцгой зүйл байхгүй: зүгээр л зүүн, баруун талыг сольсон. Эцсийн эцэст бидний амьдралыг бага зэрэг хялбаршуулах жижиг зүйл. :)

Ерөнхийдөө бид энэ тэгшитгэлийг нэмэх ба хасах хувилбаруудыг харгалзан шийддэг.

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Баруун сум ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\зүүн(x-1 \баруун)\Баруун сум ((x)^(2))-2x+1=0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Эхний тэгшитгэл нь $x=3$ ба $x=1$ үндэстэй. Хоёр дахь нь ерөнхийдөө яг дөрвөлжин:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \баруун))^(2))\]

Тиймээс энэ нь нэг үндэстэй: $x=1$. Гэхдээ бид энэ үндсийг өмнө нь хүлээн авсан. Тиймээс эцсийн хариултанд зөвхөн хоёр тоо орно.

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Даалгавар биелэгдэлээ! Та тавиур дээрээс аваад бялуу идэж болно. Тэдний 2 нь байна, таны дундаж. :)

Чухал тэмдэглэл. Модулийн өргөтгөлийн янз бүрийн хувилбаруудад ижил үндэс байгаа нь анхны олон гишүүнт хүчин зүйлд задардаг гэсэн үг бөгөөд эдгээр хүчин зүйлсийн дунд заавал нийтлэг байх болно. Үнэхээр:

\[\эхлэх(эгцлэх)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \баруун|; \\&\зүүн| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Модулийн шинж чанаруудын нэг: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (өөрөөр хэлбэл, бүтээгдэхүүний модуль нь модулийн үржвэртэй тэнцүү) тул анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\зүүн| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \баруун|\]

Таны харж байгаагаар бидэнд үнэхээр нийтлэг хүчин зүйл бий. Одоо, хэрэв та бүх модулиудыг нэг талдаа цуглуулвал энэ үржүүлэгчийг хаалтаас гаргаж болно.

\[\эхлэх(эгцлэх)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \баруун|; \\&\зүүн| x-1 \баруун|-\зүүн| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\&\зүүн| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

За, одоо бид хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү гэдгийг санаж байна.

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Ийнхүү хоёр модультай анхны тэгшитгэлийг хичээлийн эхэнд бидний ярьсан хамгийн энгийн хоёр тэгшитгэл болгон буурууллаа. Ийм тэгшитгэлийг хэдхэн мөрөөр шийдэж болно. :)

Энэ тайлбар нь практикт шаардлагагүй, төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч бодит байдал дээр та өнөөдөр бидний дүн шинжилгээ хийж байгаа ажлуудаас хамаагүй илүү төвөгтэй ажлуудтай тулгарч магадгүй юм. Тэдгээрийн дотор модулиудыг олон гишүүнт, арифметик үндэс, логарифм гэх мэтээр нэгтгэж болно. Ийм нөхцөлд хаалтнаас ямар нэг зүйлийг гаргаж тэгшитгэлийн ерөнхий түвшинг бууруулах чадвар нь маш их хэрэг болно. :)

Одоо би эхлээд харахад галзуу мэт санагдаж болох өөр нэг тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийхийг хүсч байна. Олон оюутнууд үүнд "наалддаг" - тэр ч байтугай модулиудын талаар сайн ойлголттой гэдэгт итгэдэг хүмүүс ч гэсэн.

Гэсэн хэдий ч, энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь бидний өмнө авч үзсэнээс хамаагүй хялбар юм. Хэрэв та яагаад гэдгийг ойлговол модультай тэгшитгэлийг хурдан шийдвэрлэх өөр нэг заль мэхийг авах болно.

Тэгэхээр тэгшитгэл нь:

\[\зүүн| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \баруун|=0\]

Үгүй ээ, энэ бол үсгийн алдаа биш: энэ нь модулиудын хоорондох нэмэлт зүйл юм. Бид аль $x$-д хоёр модулийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү болохыг олох хэрэгтэй. :)

Асуудал юу вэ? Асуудал нь модуль бүр эерэг тоо буюу онцгой тохиолдолд тэг байх явдал юм. Хоёр эерэг тоог нэмэхэд юу болох вэ? Мэдээжийн хэрэг, дахин эерэг тоо:

\[\эхлэх(эгцлэх)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Сүүлийн мөр нь танд санаа өгч магадгүй: модулийн нийлбэр тэг байх цорын ганц тохиолдол бол модуль бүр тэгтэй тэнцүү байх явдал юм.

\[\зүүн| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \баруун|=0\Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& \зүүн| x-((x)^(3)) \баруун|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \баруун|=0. \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Хэзээ модуль тэгтэй тэнцүү вэ? Зөвхөн нэг тохиолдолд - дэд модулийн илэрхийлэл тэгтэй тэнцүү байх үед:

\[((x)^(2))+x-2=0\Баруун сум \зүүн(x+2 \баруун)\зүүн(x-1 \баруун)=0\Баруун сум \зүүн[ \эхлэх(эгцлэх)& x=-2 \\& x=1 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Тиймээс бид эхний модулийг тэг болгох гурван цэгтэй болно: 0, 1, −1; түүнчлэн хоёр дахь модулийг тэглэх хоёр цэг: −2 ба 1. Гэсэн хэдий ч бид хоёр модулийг нэгэн зэрэг тэглэх шаардлагатай тул олсон тоонуудаас бид хоёр багцад багтсаныг сонгох хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, ийм тоо ганц л байна: $x=1$ - энэ нь эцсийн хариулт байх болно.

хуваах арга

За, бид аль хэдийн олон даалгавруудыг даван туулж, олон заль мэх сурсан. Ингээд л болоо гэж бодож байна уу? Гэхдээ үгүй! Одоо бид эцсийн техникийг авч үзэх болно - тэр үед хамгийн чухал. Бид модультай тэгшитгэлийг хуваах талаар ярих болно. Юу хэлэлцэх вэ? Бага зэрэг буцаж очоод энгийн тэгшитгэлийг авч үзье. Жишээлбэл, энэ нь:

\[\зүүн| 3x-5\баруун|=5-3х\]

Зарчмын хувьд бид ийм тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг аль хэдийн мэддэг, учир нь энэ нь стандарт $\left| юм f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Гэхдээ энэ тэгшитгэлийг арай өөр өнцгөөс харахыг хичээцгээе. Илүү нарийвчлалтай, модулийн тэмдгийн доорх илэрхийлэлийг анхаарч үзээрэй. Ямар ч тооны модуль нь тухайн тоотой тэнцүү эсвэл энэ тооны эсрэг байж болохыг сануулъя.

\[\зүүн| a \right|=\left\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\төгсгөх(эгцлэх) \баруун.\]

Үнэндээ энэ хоёрдмол байдал нь бүхэл бүтэн асуудал юм: модулийн доорх тоо өөрчлөгддөг тул (энэ нь хувьсагчаас хамаарна) эерэг эсвэл сөрөг эсэх нь бидэнд тодорхойгүй байна.

Гэхдээ бид эхлээд энэ тоо эерэг байхыг шаарддаг бол яах вэ? Жишээлбэл, $3x-5 \gt 0$ - энэ тохиолдолд бид модулийн тэмдгийн дор эерэг тоо авах баталгаатай бөгөөд энэ модулиас бүрэн ангижрахыг шаардацгаая.

Тиймээс бидний тэгшитгэл нь шугаман болж хувирах бөгөөд үүнийг амархан шийдэж болно.

Үнэн, эдгээр бүх бодол нь зөвхөн $3x-5 \gt 0$ нөхцөлд л утга учиртай байдаг - модулийг хоёрдмол утгагүй илчлэхийн тулд бид өөрсдөө энэ шаардлагыг нэвтрүүлсэн. Ингээд олсон $x=\frac(5)(3)$-г энэ нөхцөлд орлуулаад шалгая:

Заасан $ x $ утгын хувьд бидний шаардлага хангагдаагүй байна, учир нь илэрхийлэл нь тэгтэй тэнцүү болсон бөгөөд бид тэгээс их байх шаардлагатай. Харамсалтай. :(

Гэхдээ зүгээр! Эцсийн эцэст $3x-5 \lt 0$ гэсэн өөр сонголт бий. Үүнээс гадна: $3x-5=0$ гэсэн тохиолдол бас бий - үүнийг бас анхаарч үзэх хэрэгтэй, эс тэгвээс шийдэл нь бүрэн бус байх болно. Тиймээс $3x-5 \lt 0$ тохиолдлыг авч үзье:

Модуль хасах тэмдгээр нээгдэх нь ойлгомжтой. Гэвч дараа нь хачирхалтай нөхцөл байдал үүсдэг: ижил илэрхийлэл нь анхны тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд хоёуланд нь харагдах болно.

Ийм $x$-ийн хувьд $5-3x$ илэрхийлэл нь $5-3x$ илэрхийлэлтэй тэнцэх юм бол би гайхаж байна уу? Ийм тэгшитгэлээс харахад ахмад хүртэл шүлсээ боомилох нь ойлгомжтой, гэхдээ энэ тэгшитгэл нь ижил төстэй байдал гэдгийг бид мэднэ, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь хувьсагчийн аль ч утгын хувьд үнэн юм!

Энэ нь ямар ч $ x $ бидэнд тохирох болно гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч бидэнд хязгаарлалт бий:

Өөрөөр хэлбэл, хариулт нь ганц тоо биш, харин бүхэл бүтэн интервал байх болно:

Эцэст нь дахин нэг хэрэг үлдлээ: $3x-5=0$. Энд бүх зүйл энгийн: модулийн дор тэг байх болно, тэгийн модуль нь тэгтэй тэнцүү байна (энэ нь тодорхойлолтоос шууд хамаарна):

Харин дараа нь анхны тэгшитгэл $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ дараах байдлаар дахин бичигдэнэ.

Бид $3x-5 \gt 0$ хэргийг авч үзэхдээ дээрх үндэсийг аль хэдийн авсан. Түүнээс гадна, энэ үндэс нь $3x-5=0$ тэгшитгэлийн шийдэл юм - энэ бол модулийг хүчингүй болгохын тулд бид өөрсдөө нэвтрүүлсэн хязгаарлалт юм. :)

Тиймээс интервалаас гадна бид энэ интервалын төгсгөлд байгаа тоонд сэтгэл хангалуун байх болно.

Модультай тэгшитгэлийн үндэсийг нэгтгэх

Нийт эцсийн хариулт: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Модультай маш энгийн (үндсэндээ шугаман) тэгшитгэлийн хариултаас ийм тэнэг харагдах нь тийм ч түгээмэл биш юм. За, үүнд дасаарай: модулийн нарийн төвөгтэй байдал нь ийм тэгшитгэлийн хариултуудыг урьдчилан таамаглах боломжгүй байдагт оршино.

Илүү чухал зүйл бол өөр зүйл юм: бид модультай тэгшитгэлийг шийдэх бүх нийтийн алгоритмыг задаллаа! Мөн энэ алгоритм нь дараах алхмуудаас бүрдэнэ.

1. Тэгшитгэлийн модуль бүрийг тэгтэй тэнцүүл. Хэд хэдэн тэгшитгэлийг авч үзье;
2. Эдгээр бүх тэгшитгэлийг шийдэж, тооны шулуун дээрх үндсийг тэмдэглэ. Үүний үр дүнд шулуун шугамыг хэд хэдэн интервалд хувааж, тус бүр дээр бүх модулиудыг өвөрмөц байдлаар өргөжүүлнэ;
3. Интервал тус бүрийн анхны тэгшитгэлийг шийдэж, хариултуудыг нэгтгэнэ үү.

Тэгээд л болоо! Зөвхөн нэг асуулт хэвээр байна: 1-р шатанд олж авсан үндсийг өөрсдөө юу хийх вэ? $x=1$ ба $x=5$ гэсэн хоёр үндэстэй гэж бодъё. Тэд тооны шугамыг 3 хэсэгт хуваана:

Тооны шугамыг цэгүүдийг ашиглан интервалд хуваах

Тэгэхээр интервалууд юу вэ? Тэдгээрийн гурав нь байгаа нь тодорхой байна.

1. Хамгийн зүүн талд: $x \lt 1$ - нэгж өөрөө интервалд ороогүй болно;
2. Төв: $1\le x \lt 5$ - энд нэг нь интервалд орсон боловч тавыг оруулаагүй болно;
3. Хамгийн зөв нь: $x\ge 5$ — тавыг зөвхөн энд оруулсан болно!

Та загварыг аль хэдийн ойлгосон гэж бодож байна. Интервал бүр нь зүүн төгсгөлийг багтаасан бөгөөд баруун төгсгөлийг оруулаагүй болно.

Эхлээд харахад ийм бичлэг нь эвгүй, логикгүй, ерөнхийдөө ямар нэгэн галзуу мэт санагдаж магадгүй юм. Гэхдээ надад итгээрэй: бага зэрэг дадлага хийсний дараа энэ нь хамгийн найдвартай арга бөгөөд нэгэн зэрэг илчлэх модулиудад саад болохгүй гэдгийг олж мэдэх болно. Ийм схемийг байнга бодохоос илүү ашиглах нь дээр: зүүн / баруун төгсгөлийг одоогийн интервалд өгөх эсвэл дараагийнх руу нь "шид".

Энд л хичээл дуусна. Өөрийгөө шийдэх даалгавруудыг татаж авах, дадлага хийх, хариулттай харьцуулах - модультай тэгш бус байдлын талаархи дараагийн хичээлээр уулзацгаая. :)

Үүний нэгэн адил z 1 ба z 2 цогцолбор тоонуудын z 1 - z 2 ялгаа нь z 1 ба z 2 тоонуудад харгалзах векторуудын зөрүүтэй тохирч байна. Модулийн тодорхойлолтоор z 1 ба z 2 хоёр комплекс тоонуудын модуль. , z 1 - z 2 векторын урт. z 2 ба (- z 1) гэсэн хоёр векторын нийлбэр болох векторыг байгуулъя. Бид вектортой тэнцүү векторыг авдаг.Тиймээс векторын урт байна, өөрөөр хэлбэл, хоёр комплекс тооны зөрүүний модуль нь эдгээр тоонуудад тохирох комплекс хавтгайн цэгүүдийн хоорондох зай юм.

6. Комплекс тооны аргументууд. z= a + ib цогцолбор тооны аргумент нь бодит тэнхлэгийн эерэг чиглэл ба z векторын хоорондох өнцөг; өнцгийн утгыг цагийн зүүний дагуу тоолвол эерэг, цагийн зүүний дагуу тоолвол сөрөг гэж үзнэ.

j тоо нь z= a+ ib тооны аргумент болохыг тэмдэглэхийн тулд j=argz эсвэл j=arg (a+ib) гэж бичнэ.

z=0 тооны хувьд аргумент тодорхойлогдоогүй байна. Иймд аргументийн тухай ойлголттой холбоотой дараагийн бүх аргументуудад бид үүнийг таамаглах болно.Модуль болон аргументыг зааж өгснөөр комплекс тоо өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог гэдгийг анхаарна уу; z=0 тоо нь зөвхөн модулийг нь зааж өгөх замаар тодорхойлогддог цорын ганц тоо юм.

Нөгөөтэйгүүр, хэрэв нийлмэл тоо өгөгдсөн бол энэ тооны модуль нь үргэлж тодорхой бус тодорхойлогддог аргументаас ялгаатай нь үргэлж өвөрмөц тодорхойлогддог нь ойлгомжтой: хэрэв j нь z тооны зарим аргумент бол j + 2pk өнцөг нь мөн z тооны аргументууд юм.

Тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтоос харахад j=arg (a+ib) бол дараах систем явагдана.

Жишээ 4 Тэгшитгэлийн систем хэдэн шийдэлтэй вэ?

a) Модулиуд нь 3 ба 1-тэй тэнцүү тоонуудыг нэг цогц хавтгайд зур

модуль 1-ийг олох би: .

Том тойрог дээр ямар ч цэг байхгүй гэдгийг анхаарна уу

жижигтэй нь тэнцүү зайтай ойр,

Эндээс систем нь үндэсгүй гэсэн үг юм.

3-аар шилжих үед бижижиг тойргийн зөвхөн нэг цэг нь энэ цэг дээр унасан гэдгийг бид олж мэднэ

өөр тойрог.

Энэ цэг нь системийн шийдэл байх болно.

в) Модули нь 1-тэй тэнцүү тоонуудыг нэг цогц хавтгайд зур.

Зөвхөн хоёр цэгийг нэгээр зүүн тийш шилжүүлэхэд бид нэг тойрог руу орох бөгөөд энэ хоёр тоо нь системийн шийдэл болно гэсэн үг юм.

7. Комплекс тооны алгебр болон тригонометрийн хэлбэрүүд. z цогцолбор тоог a + ib хэлбэрээр бичихийг нэрлэдэг алгебрийн хэлбэрнийлмэл тоо.

Комплекс тоо бичих бусад хэлбэрийг авч үзье. r нь модуль, j нь z= a+ ib комплекс тооны аргументуудын нэг, өөрөөр хэлбэл r = ,j=arg (a+ib) байг. Дараа нь (5) томъёоноос харахад, тиймээс,

Комплекс тоог хэлбэрт оруулахыг түүний гэнэ тригонометрийн хэлбэр.

a + ib цогцолбор тооны алгебрийн хэлбэрээс тригонометрийн хэлбэр рүү шилжихийн тулд түүний модуль болон аргументуудын аль нэгийг олоход хангалттай.

Жишээ 5 Нөхцөлөөр нийлмэл хавтгайн ямар багц цэгүүд өгөгдсөн

a) Бид доош шилжих үед цэгүүдийг байгуулах ёстой би 1-ээр баруун тийшээ гарал үүсэл, хаанаас ижил зайд заах болно

Өгөгдсөн нөхцөлийг хангасан цэгүүдийн багцыг бий болгохын тулд бид дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1) гарал үүслээс 2-оор ижил зайтай цэгүүдийн багцыг байгуулна

2) зүүн тийш 1, хөдөлгө бидээш

б) Бид цэгт ойр байрлах цэгүүдийг барих ёстой - би-ээс 2i,Эдгээр цэгүүдийг зурагт үзүүлэв.

в) Энэ тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна

Энэ нь эдгээр тоонуудыг зайнаас хасах болно

1 баруун тийш. Энэ тохиолдолд хоёр дахь нөхцөл хангагдсан тохиолдолд y нь зурагт үзүүлсэн өнцгийг авна.

Өөрөөр хэлбэл, эдгээр нь координатын гарал үүслээс 1-ээс ихгүй алслагдсан цэгүүд бөгөөд 0 тоог хасч тооцно. Хоёр ба гурав дахь нөхцлийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

f) Эхний нөхцөлийг хангасан цэгүүдийг байгуулахын тулд 1-ийн зайд байгаа цэгүүдийг шилжүүлэх шаардлагатай.

1 баруун тийш. Үүний зэрэгцээ бусад нөхцлийг харгалзан бид авдаг

хүссэн цэгүүдийн багц.

Жишээ 6 Дараах илэрхийллүүд нь тооны тригонометрийн хэлбэр байх уу?

Тоон бичих тригонометрийн хэлбэр нь зөвхөн a илэрхийлэл байх болно), учир нь зөвхөн тоо бичих тригонометрийн хэлбэрийн тодорхойлолтыг хангадаг (мөн бүх тригонометрийн функцүүдийн хувьд өнцөг нь тэнцүү байх ёстой, мөн хэрэв та утгыг тооцоолох юм бол илэрхийлэл, тэгвэл тэнцүү байх ёстой).

8. Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр үржүүлэх, хуваах. Болъё

Тиймээс, Хоёр комплекс тооны модуль ба үржвэр нь хүчин зүйлсийн модулийн үржвэртэй тэнцүү бөгөөд хүчин зүйлийн аргументуудын нийлбэр нь үржвэрийн аргумент юм.

За тэгье

Тиймээс, хоёр нийлмэл тооны хуваагчийн модулийн модуль нь ногдол ашиг ба хуваагчийн модулийн хуваагчтай тэнцүү бөгөөд ногдол ашиг ба хуваагчийн аргументуудын ялгаа нь давтамжийн аргумент юм.

9. Экспоненциаци ба үндэс олборлолт. Хоёр нийлмэл тооны үржвэрийн томъёо (6)-ийг хүчин зүйлийн тохиолдолд ерөнхийд нь авч үзэж болно. Математик индукцийн аргыг ашиглан хэрэв аргументууд нь тоо, дараа нь тоо гэдгийг харуулахад хялбар байдаг.

Эндээс тусгай тохиолдлын хувьд комплекс тоог эерэг бүхэл тоо болгон өсгөх дүрмийг өгсөн томъёог олж авна.

Тиймээс, нийлмэл тоог натурал илтгэгчтэй зэрэгт өсгөхөд түүний модулийг ижил илтгэгчтэй зэрэгт өсгөж, аргументыг илтгэгчээр үржүүлнэ.

Формула (8)-ыг Де Мойврын томъёо гэж нэрлэдэг.

Тоо нь тооны үндэс гэж нэрлэгддэг w(хэрэв гэж тэмдэглэв

Хэрэв w=0, дараа нь аль нэг нь nтэгшитгэл нь нэг бөгөөд цорын ганц шийдэлтэй z= 0.

Одоо төсөөлөөд үз дээ zТэгээд wтригонометрийн хэлбэрээр:

Дараа нь тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Хоёр комплекс тоо нь зөвхөн модулиуд нь тэнцүү, аргументууд нь 2-ын үржвэрээр ялгаатай байвал тэнцүү байна. х.Тиймээс,

Тиймээс тэгшитгэлийн бүх шийдлүүдийг томъёогоор өгсөн болно

Нээрээ дугаарыг нь өгчих к(9) томъёонд 0, 1, …, ()-ээс бусад бүхэл тоонууд байна. n-1), бид бусад нийлмэл тоонуудыг авдаггүй.

Формула (9) гэж нэрлэдэг Де Мойврын хоёр дахь томьёо.

Тиймээс хэрэв , тэгвэл яг байдаг nградусын үндэс nдугаараас w: тэдгээр нь бүгд (9) томъёонд агуулагддаг.

Ялангуяа =2 бол тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна.

өөрөөр хэлбэл эдгээр үндэс нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

Хэрэв тэгшитгэлийн бүх язгуурыг төлөөлж буй цэгүүд нь тогтмол цэгийн оройнууд болно гэдгийг томъёо (9)-аас олоход хялбар байдаг. n-цэг дээр төвлөрсөн тойрог дотор бичээстэй дөрвөлжин z=0 ба радиус.

Дээрхээс харахад тэмдэг нь хоёрдмол утгатай биш юм. Тиймээс үүнийг ашиглахдаа энэ нь юу гэсэн үг болохыг тодорхой ойлгох ёстой. Жишээлбэл, тэмдэглэгээг ашиглахдаа энэ нь хос комплекс тоонд хамаарах эсэхийг тодорхой болгоход анхаарах хэрэгтэй. биТэгээд -и, эсвэл нэг, хэрэв нэг бол аль нь.

Жишээ 7 Тригонометрийн хэлбэрээр бичнэ үү:

б) Тэр цагаас хойш, хаанаас.

Түүнээс хойш, хаанаас

в) Тэр цагаас хойш, хаанаас.

10. Квадрат тэгшитгэл. Сургуулийн алгебрийн хичээл дээр квадрат тэгшитгэлийг авч үзсэн

бодит коэффициентүүдтэй a, b, c.Хэрэв (10) тэгшитгэлийн дискриминант нь сөрөг биш бол ийм тэгшитгэлийн шийдийг томъёогоор өгөгддөг болохыг харуулсан.

Хэрэв бол тэгшитгэлд шийдэл байхгүй гэж хэлсэн.

Томъёо (11)-ийг гаргахын тулд бид гурвалсан гишүүний квадратыг гаргаж, дараа нь зүүн талыг шугаман хүчин зүйл болгон задлах аргыг ашигласан.

(11) томъёог авсан. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр бүх тооцоолол нь хүчинтэй хэвээр байх болно a, b, cнь комплекс тоо бөгөөд тэгшитгэлийн үндэс нь комплекс тоонуудын олонлогт олддог.

Ийнхүү цогц тоонуудын олонлогт тэгшитгэл

үргэлж зөвшөөрдөг. Хэрэв тэгшитгэл нэг үндэстэй бол тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна. Бүх тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо хүчинтэй байна

язгуурын бүх утгыг тусгасан болно.

Жишээ 8 тэгшитгэлийг шийд

a) Энэ тэгшитгэл нь квадрат юм.

мөн иймээс xТэгээд yсистемийг хангана

болон xТэгээд y

анзаараарай, тэр x

Бид авах үед:

(*) тэгшитгэлийг шийдье: x 4 +15x 2 -16 =0 нь квадрат тэгшитгэл юм x 2, хаанаас

Систем рүү буцаж орцгооё:

б) Энэ тэгшитгэл нь квадрат.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.

Бүх утгыг тодорхойлохын тулд бид тохируулна

мөн иймээс xТэгээд yсистемийг хангана

болон xТэгээд yбодит тоо. Системийг шийдье:

анзаараарай, тэр x=0 нь системийн шийдэл биш юм.

Бид авах үед:

(*) тэгшитгэлийг шийдье: x 4 -16x 2 -225=0 – квадрат тэгшитгэл x 2, хаанаас

Систем рүү буцаж орцгооё:

Жишээ 9 тэгшитгэлийг шийд

a) -г байг, тэгвэл тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

Эндээс, теоремын дагуу Виетийн теоремын урвуу утгыг олж авна

руу буцаж байна z, бид авдаг

1) . Анхаарна уу. Де Мойврын хоёр дахь томьёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тиймээс,

2). Анхаарна уу. Де Мойврын хоёр дахь томьёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тиймээс,

б) Тэгшитгэлийг өөрчилье:

Анхаар, тэр. Де Мойврын хоёр дахь томьёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Жишээ 10. Тэгшитгэлийг шийд:

Бид тэгшитгэлийг квадрат хэлбэрээр шийддэг z 2: D =

Болъё z=a+ib,тэгвэл тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Тэгвэл хаанаас нь болъё

Let, тэгвэл бид авна гэсэн үг, тэгээд бид үүнийг авна

Эхлээд бид модулийн тэмдгийн дор илэрхийллийн тэмдгийг тодорхойлж, дараа нь модулийг өргөжүүлнэ:

• Хэрэв илэрхийллийн утга тэгээс их байвал бид үүнийг модулийн тэмдгийн доороос зүгээр л гаргана.
• Хэрэв илэрхийлэл нь тэгээс бага бол бид жишээн дээр дурдсанчлан тэмдгийг өөрчлөхдөө модулийн тэмдгийн доороос гаргаж авдаг.

За, оролдох уу? Тооцооё:

(Мартсан, давт.)

Хэрэв тийм бол ямар шинж тэмдэг байна вэ? За, мэдээжийн хэрэг!

Тиймээс бид илэрхийллийн тэмдгийг өөрчилснөөр модулийн тэмдгийг илрүүлдэг.

Авчихсан? Тэгвэл өөрөө туршаад үзээрэй:

Хариултууд:

Модуль өөр ямар шинж чанартай вэ?

Хэрэв бид модулийн тэмдгийн доторх тоог үржүүлэх шаардлагатай бол бид эдгээр тоонуудын модулийг аюулгүйгээр үржүүлж чадна!!!

Математикийн хувьд, тоонуудын үржвэрийн модуль нь эдгээр тоонуудын модулиудын үржвэртэй тэнцүү байна.

Жишээлбэл:

Гэхдээ модулийн тэмдгийн дор хоёр тоог (илэрхийлэл) хуваах шаардлагатай бол яах вэ?

Тийм ээ, үржүүлэхтэй адил! Модулийн тэмдгийн дор үүнийг хоёр тусдаа тоо (илэрхийлэл) болгон хуваацгаа:

гэсэн нөхцөлд (та тэгээр хувааж чадахгүй тул).

Модулийн өөр нэг шинж чанарыг санах нь зүйтэй.

Тоонуудын нийлбэрийн модуль нь эдгээр тоонуудын модулиудын нийлбэрээс үргэлж бага буюу тэнцүү байна.

Яагаад тэр вэ? Бүх зүйл маш энгийн!

Бидний санаж байгаагаар модуль нь үргэлж эерэг байдаг. Гэхдээ модулийн тэмдгийн дор ямар ч тоо байж болно: эерэг ба сөрөг аль аль нь. Тоонууд хоёулаа эерэг байна гэж бодъё. Дараа нь зүүн талын илэрхийлэл нь баруун талын илэрхийлэлтэй тэнцүү байх болно.

Нэг жишээг харцгаая:

Хэрэв модулийн тэмдгийн дор нэг тоо сөрөг, нөгөө нь эерэг байвал, зүүн талын илэрхийлэл үргэлж баруун талынхаас бага байх болно:

Энэ өмчийн хувьд бүх зүйл тодорхой байгаа бололтой, модулийн хэд хэдэн ашигтай шинж чанарыг авч үзье.

Хэрэв бидэнд ийм илэрхийлэл байвал яах вэ:

Энэ илэрхийллээр бид юу хийж чадах вэ? Бид x-ийн утгыг мэдэхгүй ч юу гэсэн үг болохыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Энэ тоо тэгээс их байгаа тул та зүгээр л бичиж болно гэсэн үг юм:

Тиймээс бид ерөнхийдөө дараах байдлаар төлөөлж болох өөр өмч дээр ирлээ.

Энэ илэрхийллийн утга нь юу вэ:

Тиймээс бид модулийн доорх тэмдгийг тодорхойлох хэрэгтэй. Энд тэмдгийг тодорхойлох шаардлагатай юу?

Мэдээжийн хэрэг үгүй, хэрэв та ямар ч тооны квадрат нь үргэлж тэгээс их байдаг гэдгийг санаж байвал! Хэрэв та санахгүй байгаа бол сэдвийг харна уу. Тэгээд юу болох вэ? Мөн энд юу байна:

Гайхалтай, тийм ээ? Маш тохиромжтой. Одоо тодорхой жишээний хувьд:

За, яагаад эргэлзэж байна вэ? Зоригтой ажиллацгаая!

Та бүгдийг ойлгосон уу? Дараа нь үргэлжлүүлж, жишээн дээр дадлага хий!

1. if илэрхийллийн утгыг ол.

2. Модуль ямар тоонуудтай тэнцүү вэ?

3. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хэрэв бүх зүйл тодорхой болоогүй байгаа бөгөөд шийдвэр гаргахад бэрхшээлтэй байгаа бол үүнийг олж мэдье.

Шийдэл 1:

Тиймээс илэрхийлэл дэх утгыг орлуулъя

Шийдэл 2:

Бидний санаж байгаагаар эсрэг талын тоонууд модуль тэнцүү байна. Энэ нь модулийн утга нь хоёр тоотой тэнцүү байна гэсэн үг юм: ба.

Шийдэл 3:

A)
б)
V)
G)

Чи бүгдийг барьж авсан уу? Дараа нь илүү төвөгтэй зүйл рүү шилжих цаг болжээ!

Илэрхийлэлийг хялбарчлахыг хичээцгээе

Шийдэл:

Тиймээс модулийн утга тэгээс бага байж болохгүй гэдгийг бид санаж байна. Хэрэв модулийн тэмдгийн доорх тоо эерэг байвал, дараа нь бид зүгээр л тэмдгийг хаяж болно: тооны модуль нь энэ тоотой тэнцүү байх болно.

Харин модулийн тэмдэг дор сөрөг тоо байвал, дараа нь модулийн утга нь эсрэг тоотой тэнцүү байна (өөрөөр хэлбэл "-" тэмдгээр авсан тоо).

Аливаа илэрхийллийн модулийг олохын тулд эхлээд эерэг утгатай эсвэл сөрөг утгатай эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй.

Энэ нь модулийн дор эхний илэрхийллийн утга болж байна.

Тиймээс модулийн тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь сөрөг байна. Бид хоёр эерэг тоог нэмж байгаа тул модулийн тэмдгийн доорх хоёр дахь илэрхийлэл нь үргэлж эерэг байдаг.

Тиймээс модулийн тэмдгийн дор эхний илэрхийллийн утга сөрөг, хоёр дахь нь эерэг байна:

Энэ нь эхний илэрхийллийн модулийн тэмдгийг өргөжүүлэхдээ бид энэ илэрхийллийг "-" тэмдгээр авах ёстой гэсэн үг юм. Үүн шиг:

Хоёр дахь тохиолдолд бид зүгээр л модулийн тэмдгийг хаядаг:

Энэ илэрхийлэлийг бүхэлд нь хялбаршуулж үзье:

Тооны модуль ба түүний шинж чанарууд (хатуу тодорхойлолт, нотолгоо)

Тодорхойлолт:

Тооны модуль (үнэмлэхүй утга) нь хэрэв байгаа бол өөрөө тоо, хэрэв:

Жишээлбэл:

Жишээ:

Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Шийдэл:

Модулийн үндсэн шинж чанарууд

Бүгдэд нь:

Жишээ:

№5 өмчийг нотлох.

Нотолгоо:

Байгаа гэж бодъё

Тэгш бус байдлын зүүн ба баруун хэсгийг квадрат болгоё (энэ нь тэгш бус байдлын хоёр хэсэг нь үргэлж сөрөг биш байдаг тул үүнийг хийж болно):

бөгөөд энэ нь модулийн тодорхойлолттой зөрчилдөж байна.

Тиймээс ийм зүйл байдаггүй бөгөөд энэ нь бүх тэгш бус байдлын хувьд гэсэн үг юм

Бие даасан шийдлийн жишээ:

1) №6 өмчийг нотлох.

2) Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Хариултууд:

1) 3-р өмчийг ашиглая: , ба түүнээс хойш, дараа нь

Хялбаршуулахын тулд та модулиудыг өргөжүүлэх хэрэгтэй. Мөн модулиудыг өргөжүүлэхийн тулд модулийн доорх илэрхийлэл эерэг эсвэл сөрөг эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй.

а. Тоонуудыг харьцуулж үзье ба:

б. Одоо харьцуулж үзье:

Бид модулиудын утгыг нэмнэ:

Тооны үнэмлэхүй утга. Гол зүйлийн талаар товчхон.

Тооны модуль (үнэмлэхүй утга) нь хэрэв байгаа бол өөрөө тоо, хэрэв:

Модулийн шинж чанарууд:

1. Тооны модуль нь сөрөг бус тоо: ;
2. Эсрэг тоонуудын модулиуд тэнцүү байна: ;
3. Хоёр (эсвэл түүнээс дээш) тооны үржвэрийн модуль нь тэдгээрийн модулиудын үржвэртэй тэнцүү байна: ;
4. Хоёр тооны хуваалтын модуль нь тэдгээрийн модулиудын хуваарьтай тэнцүү байна: ;
5. Тоонуудын нийлбэрийн модуль нь эдгээр тоонуудын модулиудын нийлбэрээс үргэлж бага буюу тэнцүү байна: ;
6. Тогтмол эерэг хүчин зүйлийг модулийн тэмдэгээс гаргаж болно: at;