Тооны цуваа: тодорхойлолт, шинж чанар, нэгдэх шинж тэмдэг, жишээ, шийдэл. Тоон цуваа: тодорхойлолт, шинж чанар, нийлэх шинж тэмдэг, жишээ, д'Аламбертын шийдэл, жишээ шийдэл

Цуврал ойртох шинж тэмдэг.
Д'Аламберын тэмдэг. Кошигийн шинж тэмдэг

Ажил, ажил - дараа нь ойлголцох болно
Ж.Л. д'Аламберт

Бүгдэд нь хичээлийн жил эхэлсэнд баяр хүргэе! Өнөөдөр 9-р сарын 1 бөгөөд энэ баярыг тохиолдуулан би уншигчдад таны удаан хугацаанд хүлээж, мэдэхийг хүсч байсан зүйлийг танилцуулахаар шийдлээ. тоон эерэг цувааг нэгтгэх шинж тэмдэг. 9-р сарын 1-ний баяр болон миний баяр хүргэе, хэрэв гадаа зун болвол зүгээр, та одоо гурав дахь удаагаа шалгалтаа өгч байна, хэрэв та энэ хуудсанд зочилсон бол суралцаарай!

Цувралыг судалж эхэлж байгаа хүмүүст эхлээд нийтлэлийг уншихыг зөвлөж байна Дэмжигчдийн тоон цуврал. Уг нь энэ тэргэнцэр бол найрын үргэлжлэл юм. Тиймээс, өнөөдөр хичээл дээр бид дараах сэдвүүдийн жишээ, шийдлүүдийг авч үзэх болно.

-д тохиолддог нийтлэг шинж тэмдгүүдийн нэг практик жишээнүүд, д'Аламберын тэмдэг юм. Кошигийн шинж тэмдэг нь бага түгээмэл боловч маш их алдартай байдаг. Би үргэлж энгийн, хүртээмжтэй, ойлгомжтой материалыг танилцуулахыг хичээх болно. Энэ сэдэв нь хамгийн хэцүү биш бөгөөд бүх даалгавар нь тодорхой хэмжээгээр стандарт юм.

D'Alembert's convergence test

Жан Лерон д'Аламберт бол 18-р зууны Францын алдарт математикч юм. Ерөнхийдөө д'Аламберт мэргэшсэн дифференциал тэгшитгэлЭрхэм дээдсийн их бууны сумнууд илүү сайн нисэхийн тулд судалгаандаа үндэслэн баллистик дээр ажилласан. Үүний зэрэгцээ би тооны цувралын талаар мартаагүй; хожим Наполеоны цэргүүдийн зэрэглэлүүд хоорондоо нягт нийлж, маш тодорхой хуваагдсан нь дэмий хоосон зүйл биш юм.

Тэмдгийг өөрөө томъёолохын өмнө нэг чухал асуултыг авч үзье.
D'Alembert's convergence тестийг хэзээ хэрэглэх вэ?

1) хуваагч нь олон гишүүнтийг агуулна.
2) Олон гишүүнт тоо болон хуваагчийн аль алинд нь байдаг.
3) Нэг буюу хоёр олон гишүүнт үндэс дор байж болно.
4) Мэдээж олон гишүүнт болон үндэс байж болно.

d'Alembert-ийн тестийг хэрэглэх үндсэн урьдчилсан нөхцөлүүд нь дараах байдалтай байна.

1) Цувралын нийтлэг нэр томъёо ("цуврал дүүргэх") нь тодорхой тооны тоог агуулдаг, жишээлбэл, , , гэх мэт. Түүнээс гадна, энэ зүйл хаана байрлаж байгаа, тоологч эсвэл хуваагч дээр байгаа нь огт хамаагүй - энэ нь тэнд байгаа нь чухал юм.

2) Цувралын нийтлэг нэр томъёонд факториал орно. Бид "Тооны дараалал ба түүний хязгаар" хичээл дээр факториалтай сэлэм давсан. Гэсэн хэдий ч өөрөө угсарсан ширээний бүтээлэгийг дахин тараах нь гэмтээхгүй.

…

…

! Д'Аламбертын тестийг ашиглахдаа бид факториалыг нарийвчлан тайлбарлах хэрэгтэй болно. Өмнөх догол мөрийн нэгэн адил факториал нь бутархайн дээд эсвэл доод хэсэгт байрлаж болно.

3) Хэрэв цувралын ерөнхий нэр томъёонд "хүчин зүйлийн гинжин хэлхээ" байгаа бол жишээлбэл, . Энэ тохиолдол ховор, гэхдээ! Ийм цувралыг судлахдаа алдаа ихэвчлэн гардаг - жишээ 6-г үзнэ үү.

Хүчин чадал ба/эсвэл факториалын зэрэгцээ олон гишүүнтийг цуваа бөглөхдөө ихэвчлэн олдог, энэ нь нөхцөл байдлыг өөрчлөхгүй - та D'Alembert-ийн тэмдгийг ашиглах хэрэгтэй;

Нэмж дурдахад, цувралын нийтлэг нэр томъёонд зэрэг ба факториал хоёулаа нэгэн зэрэг тохиолдож болно; хоёр хүчин зүйл, хоёр градус байж болно, байх нь чухал ядаж ямар нэг зүйлавч үзсэн цэгүүдээс - мөн энэ нь D'Alembert тэмдгийг ашиглах урьдчилсан нөхцөл юм.

Д'Аламберын тэмдэг: Ингээд бодъё эерэг тооны цуврал. Хэрэв дараагийн нэр томъёог өмнөхтэй харьцуулах хязгаарлалт байвал: , дараа нь:
a) Хэзээ эгнээ нийлдэг
б) Эгнээ үед ялгаатай
в) Хэзээ тэмдэг нь хариу өгөхгүй байна. Та өөр тэмдэг ашиглах хэрэгтэй. Ихэнх тохиолдолд хязгаарлалтын харьцуулалтын тестийг ашиглах шаардлагатай бол D'Alembert тестийг хэрэглэхийг оролдсон тохиолдолд нэгийг олж авдаг.

Хязгаарлалттай холбоотой асуудал эсвэл хязгаарлалтын талаар буруу ойлголттой хэвээр байгаа хүмүүсийн хувьд хичээлээс үзнэ үү Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ. Хязгаарыг ойлгохгүй, тодорхойгүй байдлыг илчлэх чадваргүй бол харамсалтай нь цааш ахих боломжгүй юм.

Одоо удаан хүлээгдэж буй жишээнүүд.

Жишээ 1

Цувралын ерөнхий нэр томъёоноос харахад энэ нь d'Alembert-ийн тестийг ашиглах найдвартай урьдчилсан нөхцөл юм. Нэгдүгээрт, бүрэн шийдэл, загвар дизайн, доорх тайлбар.

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

нийлдэг.
(1) Бид цувралын дараагийн гишүүнийг өмнөхтэй харьцуулсан харьцааг үүсгэдэг: . Нөхцөлөөс харахад цувралын ерөнхий нэр томъёо нь . Цувралын дараагийн гишүүнийг авахын тулд танд хэрэгтэй Орлуулахын оронд: .
(2) Бид дөрвөн давхар фракцаас салсан. Хэрэв танд шийдлийн талаар бага зэрэг туршлагатай бол энэ алхамыг алгасаж болно.
(3) Тоолуур дахь хашилтыг нээнэ үү. Хугацааны хувьд бид дөрвийг хүчнээс гаргаж авдаг.
(4) -ээр бууруулна. Бид хязгаарын тэмдэгээс давсан тогтмолыг авдаг. Тоолуур дээр бид ижил төстэй нэр томъёог хаалтанд оруулав.
(5) Тодорхой бус байдлыг стандарт аргаар арилгадаг - тоологч ба хуваагчийг "en" -ээр хамгийн дээд хэмжээнд хуваах замаар.
(6) Бид тоологч гишүүнийг хуваагчаар хувааж, тэг рүү чиглэх нөхцөлийг заана.
(7) Бид хариултыг хялбаршуулж, D’Alembert-ийн шалгуурын дагуу судалж буй цувралууд нийлдэг гэсэн дүгнэлтэнд тэмдэглэв.

Үзсэн жишээн дээр цувралын ерөнхий нэр томъёонд бид 2-р зэргийн олон гишүүнтэй тулгарсан. 3, 4 ба түүнээс дээш зэрэглэлийн олон гишүүнт байвал яах вэ? Баримт нь хэрэв өндөр зэрэглэлийн олон гишүүнт өгөгдсөн бол хаалт нээхэд бэрхшээл гарах болно. Энэ тохиолдолд та "турбо" шийдлийн аргыг ашиглаж болно.

Жишээ 2

Үүнтэй төстэй цувралыг авч, нийлмэл байдлын үүднээс авч үзье

Эхлээд бүрэн шийдэл, дараа нь тайлбар:

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.

(1) Бид харилцааг үүсгэдэг.

(3) Илэрхийлэлийг авч үзье тоологч дахь илэрхийлэл ба хуваагч дахь илэрхийлэл. Тоолуур дээр бид хаалтуудыг онгойлгож, дөрөв дэх зэрэгт хүргэх хэрэгтэйг бид харж байна: , бид үүнийг хийхийг үнэхээр хүсэхгүй байна. Ньютоны биномийг сайн мэдэхгүй хүмүүст энэ даалгавар бүр ч хэцүү байх болно. Дээд зэрэглэлд дүн шинжилгээ хийцгээе: хэрвээ бид дээд талын хаалтуудыг нээвэл , дараа нь бид ахлах зэрэгтэй болно. Доор бид ижил ахлах зэрэгтэй: . Өмнөх жишээтэй зүйрлэвэл тоо, хуваагч гишүүнийг гишүүнээр нь хуваахад хязгаарт нэг гарч ирэх нь ойлгомжтой. Эсвэл математикчдийн хэлдгээр олон гишүүнт Тэгээд - өсөлтийн ижил дараалал. Тиймээс харилцааг тоймлох бүрэн боломжтой энгийн харандаагаармөн энэ зүйл нь эв нэгдэлтэй байхыг нэн даруй илтгэнэ. Бид хоёр дахь хос олон гишүүнттэй ижил аргаар харьцдаг: ба , тэд ч гэсэн өсөлтийн ижил дараалал, тэдгээрийн харьцаа нь нэгдмэл байх хандлагатай байдаг.

Үнэн хэрэгтээ, жишээ №1-д ийм "хакердах"-ыг гаргаж болох байсан ч 2-р зэргийн олон гишүүнтийн хувьд ийм шийдэл нь ямар нэгэн байдлаар зохисгүй мэт харагдаж байна. Би хувьдаа үүнийг хийдэг: хэрэв эхний эсвэл хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт (эсвэл олон гишүүнт) байвал би жишээ 1-ийг шийдэхийн тулд "урт" аргыг ашигладаг. Хэрэв би 3 ба түүнээс дээш олон гишүүнттэй тааралдвал өндөр зэрэгтэй, Би жишээ 2-той төстэй "турбо" аргыг ашигладаг.

Жишээ 3

Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Факториал бүхий ердийн жишээнүүдийг харцгаая:

Жишээ 4

Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Цувралын нийтлэг нэр томьёо нь зэрэг болон хүчин зүйлийн аль алиныг агуулдаг. Энд д'Аламберын тэмдгийг ашиглах ёстой нь өдөр шиг ойлгомжтой. Ингээд шийдье.

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатай.
(1) Бид харилцааг үүсгэдэг. Бид дахин давтана. Нөхцөлөөр цувралын нийтлэг нэр томъёо нь: . Цувралын дараагийн нэр томъёог авахын тулд, оронд нь та орлуулах хэрэгтэй, Тиймээс: .
(2) Бид дөрвөн давхар фракцаас салсан.
(3) Долоог градусаас хавчих. Бид хүчин зүйлийн талаар дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Үүнийг хэрхэн хийх вэ - хичээлийн эхлэл эсвэл тооны дарааллын талаархи нийтлэлийг үзнэ үү.
(4) Бид зүсэж болох бүх зүйлийг таслав.
(5) Бид тогтмолыг хязгаарын тэмдгээс цааш шилжүүлнэ. Тоолуур дахь хашилтыг нээнэ үү.
(6) Бид тодорхойгүй байдлыг стандарт аргаар арилгадаг - тоологч ба хуваагчийг "en" -ээр хамгийн дээд хэмжээнд хуваах замаар.

Жишээ 5

Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, загвар дизайн

Жишээ 6

Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Заримдаа бид энэ төрлийн цувралыг авч үзээгүй байгаа хүчин зүйлүүдийн "гинж" агуулсан цувралууд байдаг. Хүчин зүйлийн "гинж" бүхий цувралыг хэрхэн судлах вэ? Д'Аламберын тэмдгийг ашигла. Гэхдээ эхлээд юу болж байгааг ойлгохын тулд цувралыг дэлгэрэнгүй тайлбарлая:

Өргөтгөлөөс харахад цувралын дараагийн гишүүн бүр хуваагч дээр нэмэлт хүчин зүйл нэмдэг тул цувралын нийтлэг гишүүн бол , дараа нь цувралын дараагийн гишүүн:
. Энд тэд ихэвчлэн автоматаар алдаа гаргадаг бөгөөд алгоритмын дагуу албан ёсоор бичдэг

Жишээ шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно:

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.

Радикал Кошигийн шинж тэмдэг

Augustin Louis Cauchy бол Францын илүү алдартай математикч юм. Инженерийн чиглэлээр суралцдаг ямар ч оюутан Кошигийн намтрыг хэлж чадна. Хамгийн үзэсгэлэнтэй өнгөөр. Энэ нэрийг Эйфелийн цамхагийн нэгдүгээр давхарт сийлсэн нь санамсаргүй хэрэг биш юм.

Эерэг тооны цувралын Кошигийн нийлэх тест нь саяхан хэлэлцсэн Д'Аламбертын тесттэй төстэй юм.

Радикал Кошигийн шинж тэмдэг:Ингээд авч үзье эерэг тооны цуврал. Хэрэв хязгаар байгаа бол: , тэгвэл:
a) Хэзээ эгнээ нийлдэг. Ялангуяа цуврал нь нийлдэг.
б) Эгнээ үед ялгаатай. Ялангуяа цуврал нь .
в) Хэзээ тэмдэг нь хариу өгөхгүй байна. Та өөр тэмдэг ашиглах хэрэгтэй. Хэрэв Кошигийн тест цувралын нийлмэл байдлын тухай асуултад хариулт өгөхгүй бол Д'Аламберын тест ч гэсэн хариулт өгөхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Гэвч хэрэв д'Аламбертийн тест хариулт өгөхгүй бол Кошигийн тест "ажиллаж" магадгүй юм. Өөрөөр хэлбэл, Коши тэмдэг нь энэ утгаараа илүү хүчтэй тэмдэг юм.

Радикал Коши тэмдгийг хэзээ хэрэглэх ёстой вэ?Радикал Коши тестийг ихэвчлэн цувралын нийтлэг гишүүнээс "сайн" үндсийг гаргаж авсан тохиолдолд ашигладаг. Ерөнхийдөө энэ чинжүү нь градус юм үүнээс хамаарна. Чамин тохиолдлууд бас байдаг, гэхдээ бид тэдэнд санаа зовохгүй байна.

Жишээ 7

Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Бид фракц нь "en" -ээс хамааран бүрэн хүчин чадалтай байгааг харж байна, энэ нь бид радикал Коши тестийг ашиглах шаардлагатай гэсэн үг юм.

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатай.

(1) Бид цувралын нийтлэг нэр томъёог үндэс дор томъёолдог.

(2) Бид ижил зүйлийг зөвхөн үндэсгүйгээр, градусын шинж чанарыг ашиглан дахин бичдэг.
(3) Үзүүлэлт дээр бид хуваагчийг гишүүнээр хуваадаг бөгөөд үүнийг зааж өгдөг
(4) Үүний үр дүнд бид тодорхойгүй байдалд байна. Энд та урт замыг туулж болно: шоо, шоо, дараа нь тоологч ба хуваагчийг "en" шоо болгон хуваа. Гэхдээ энэ тохиолдолд илүү үр дүнтэй шийдэл байдаг: энэ техникийг тогтмол түвшинд шууд ашиглаж болно. Тодорхой бус байдлыг арилгахын тулд тоологч ба хуваагчийг (олон гишүүнтийн хамгийн дээд чадал) хуваана.

(5) Бид нэр томьёо болгон хуваах ба тэг болох хандлагатай нэр томъёог зааж өгдөг.
(6) Бид хариултыг санаж, бидэнд байгаа зүйлээ тэмдэглэж, цувралууд хоорондоо зөрүүтэй байна гэж дүгнэдэг.

Энд та өөрөө шийдэх энгийн жишээ байна:

Жишээ 8

Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Бас хэд хэдэн ердийн жишээ.

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, загвар дизайн

Жишээ 9

Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу
Бид радикал Коши тестийг ашигладаг:

Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.

(1) Цувралын нийтлэг гишүүнийг язгуурын доор байрлуул.

(2) Бид ижил зүйлийг дахин бичдэг, гэхдээ үндэсгүй, товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан хаалт нээхдээ: .
(3) Үзүүлэлтэд бид хуваагч гишүүнийг гишүүнээр хувааж, .
(4) Маягтын тодорхой бус байдлыг олж авсан бөгөөд энд мөн зэрэглэлийн дагуу шууд хуваах боломжтой. Гэхдээ нэг нөхцөлтэйгээр:олон гишүүнтийн дээд чадлын коэффициентүүд өөр байх ёстой. Манайх өөр (5 ба 6) тул хоёр давхрыг хуваах боломжтой (мөн шаардлагатай). Хэрэв эдгээр коэффициентууд адилхан байна, жишээ нь (1 ба 1): , дараа нь ийм заль мэх ажиллахгүй бөгөөд та ашиглах хэрэгтэй хоёр дахь гайхалтай хязгаар. Хэрэв та санаж байгаа бол эдгээр нарийн ширийн зүйлийг өгүүллийн сүүлийн догол мөрөнд авч үзсэн болно Хязгаарыг шийдвэрлэх аргууд.

(5) Бид үнэндээ нэр томьёо болгон хувааж, аль нэр томьёо тэг болох хандлагатай байгааг заадаг.
(6) Тодорхойгүй байдал арилсан тул бид хамгийн энгийн хязгаартай үлдлээ: . Яагаад орсон хязгааргүй томтэг рүү чиглэдэг үү? Учир нь зэрэглэлийн суурь нь тэгш бус байдлыг хангадаг. Хязгаарлалтын шударга байдлын талаар хэн нэгэн эргэлзэж байвал , тэгвэл би залхуурахгүй, би тооны машин авна:
Хэрэв бол
Хэрэв бол
Хэрэв бол
Хэрэв бол
Хэрэв бол
… гэх мэт. хязгааргүй хүртэл - өөрөөр хэлбэл хязгаарт:

Яг л тэрэн шиг хязгааргүй буурах геометр прогрессхуруугаараа =)
! Энэ аргыг хэзээ ч нотлох баримт болгон ашиглаж болохгүй! Яагаад гэвэл ямар нэг зүйл тодорхой байна гэдэг нь зөв гэсэн үг биш юм.

(7) Бид цуврал нийлдэг гэж дүгнэж байгаагаа харуулж байна.

Жишээ 10

Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Заримдаа шийдлийн хувьд өдөөн хатгасан жишээг санал болгодог, жишээлбэл:. Энд экспонент дээр байна "en" байхгүй, зөвхөн тогтмол. Энд та тоологч ба хуваагчийг квадрат болгох хэрэгтэй (та олон гишүүнт авах), дараа нь өгүүллийн алгоритмыг дагах хэрэгтэй. Дамми нарт зориулсан эгнээ. Ийм жишээн дээр цувааг нэгтгэхэд шаардлагатай тест эсвэл харьцуулах хязгаарлах тест ажиллах ёстой.

Интеграл Коши тест

Эсвэл зүгээр л салшгүй тэмдэг. Эхний хичээлийн материалыг сайн ойлгоогүй хүмүүсийг би урмыг нь хугална. Коши интеграл тестийг ашиглахын тулд та дериватив, интеграл олохдоо бага эсвэл бага итгэлтэй байх ёстой, мөн түүнчлэн тооцоолох ур чадвартай байх ёстой. буруу интеграланхны төрөл.

Сурах бичигт математик шинжилгээ интеграл Коши тестМатематикийн хувьд хатуу, гэхдээ хэтэрхий ойлгомжгүй байдлаар өгөгдсөн тул би тэмдгийг хэтэрхий хатуу биш, харин тодорхой томъёолох болно.

Ингээд авч үзье эерэг тооны цуврал. Хэрэв байгаа бол буруу интеграл, дараа нь цуваа нь энэ интегралтай хамт нийлдэг эсвэл салдаг.

Мөн тодруулахын тулд хэдхэн жишээ дурдъя:

Жишээ 11

Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Бараг сонгодог. Байгалийн логарифм ба зарим нэг тэнэглэл.

Коши интеграл тестийг ашиглах гол урьдчилсан нөхцөл ньЦувралын ерөнхий нэр томьёо нь тодорхой функц болон түүний деривативтай төстэй хүчин зүйлсийг агуулж байгаа явдал юм. Сэдвээс

Энэ сэдэвтэй ажиллахаасаа өмнө тооны цувралын нэр томьёотой хэсгийг үзэхийг зөвлөж байна. Ялангуяа цувралын нийтлэг гишүүн гэсэн ойлголтод анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй. Хэрэв та нийлэх шалгуурыг зөв сонгосон эсэхэд эргэлзэж байвал "Тооны цувааг нэгтгэх шалгуурыг сонгох" сэдвийг үзэхийг зөвлөж байна.

D'Alembert's test (эсвэл D'Alembert's test) нь нийтлэг нэр томъёо нь 0-ээс их, өөрөөр хэлбэл $u_n > 0$ цувралуудын нийлэлтийг судлахад хэрэглэгддэг хатуу эерэг. Стандарт жишээнүүдэд D'Alembert тэмдгийг туйлын хэлбэрээр ашигладаг.

D'Alembert-ийн тэмдэг (хэт хэлбэрээр)

Хэрэв $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ цуврал эерэг байвал $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L , $$ дараа нь $L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (мөн $L=\infty$-ийн хувьд) цуваа зөрүүтэй байна.

Томъёо нь маш энгийн боловч дараах асуулт нээлттэй хэвээр байна: $L=1$ бол юу болох вэ? D'Alembert-ийн тест нь энэ асуултын хариултыг өгөх боломжгүй. Хэрэв $L=1$ байвал цуваа нийлж, салж болно.

Ихэнх тохиолдолд стандарт жишээн дээр цувралын ерөнхий гишүүний илэрхийлэл нь $n$ олон гишүүнт (олон гишүүн үндэс дор байж болно) болон $a^n хэлбэрийн зэрэгтэй байвал D'Alembert шалгуурыг ашигладаг. $ эсвэл $n!$ Жишээлбэл, $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (жишээ №1) эсвэл $u_n=\frac(\). sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "!} нэрийн хуудас"D" Аламбертын тэмдэг.

"n!" гэсэн илэрхийлэл юу гэсэн үг вэ? харуулах\нуух

"n!" Бичлэг хийж байна. ("en factorial" гэж уншина уу) нь бүхний үржвэрийг илэрхийлдэг натурал тоонууд 1-ээс n хүртэл, өөрөөр хэлбэл.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

Тодорхойлолтоор бол $0!=1!=1$ гэж үздэг. Жишээлбэл, 5-ыг олъё!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Нэмж дурдахад D'Alembert тестийг нийтлэг нэр томъёо нь дараах бүтцийн үржвэрийг агуулсан цувралын нийлэлтийг тодорхойлоход ихэвчлэн ашиглагддаг: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n) +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$.

Жишээ №1

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу.

Нийлбэрийн доод хязгаар нь 1 тул цувааны ерөнхий гишүүнийг нийлбэрийн тэмдгийн дор бичнэ: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. $n≥ 1$-ын хувьд бидэнд $3n+7 > 0$, $5^n>0$ ба $2n^3-1 > 0$, дараа нь $u_n > 0$ байна. Тиймээс манай цуврал эерэг хандлагатай байдаг.

$$ 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\зүүн(2n^3-1\баруун))(\зүүн(2(n+1)^3-1\баруун) )(3n+7))=\left|\frac(\infty)(\infty)\баруун|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\зүүн) (2n^3-1\баруун))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\баруун)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2() n+1)^3-1\баруун))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ зүүн(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\баруун)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \баруун))(\зүүн(2\зүүн(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\баруун)^3-\frac(1)(n^3)\баруун)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\баруун))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10)) (n)\баруун)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\баруун))(\left(2\left(1+\frac(1)(n)\баруун)^3 -\frac(1)(n^3)\баруун)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\баруун))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 )=5. $$

$\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$ тул өгөгдсөн цувааны дагуу зөрүүтэй байна.

Үнэнийг хэлэхэд, D'Alembert тест нь жишээлбэл, радикал Коши тестийг ашиглаж болно. Энэ нөхцөлд D'Alembert тестийг ашиглах нь илүү тохиромжтой.

Хариулах: цуваа зөрүүтэй байна.

Жишээ №2

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2) цувралыг судлах$ на сходимость.!}

Нийлбэрийн доод хязгаар нь 1 тул цувралын ерөнхий гишүүнийг нийлбэрийн тэмдгийн дор бичнэ: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Цувралын нийтлэг нэр томъёо нь үндэс дор олон гишүүнтийг агуулдаг, i.e. $\sqrt(4n+5)$, факториал $(3n-2)!$. Стандарт жишээнд факториал байгаа нь D'Alembert шалгуурыг хэрэглэх бараг зуун хувийн баталгаа юм.

Энэ шалгуурыг хэрэглэхийн тулд бид $\frac(u_(n+1))(u_n)$ харьцааны хязгаарыг олох хэрэгтэй болно. $u_(n+1)$ бичихийн тулд $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2) гэсэн томьёо хэрэгтэй.$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$ тул $u_(n+1)$-ийн томъёог дараах байдлаар бичиж болно. нөгөө рүү:

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Энэ тэмдэглэгээ нь бид хязгаараас доогуур бутархайг багасгах шаардлагатай үед дараагийн шийдлүүдэд тохиромжтой. Хэрэв хүчин зүйлтэй тэнцүү байхын тулд тайлбар шаардлагатай бол доорх тэмдэглэлийг нээнэ үү.

Бид $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$ тэгш байдлыг хэрхэн олж авсан бэ? харуулах\нуух

$(3n+1)!$ гэсэн тэмдэглэгээ нь 1-ээс $3n+1$ хүртэлх бүх натурал тоонуудын үржвэрийг хэлнэ. Тэдгээр. Энэ илэрхийллийг дараах байдлаар бичиж болно.

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

$3n+1$ тооноос шууд өмнө нэгээр бага тоо байна, өөрөөр хэлбэл. тоо $3n+1-1=3n$. Мөн $3n$-ын өмнөхөн $3n-1$ тоо байна. За, $3n-1$ тооны өмнөхөн бидэнд $3n-1-1=3n-2$ тоо байна. $(3n+1)!$-ын томъёог дахин бичье:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

$1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$ гэж юу вэ? Энэ бүтээгдэхүүн нь $(3n-2)!$-тэй тэнцүү байна. Тиймээс $(3n+1)!$ илэрхийллийг дараах хэлбэрээр дахин бичиж болно.

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

Энэ тэмдэглэгээ нь бид хязгаараас доогуур бутархайг багасгах шаардлагатай үед дараагийн шийдлүүдэд тохиромжтой.

$\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$-ын утгыг тооцоолъё:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))((( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Учир нь $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

Жан Лерон д'Аламберт бол 18-р зууны Францын алдарт математикч юм. Ерөнхийдөө д’Аламберт дифференциал тэгшитгэлээр мэргэшсэн бөгөөд эрдэм шинжилгээнийхээ үндсэн дээр Эрхэмсэг дээдсийн их бууны сум илүү сайн нисэхийн тулд баллистикийг судалжээ. Үүний зэрэгцээ би тооны цувралын талаар мартаагүй; хожим Наполеоны цэргүүдийн зэрэглэлүүд хоорондоо нягт нийлж, маш тодорхой хуваагдсан нь дэмий хоосон зүйл биш юм.

Тэмдгийг өөрөө томъёолохын өмнө нэг чухал асуултыг авч үзье.
D'Alembert's convergence тестийг хэзээ хэрэглэх вэ?

Эхлээд тоймоос эхэлцгээе. Хамгийн алдартайг ашиглах шаардлагатай тохиолдлуудыг санацгаая харьцуулах хязгаар. Цувралын ерөнхий нэр томъёонд дараах тохиолдолд харьцуулах хязгаарлалтын шалгуурыг хэрэглэнэ.
1) хуваагч нь олон гишүүнтийг агуулна.
2) Олон гишүүнт тоо болон хуваагчийн аль алинд нь байдаг.
3) Нэг буюу хоёр олон гишүүнт үндэс дор байж болно.

d'Alembert-ийн тестийг хэрэглэх үндсэн урьдчилсан нөхцөлүүд нь дараах байдалтай байна.

1) Цувралын нийтлэг нэр томъёо (цувралыг дүүргэх) нь тодорхой хэмжээгээр, жишээ нь, гэх мэт тоог агуулдаг. Түүнээс гадна, энэ зүйл хаана байрлаж байгаа, тоологч эсвэл хуваагч дээр байгаа нь огт хамаагүй - энэ нь тэнд байгаа нь чухал юм.

2) Цувралын нийтлэг нэр томъёонд факториал орно. Факториаль гэж юу вэ? Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, факториал нь зөвхөн бүтээгдэхүүний хураангуй дүрслэл юм:

…

…

3) Цувралын ерөнхий нэр томъёонд “хүчин зүйлийн гинжин хэлхээ” байвал жишээлбэл, . Энэ тохиолдол ховор, гэхдээ! Ийм цувралыг судлахдаа алдаа ихэвчлэн гардаг - жишээ 6-г үзнэ үү.

Д'Аламберын тэмдэг: Ингээд бодъё эерэг тооны цуврал. Хэрэв дараагийн нэр томъёог өмнөхтэй харьцуулах хязгаарлалт байвал: , дараа нь:
a) Хэзээ эгнээ нийлдэг
б) Мөр гаргах үед ялгаатай
в) Хэзээ тэмдэг нь хариу өгөхгүй байна. Та өөр тэмдэг ашиглах хэрэгтэй. Ихэнх тохиолдолд хязгаарлалтын харьцуулалтын тестийг ашиглах шаардлагатай бол D'Alembert тестийг хэрэглэхийг оролдсон тохиолдолд нэгийг олж авдаг.

Хязгаарлалттай холбоотой асуудал, эсвэл хязгаарлалтын талаар буруу ойлголттой хэвээр байгаа хүмүүс сэдвээс лавлана уу Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ. Хязгаарыг ойлгохгүй, тодорхойгүй байдлыг илчлэх чадваргүй бол харамсалтай нь цааш ахих боломжгүй юм. Одоо удаан хүлээгдэж буй жишээнүүд.

Жишээ 1
Цувралын ерөнхий нэр томъёоноос харахад энэ нь d'Alembert-ийн тестийг ашиглах найдвартай урьдчилсан нөхцөл юм. Нэгдүгээрт, бүрэн шийдэл, загвар дизайн, доорх тайлбар.

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

нийлдэг.

(1) Бид цувралын дараагийн гишүүнийг өмнөхтэй харьцуулсан харьцааг үүсгэдэг: . Нөхцөлөөс харахад цувралын ерөнхий нэр томъёо нь . Цувралын дараагийн гишүүнийг авахын тулд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай орлуулахын оронд: .
(2) Бид дөрвөн давхар фракцаас салсан. Хэрэв танд шийдлийн талаар бага зэрэг туршлагатай бол энэ алхамыг алгасаж болно.
(3) Тоолуур дахь хашилтыг нээнэ үү. Хуваарьт бид дөрвийг хүчнээс гаргаж авдаг.
(4) -ээр бууруулна. Бид хязгаарын тэмдэгээс давсан тогтмолыг авдаг. Тоолуур дээр бид ижил төстэй нэр томъёог хаалтанд оруулав.
(5) Тодорхой бус байдлыг стандарт аргаар арилгадаг - тоологч ба хуваагчийг "en" -ээр хамгийн дээд хэмжээнд хуваах замаар.
(6) Бид тоологч гишүүнийг хуваагчаар хувааж, тэг рүү чиглэх нөхцөлийг заана.
(7) Бид хариултыг хялбаршуулж, D’Alembert-ийн шалгуурын дагуу судалж буй цувралууд нийлдэг гэсэн дүгнэлтэнд тэмдэглэв.

Жишээ 2 Үүнтэй төстэй цувралыг авч, нийлмэл байдлын үүднээс авч үзье
Эхлээд бүрэн шийдэл, дараа нь тайлбар:

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.

(1) Бид харилцааг үүсгэдэг.
(2) Бид дөрвөн давхар фракцаас салсан.
(3) Тоолуур дахь илэрхийлэл ба хуваагч дахь илэрхийлэлийг авч үзье. Тоолуур дээр бид хаалтуудыг онгойлгож, дөрөв дэх зэрэгт хүргэх хэрэгтэйг бид харж байна: , бид үүнийг хийхийг үнэхээр хүсэхгүй байна. Нэмж дурдахад Ньютоны биномийг сайн мэдэхгүй хүмүүст энэ даалгавар огт хэрэгжих боломжгүй байж магадгүй юм. Дээд зэрэглэлд дүн шинжилгээ хийцгээе: хэрвээ бид дээд талын хаалтуудыг нээвэл бид хамгийн дээд зэрэгтэй болно. Доор бид ижил ахлах зэрэгтэй: . Өмнөх жишээтэй зүйрлэвэл тоологч болон хуваагч гишүүнийг гишүүнээр нь хуваахад хязгаарт нэг гарч ирдэг нь ойлгомжтой. Эсвэл математикчдийн хэлснээр олон гишүүнт ба - өсөлтийн ижил дараалал. Тиймээс харьцааг энгийн харандаагаар дүрсэлж, энэ зүйл нэг рүү чиглэж байгааг шууд зааж өгөх боломжтой юм. Бид хоёр дахь хос олон гишүүнттэй ижил аргаар харьцдаг: ба , тэд ч гэсэн өсөлтийн ижил дараалал, тэдгээрийн харьцаа нь нэгдмэл байх хандлагатай байдаг.

Үнэн хэрэгтээ, жишээ №1-д ийм "хакердах"-ыг гаргаж болох байсан ч 2-р зэргийн олон гишүүнтийн хувьд ийм шийдэл нь ямар нэгэн байдлаар зохисгүй мэт харагдаж байна. Би хувьдаа үүнийг хийдэг: хэрэв эхний эсвэл хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт (эсвэл олон гишүүнт) байвал би жишээ 1-ийг шийдэхдээ "урт" аргыг ашигладаг. Хэрэв би 3-р болон түүнээс дээш зэрэгтэй олон гишүүнтэй тааралдвал би "урт" аргыг ашигладаг. Жишээ 2-той төстэй "турбо" арга.

Жишээ 3 .

Факториал бүхий ердийн жишээнүүдийг харцгаая:

Жишээ 4 Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатай.

(1) Бид харилцааг үүсгэдэг. Бид дахин давтана. Нөхцөлөөр цувралын нийтлэг гишүүн нь: . Цувралын дараагийн нэр томъёог авахын тулд, оронд нь та орлуулах хэрэгтэй, Тиймээс: .
(2) Бид дөрвөн давхар фракцаас салсан.
(3) Долоог градусаас хавчих. Бид хүчин зүйлийн талаар дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Үүнийг яаж хийх вэ - хичээлийн эхлэлийг үзнэ үү.
(4) Бид зүсэж болох бүх зүйлийг таслав.
(5) Бид тогтмолыг хязгаарын тэмдгээс цааш шилжүүлнэ. Тоолуур дахь хашилтыг нээнэ үү.
(6) Бид тодорхойгүй байдлыг стандарт аргаар арилгадаг - тоологч ба хуваагчийг "en" -ээр хамгийн дээд хэмжээнд хуваах замаар.

Жишээ 5Цувралыг нэгтгэн шалгана уу.

Жишээ 6Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Өргөтгөлөөс харахад цувралын дараагийн гишүүн бүр хуваагч дээр нэмсэн нэмэлт хүчин зүйлтэй байдаг тул хэрэв цувралын нийтлэг гишүүн нь . байвал цувралын дараагийн гишүүн нь:
. Энд тэд ихэвчлэн автоматаар алдаа гаргадаг бөгөөд алгоритмын дагуу албан ёсоор бичдэг

Ойролцоогоор жишээ шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно: Д'Аламберын тэмдгийг ашиглая:
Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.
РАДИКАЛ КОШИ ТЭМДЭГ

Эерэг тооны цувралын Кошигийн нийлэх тест нь саяхан хэлэлцсэн Д'Аламбертын тесттэй төстэй юм.

Радикал Кошигийн шинж тэмдэг:Ингээд авч үзье эерэг тооны цуврал. Хэрэв хязгаар байгаа бол: , тэгвэл:
a) Хэзээ эгнээ нийлдэг. Ялангуяа цуврал нь нийлдэг.
б) Мөр гаргах үед ялгаатай. Ялангуяа цуврал нь .
в) Хэзээ тэмдэг нь хариу өгөхгүй байна. Та өөр тэмдэг ашиглах хэрэгтэй. Хэрэв Кошигийн тест цувралын нийлмэл байдлын тухай асуултад хариулт өгөхгүй бол Д'Аламберын тест ч гэсэн хариулт өгөхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Гэвч хэрэв д'Аламбертийн тест хариулт өгөхгүй бол Кошигийн тест "ажиллаж" магадгүй юм. Өөрөөр хэлбэл, Коши тэмдэг нь энэ утгаараа илүү хүчтэй тэмдэг юм.

Радикал Коши тэмдгийг хэзээ хэрэглэх ёстой вэ?Радикал Коши тестийг ихэвчлэн цувралын нийтлэг нэр томъёо байдаг тохиолдолд ашигладаг БҮРЭНзэрэгтэй байна "en" -ээс хамаарч. Эсвэл цувралын нийтлэг гишүүнээс "сайн" гэсэн язгуурыг гаргаж авах үед. Чамин тохиолдлууд бас байдаг, гэхдээ бид тэдэнд санаа зовохгүй байна.

Жишээ 7Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Цувралын ерөнхий нэр томъёо нь -аас хамаарч бүрэн хүчин чадалтай болохыг бид харж байна, энэ нь бид радикал Коши тестийг ашиглах шаардлагатай гэсэн үг юм:

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатай.

(1) Бид цувралын нийтлэг нэр томъёог үндэс дор томъёолдог.
(2) Бид ижил зүйлийг зөвхөн үндэсгүйгээр, градусын шинж чанарыг ашиглан дахин бичдэг.
(3) Үзүүлэлт дээр бид хуваагчийг гишүүнээр хуваадаг бөгөөд үүнийг зааж өгдөг
(4) Үүний үр дүнд бид тодорхойгүй байдалд байна. Энд та урт замыг туулж болно: шоо, шоо, дараа нь тоологч ба хуваагчийг "en" -ээр хамгийн дээд хэмжээнд хуваана. Гэхдээ энэ тохиолдолд илүү үр дүнтэй шийдэл байдаг: та тоологч ба хуваагч нэр томъёог тогтмол чадлын дор шууд хувааж болно. Тодорхой бус байдлыг арилгахын тулд тоологч ба хуваагчийг (хамгийн их чадал) -д хуваана.
(5) Бид үнэндээ нэр томьёо болгон хуваах бөгөөд тэг болох хандлагатай нэр томъёог зааж өгдөг.
(6) Бид хариултыг санаж, бидэнд байгаа зүйлээ тэмдэглэж, цувралууд хоорондоо зөрүүтэй байна гэж дүгнэдэг.

Энд та өөрөө шийдэх энгийн жишээ байна:

Жишээ 8 Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Бас хэд хэдэн ердийн жишээ.

Бүрэн шийдэл, загвар дизайныг доор харуулав.

Жишээ 9 Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу
Бид радикал Коши тестийг ашигладаг:

Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.

(1) Цувралын нийтлэг гишүүнийг язгуурын доор байрлуул.
(2) Бид ижил зүйлийг дахин бичдэг, гэхдээ үндэсгүйгээр, товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан хаалт нээхдээ: .
(3) Үзүүлэлтэд бид хуваагч гишүүнийг гишүүнээр хувааж, .
(4) Маягтын тодорхой бус байдал. Энд та хаалтанд байгаа хуваагчийг "en"-ээр хамгийн дээд хэмжээнд нь шууд хувааж болно. Бид сурч байхдаа үүнтэй төстэй зүйлтэй тулгарсан хоёр дахь гайхалтай хязгаар. Гэхдээ энд байдал өөр байна. Хэрэв өндөр хүчин чадалтай коэффициентүүд байсан бол адилхан, жишээ нь: , тэгвэл нэр томьёогоор хуваах мэх цаашид ажиллахаа больж, хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ашиглах шаардлагатай болно. Гэхдээ бидэнд эдгээр коэффициентүүд бий өөр(5 ба 6), тиймээс нэр томъёог нэр томьёогоор нь хуваах боломжтой (мөн шаардлагатай) (дашрамд хэлэхэд, эсрэгээр - хоёр дахь гайхалтай хязгаар юм. өөрөндөр зэрэгтэй коэффициентүүд ажиллахаа больсон).
(5) Бид үнэндээ нэр томьёо болгон хувааж, аль нэр томьёо тэг болох хандлагатай байгааг заадаг.
(6) Тодорхой бус байдал арилсан, хамгийн энгийн хязгаар хэвээр байна: Яагаад хязгааргүй томтэг рүү чиглэдэг үү? Учир нь зэрэглэлийн суурь нь тэгш бус байдлыг хангадаг. Хэрэв хэн нэгэн нь хязгаарлалтын шударга байдалд эргэлзэж байвал би залхуурахгүй, би тооцоолуур авах болно.
Хэрэв бол
Хэрэв бол
Хэрэв бол
Хэрэв бол
Хэрэв бол
… гэх мэт. хязгааргүй хүртэл - өөрөөр хэлбэл хязгаарт:
(7) Бид цуврал нийлдэг гэж дүгнэж байгаагаа харуулж байна.

Жишээ 10 Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Эхний хичээлийн материалыг сайн ойлгоогүй хүмүүсийг би урмыг нь хугална. Коши интеграл тестийг ашиглахын тулд та дериватив, интеграл олохдоо бага эсвэл бага итгэлтэй байх ёстой, мөн түүнчлэн тооцоолох ур чадвартай байх ёстой. буруу интеграланхны төрөл. Математикийн шинжилгээний сурах бичигт Кошигийн интеграл тестийг математикийн хувьд маш энгийн боловч ойлгомжтой байдлаар томъёолъё. Мөн нэн даруй тодруулахын тулд жишээнүүд.

Интеграл Коши тест:Ингээд авч үзье эерэг тооны цуврал. Энэ цуврал нийлж байна уу, эсвэл зөрөөд байна уу?

Жишээ 11 Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Бараг сонгодог. Байгалийн логарифм ба зарим нэг тэнэглэл.

Коши интеграл тестийг ашиглах гол урьдчилсан нөхцөл ньЭнэ нь цувааны ерөнхий нэр томъёонд тодорхой функц, түүний дериватив байдаг. Сэдвээс ДеривативТа хүснэгтийн хамгийн энгийн зүйлийг санаж байгаа байх: , Бидэнд яг ийм каноник тохиолдол байдаг.

Интеграл шинж чанарыг хэрхэн ашиглах вэ? Эхлээд бид салшгүй дүрсийг авч, цувралын "тоолуур" -аас дээд ба доод хязгаарыг дахин бичнэ: . Дараа нь интегралын доор бид цувралын "бөглөх" хэсгийг "тэр" үсгээр дахин бичнэ: . Ямар нэг зүйл дутуу байна..., өө, тийм ээ, та бас тоологч дээр дифференциал дүрсийг наах хэрэгтэй: .

Одоо бид буруу интегралыг тооцоолох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд хоёр тохиолдол боломжтой:

1) Хэрэв интеграл нийлж байгаа нь тогтоогдвол манай цувралууд бас нийлнэ.

2) Хэрэв интеграл салж байгаа нь тогтоогдвол бидний цуваа бас салах болно.

Би давтан хэлье, хэрэв материалыг үл тоомсорловол догол мөрийг уншихад хэцүү бөгөөд тодорхойгүй байх болно, учир нь функцийг ашиглах нь үндсэндээ тооцоолоход хүргэдэг. буруу интеграланхны төрөл.

Бүрэн шийдэл болон жишээ формат нь иймэрхүү харагдах ёстой:

Бид интеграл тэмдгийг ашигладаг:

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатайхаргалзах буруу интегралын хамт.

Жишээ 12 Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Хичээлийн төгсгөлд шийдэл ба загвар дизайн

Харгалзан үзсэн жишээнүүдэд логарифм нь язгуурын доор байж болно, энэ нь шийдлийн аргыг өөрчлөхгүй;

Эхлэгчдэд зориулсан өөр хоёр жишээ

Жишээ 13 Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Ерөнхий "параметрүүд" -ийн дагуу цувралын ерөнхий нэр томъёо нь харьцуулах хязгаарлах шалгуурыг ашиглахад тохиромжтой юм шиг санагдаж байна. Та зүгээр л хаалтуудыг онгойлгож, нэн даруй нэр дэвшигчид дамжуулж, энэ цувралыг нэгдэх цувралтай сайтар харьцуулах хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч, би бага зэрэг хуурч байсан, хаалт нээгдээгүй байж магадгүй, гэхдээ хязгаарлагдмал харьцуулалтын шалгуураар дамжуулан шийдэл нь нэлээд дүр эсгэх болно.

Тиймээс бид интеграл Коши тестийг ашигладаг:

Интегралтасралтгүй дээр

нийлдэгхаргалзах буруу интегралын хамт.

! Жич:үр дүнгийн тоо байнабиш цувралын нийлбэр!!!

Жишээ 14 Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Шийдэл болон дээжийн загвар нь төгсгөлд ирдэг хэсгийн төгсгөлд байна.

Тооны цувралын сэдвийг бүрэн, эргэлт буцалтгүй эзэмшихийн тулд сэдвүүдэд зочилно уу.

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 3:Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатай.
Тайлбар: "Турбо" шийдлийн аргыг ашиглах боломжтой байсан: харьцааг харандаагаар нэн даруй дугуйлж, эв нэгдэлтэй болохыг харуулж, "өсөлтийн ижил дарааллаар" тэмдэглэнэ үү.

Жишээ 5: Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг: Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.

Жишээ 8:

Тиймээс судалж буй цуврал нийлдэг.

Жишээ 10:
Бид радикал Коши тестийг ашигладаг.

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатай.
Жич: Энд суурь нь зэрэг, тэгэхээр

Жишээ 12: Бид интеграл тэмдгийг ашигладаг.

Хязгаарлагдмал тоог олж авсан бөгөөд энэ нь судалж буй цуврал нь гэсэн үг юм нийлдэг

Жишээ 14: Бид интеграл тэмдгийг ашигладаг
Интеграл нь дээр тасралтгүй байна.

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатайхаргалзах буруу интегралын хамт.
Жич: Цувралыг мөн ашиглан шалгаж болнохарьцуулах хязгаарлах шалгуур . Үүнийг хийхийн тулд та язгуурын доорх хаалтуудыг нээж, судалж буй цувралыг дивергент цувралтай харьцуулах хэрэгтэй.

Ээлжит эгнээ. Лейбницийн тэмдэг. Шийдлийн жишээ

Энэ хичээлийн жишээг ойлгохын тулд эерэг тооны цувааг сайн ойлгох хэрэгтэй: цуваа гэж юу болохыг ойлгох, цуваа нийлэхэд шаардлагатай тэмдгийг мэдэх, харьцуулах тест, д'Аламберт тест хэрэглэх чадвартай байх хэрэгтэй. , Кошигийн сорил. Өгүүллийг тууштай судалснаар сэдвийг бараг эхнээс нь гаргаж болно Дамми нарт зориулсан эгнээТэгээд Д'Аламберын тэмдэг. Кошигийн шинж тэмдэг. Логикийн хувьд энэ хичээл нь дараалсан гурав дахь хичээл бөгөөд энэ нь зөвхөн ээлжлэн мөрүүдийг ойлгох төдийгүй аль хэдийн хамрагдсан материалыг нэгтгэх боломжийг олгоно! Шинэлэг зүйл бага байх болно, ээлжлэн мөрийг эзэмших нь хэцүү биш байх болно. Бүх зүйл энгийн бөгөөд хүртээмжтэй байдаг.

Ээлжит цуврал гэж юу вэ?Энэ нь нэрнээс нь тодорхой юм уу бараг л ойлгомжтой. Энгийн жишээгээр цувралыг харж, илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлая.

Тэгээд одоо алуурчин сэтгэгдэл байх болно. Хувьсах цувралын гишүүд нь ээлжлэн тэмдэгтэй байдаг: нэмэх, хасах, нэмэх, хасах, нэмэх, хасах гэх мэт. хязгааргүйд руу.
Зэрэгцүүлэх нь үржүүлэгчийг өгдөг: тэгш бол нэмэх тэмдэг, сондгой бол хасах тэмдэг байх болно. Математик хэлээр энэ зүйлийг "анивчуулагч" гэж нэрлэдэг. Тиймээс ээлжлэн цувааг хасах нэгээр "en" зэрэгт "тодорхойлдог".

Практик жишээн дээр цувааны нөхцлийн ээлжийг зөвхөн үржүүлэгч төдийгүй түүний дүү нараар хангаж болно: , , , …. Жишээлбэл:

Муухай зүйл бол "хууран мэхлэлт" юм: , , гэх мэт. - ийм үржүүлэгчид тэмдгийн өөрчлөлтийг бүү өг. Ямар ч байгалийн хувьд: , , . Хууран мэхлэлт бүхий эгнээ нь онцгой авьяаслаг оюутнуудад хальтирч зогсохгүй, шийдвэрлэх явцад үе үе "өөрөө" үүсдэг. функциональ цуврал.

Хувьсах цувралыг нийлмэл байдалд хэрхэн шалгах вэ?Лейбницийн тестийг ашигла. Би Германы сэтгэлгээний аварга Готфрид Вильгельм Лейбницийн талаар юу ч хэлэхийг хүсэхгүй байна, учир нь тэрээр математикийн бүтээлүүдээс гадна философийн талаар хэд хэдэн боть бичсэн. Тархинд аюултай.

Лейбницийн тест: Хэрэв ээлжит цувралын гишүүд нэгэн хэвийнмодулийн бууралт, дараа нь цуваа нийлнэ. Эсвэл хоёр цэг дээр:

2) Цувралын абсолют утгын бууралтын нөхцлүүд: . Түүнээс гадна тэд монотоноор буурдаг.

Хэрэв дууссан бол хоёулаанөхцөл, дараа нь цуваа нийлнэ.

Товч мэдээлэлмодулийн талаар гарын авлагад өгсөнСургуулийн математикийн хичээлийн халуун томъёо , гэхдээ тав тухтай байдлыг хангах үүднээс дахин:

"Модуло" гэж юу гэсэн үг вэ? Сургуулиас бидний санаж байгаагаар модуль нь хасах тэмдгийг "иддэг". Мөр рүүгээ буцаж орцгооё. Оюуны хувьд бүх тэмдгийг баллуураар арилгана тоонуудыг харцгаая. Бид үүнийг харах болно дараагийн болгондцувралын гишүүн багаөмнөхөөсөө. Тиймээс дараах хэллэгүүд ижил утгатай.

- Цувралын гишүүд тэмдгээс үл хамааранбуурч байна.
– Цувралын гишүүд цөөрч байна модуль.
– Цувралын гишүүд цөөрч байна By үнэмлэхүй үнэ цэнэ .
– МодульЦувралын нийтлэг гишүүн тэг рүү чиглэдэг: Тусламжийн төгсгөл

Одоо нэг хэвийн байдлын талаар бага зэрэг яръя. Монотони бол уйтгартай тууштай байдал юм.

Цувралын гишүүд хатуу монотонцувралын ДАРААГИЙН гишүүн БҮР бол модулийн бууралт модульӨмнөхөөсөө БАГА: . Цуврал нь бууралтын хатуу монотонтой бөгөөд үүнийг нарийвчлан тайлбарлаж болно.

Эсвэл бид товчхон хэлж болно: цувралын дараагийн гишүүн бүр модульөмнөхөөсөө бага: .

Цувралын гишүүд хатуу монотон бишЦуврал модулийн ДАРААХ гишүүн БҮР нь өмнөхөөсөө ИЛҮҮ БОЛОХГҮЙ бол модулийн бууралт: . Факториаль бүхий цувааг авч үзье: Цувралын эхний хоёр гишүүн модулийн хувьд ижил тул энд сул монотон байна. Энэ нь цувралын дараагийн гишүүн бүр юм модульөмнөхөөсөө илүүгүй: .

Лейбницийн теоремийн нөхцөлд буурах монотон байдлыг хангах ёстой (хатуу эсвэл хатуу биш байх нь хамаагүй). Энэ тохиолдолд цувралын гишүүд боломжтой хэсэг хугацаанд модуль хүртэл нэмэгддэг, гэхдээ цувралын "сүүл" нь заавал нэгэн хэвийн буурч байх ёстой. Миний цуглуулсан зүйлээс айх шаардлагагүй, практик жишээнүүд бүгдийг байрандаа оруулах болно.

Жишээ 1Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Цувралын нийтлэг нэр томъёонд хүчин зүйл багтдаг бөгөөд энэ нь Лейбницийн шалгуурыг ашиглах шаардлагатай гэсэн үг юм

1) Мөрийг сольж байгаа эсэхийг шалгаж байна. Ихэвчлэн шийдвэрийн энэ үед цувралыг нарийвчлан тайлбарлаж, "Цуврал ээлжлэн байна" гэсэн шийдвэрийг гаргадаг.

2) Цувралын нөхцлүүд үнэмлэхүй утгаараа буурах уу? Хязгаарыг шийдэх шаардлагатай байдаг бөгөөд энэ нь ихэвчлэн маш энгийн байдаг.

– цувралын нөхцөл нь модулийн хувьд буурахгүй. Дашрамд хэлэхэд, бууралтын нэгэн хэвийн байдлыг ярих шаардлагагүй болсон. Дүгнэлт: цувралууд хоорондоо ялгаатай.

Юу тэнцүү болохыг яаж ойлгох вэ? Маш энгийн. Таны мэдэж байгаагаар модуль нь сул талуудыг устгадаг тул нэгийг бий болгохын тулд та дээвэр дээрээс анивчсан гэрлийг арилгах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд цувралын нийтлэг нэр томъёо нь . Бид "анивчдаг гэрлийг" тэнэг байдлаар арилгадаг: .

Жишээ 2 Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Бид Лейбницийн шалгуурыг ашигладаг.

1) Цуврал ээлжлэн байна.

2) – цувралын нөхцлүүд үнэмлэхүй утгаараа буурна. Цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага үнэмлэхүй утгатай байна: иймээс бууралт нь нэг хэвийн байна.

Дүгнэлт: цувралууд нийлдэг.

Бүх зүйл маш энгийн байх болно - гэхдээ энэ нь шийдлийн төгсгөл биш юм!

Хэрэв Лейбницийн тестийн дагуу цуврал нийлдэг бол цуврал гэж бас хэлдэг нөхцөлт байдлаар нийлдэг.

Хэрэв модулиудаас бүрдсэн цувралууд нийлдэг бол тэд цуврал гэж хэлдэг туйлын нийлдэг.

Тиймээс ердийн асуудлыг шийдвэрлэх хоёр дахь үе шат - үнэмлэхүй нэгдэхийн тулд ээлжлэн цуваа тэмдэгтийг судлах нь хэлэлцэх асуудлын жагсаалтад байна.

Энэ бол миний буруу биш - энэ бол зөвхөн тооны цувралын онол юм =)

Цувралуудыг үнэмлэхүй нийлмэл байдлын үүднээс авч үзье.
Цуврал модулиудыг зохиоё - бид зүгээр л тэмдгүүдийн ээлжийг баталгаажуулдаг хүчин зүйлийг арилгадаг: - ялгарах (гармоник цуврал).

Тиймээс бидний цуврал туйлын нэгдмэл биш юм.
Судалж буй цуврал зөвхөн нөхцөлт байдлаар нийлдэг.

Эхний алхамд цуваа зөрүүтэй байна гэж дүгнэсэн тул жишээ №1-д үнэмлэхүй бус нийлэлтийг судлах шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу.

Бид хувин, хүрз, машин цуглуулж, экскаваторын бүхээгээс ертөнцийг том нүдээр харахын тулд хамгаалагдсан хязгаарлагдмал талбайг орхиж байна.

Жишээ 3 Цувралыг нэгтгэхийн тулд бид Лейбницийн шалгуурыг ашигладаг.

1)
Энэ цуврал ээлжлэн гарч байна.

2) – цувралын нөхцлүүд үнэмлэхүй утгаараа буурна. Цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага үнэмлэхүй утгатай: энэ нь бууралт нь нэг хэвийн байна гэсэн үг юм. Дүгнэлт: Цуврал нэгдэж байна.

Цувралыг бөглөхөд дүн шинжилгээ хийхдээ бид харьцуулахдаа хязгаарлах шалгуурыг ашиглах шаардлагатай гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна. Хуваарьт хаалт нээх нь илүү тохиромжтой.

Энэ цувралыг нийлэх цуваатай харьцуулж үзье. Харьцуулахдаа бид хязгаарлах шалгуурыг ашигладаг.

Тэгээс ялгаатай хязгаарлагдмал тоо гарч ирдэг бөгөөд энэ нь цуваа нь цуваатай нийлдэг гэсэн үг юм. Судалж буй цуврал туйлын нийлдэг.

Жишээ 4 Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Жишээ 5 Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Эдгээр нь танд бие даан шийдвэрлэх жишээ юм. Бүрэн шийдэл, загвар дизайныг хэсгийн төгсгөлд үзүүлэв.

Таны харж байгаагаар ээлжлэн мөрүүд нь энгийн бөгөөд уйтгартай байдаг! Гэхдээ хуудсыг хаах гэж яарах хэрэггүй, хэдхэн дэлгэцийн дараа бид олныг гайхшруулж буй хэргийг харах болно. Энэ хооронд дадлага хийх, давтах хэд хэдэн жишээ.

Жишээ 6 Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Бид Лейбницийн шалгуурыг ашигладаг.
1) Цуврал ээлжлэн байна.
2)
Цувралын нөхцлүүд модулийн хувьд буурна. Цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага үнэмлэхүй утга учир бууралт нь нэг хэвийн байна гэсэн үг. Дүгнэлт: цувралууд нийлдэг.

Би цувралын гишүүдийн талаар дэлгэрэнгүй тайлбарлаагүйг анхаарна уу. Тэдгээрийг үргэлж дүрслэхийг зөвлөж байна, гэхдээ "хэцүү" тохиолдолд залхуурлын улмаас та "Цуврал тэмдэг ээлжлэн солигдож байна" гэсэн хэллэгээр өөрийгөө хязгаарлаж болно. Дашрамд хэлэхэд энэ асуудалд албан ёсоор хандах шаардлагагүй, бид үргэлж шалгадаг(наад зах нь оюун санааны хувьд) цуврал нь үнэндээ ээлжлэн солигддог. Түргэн харвал бүтэлгүйтэж, автоматаар алдаа гардаг. "хууран мэхлэлт" -ийн талаар санаарай, , хэрэв байгаа бол эерэг нэр томъёо бүхий "ердийн" цувралыг авахын тулд тэднээс салах хэрэгтэй.

Хоёрдахь нарийн зүйл бол монотон байдлын тухай өгүүлбэртэй холбоотой бөгөөд би үүнийг аль болох богиносгосон. Та үүнийг хийж чадна, бараг үргэлж таны даалгаврыг хүлээж авах болно. Би огт муу зүйл хэлэх болно - би хувьдаа нэг хэвийн байдлын талаар ихэвчлэн дуугүй байдаг бөгөөд ийм тоо өнгөрдөг. Гэхдээ тэгш бус байдлын нарийвчилсан хэлхээг хүртэл бүх зүйлийг нарийвчлан тайлбарлахад бэлэн байгаарай (хичээлийн эхэнд байгаа жишээг үзнэ үү). Нэмж дурдахад, заримдаа нэг хэвийн байдал нь хатуу биш байдаг тул "бага" гэдэг үгийг "илүү байхгүй" гэсэн үгээр солихын тулд үүнийг хянах шаардлагатай.

Бид үнэмлэхүй нийлмэл байдлын цувралуудыг шалгана.

Мэдээжийн хэрэг, та радикал Коши тестийг ашиглах хэрэгтэй:

Тиймээс цуврал нэгдэж байна. Судалж буй цуврал туйлын нийлдэг.

Жишээ 7Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Энэ нь бие даасан шийдлийн жишээ юм.

Жишээ 8Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Бид Лейбницийн шалгуурыг ашигладаг.
1) Цуврал ээлжлэн байна.

Гол нь ийм хязгаарлалтыг шийдэх стандарт, өдөр тутмын арга техник байдаггүй. Энэ хязгаар хаашаа явах вэ? Тэг рүү, хязгааргүй рүү? Энд хамгийн чухал зүйл бол юу нь хязгааргүйд илүү хурдан ургадаг вэ?– тоологч буюу хуваагч.

ТАЙЛБАР: Функцийн өсөлтийн дарааллын тухай ойлголтыг нийтлэлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болноХязгаарыг шийдвэрлэх аргууд . Бидэнд байгаа дарааллын хязгаарлалт, гэхдээ энэ нь мөн чанарыг өөрчлөхгүй.

Хэрэв тоологч хүчин зүйлээс хурдан өсвөл . Хязгааргүй үед факториал нь тоологчоос хурдан өсөх юм бол эсрэгээр хязгаарыг тэг хүртэл "татах" болно: . Эсвэл энэ хязгаар нь тэгээс бусад тоотой тэнцүү байж болох уу?

Цувралын эхний хэдэн нэр томъёог бичихийг хичээцгээе.
та мянга дахь зэрэглэлийн олон гишүүнийг орлуулж болно, энэ нь дахин нөхцөл байдлыг өөрчлөхгүй - эрт орой хэзээ нэгэн цагт факториал ийм аймшигтай олон гишүүнийг "гүйцэх" болно. Факториал илүү өндөр захиалгаөсөлтямар ч цахилгаан дараалалаас илүү.

- Факториал нь илүү хурдан өсч байна ямар ч хэмжээний бүтээгдэхүүнэкспоненциал ба чадлын дараалал (бидний тохиолдол).

– Ямар чЭкспоненциал дараалал нь ямар ч хүчний дараалалаас илүү хурдан өсдөг, жишээ нь: , . Экспоненциал дараалал өсөлтийн дээд дараалалямар ч цахилгаан дараалалаас илүү. Факторын нэгэн адил экспоненциал дараалал нь дурын тооны чадлын дараалал эсвэл олон гишүүнтийн үржвэрийг “чирдэг”: .

– Факториалаас илүү “сэрүүн” зүйл бий юу? Ид! Хүчин чадлын экспоненциал дараалал ("en"-ээс "en" хүртэл) хүчин зүйлээс хурдан өсдөг. Практикт энэ нь ховор тохиолддог боловч мэдээлэл нь хэт их байх болно. Тусламжийн төгсгөл

Тиймээс судалгааны хоёр дахь цэгийг (та үүнийг санаж байна уу? =)) дараах байдлаар бичиж болно.
2) , өсөлтийн дараалал нь -ээс өндөр байдаг.
Цувралын нөхцөл нь модулийн бууралт, зарим тооноос эхлэн, энэ тохиолдолд цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага үнэмлэхүй утгатай тул бууралт нь нэгэн хэвийн байна.

Дүгнэлт: цувралууд нийлдэг.

Цувралын нөхцлүүд анх үнэмлэхүй утгаараа өсөхөд яг ийм сонин тохиолдол гарч байна, иймээс бид хязгаарын талаар алдаатай анхны дүгнэлттэй байсан. Гэхдээ, "en" тооноос эхлэн, факториалыг тоологч гүйцэж, цувралын "сүүл" нь монотон буурч байгаа нь Лейбницийн теоремын нөхцлийг биелүүлэхэд үндсэндээ чухал юм. Энэ "en" яг юу болохыг олж мэдэхэд хэцүү байдаг.

Харгалзах теоремын дагуу цувааны үнэмлэхүй нийлбэрээс цувааны нөхцөлт нийлэлтийг дагадаг. Дүгнэлт: Судалгааны цуврал туйлын нийлдэг.

Эцэст нь та өөрөө шийдэх хэд хэдэн жишээг хэлье. Нэг дуурийн нэг (тусламжийг дахин уншина уу), гэхдээ илүү энгийн. Гурмануудад зориулсан өөр нэг зүйл бол конвергенцийн салшгүй шинж тэмдгийг нэгтгэх явдал юм.

Жишээ 9Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Жишээ 10Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Тоон эерэг ба ээлжлэн цувааг өндөр чанартай судалсны дараа цэвэр ухамсартайгаар та цаашаа явж болно. функциональ цуврал, үүнээс дутахгүй нэгэн хэвийн, нэгэн хэвийн байдал нь сонирхолтой юм.

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 4: Бид Лейбницийн шалгуурыг ашигладаг:

1) Энэ цуврал ээлжлэн байна.
2)
Цувралын нөхцөл нь модулийн хувьд буурахгүй. Дүгнэлт: Цуврал зөрүүтэй байна.. , энэ тохиолдолд цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага үнэмлэхүй утгатай тул бууралт нь нэгэн хэвийн байна.

Тиймээс цуваа нь харгалзах буруу интегралтай хамт хуваагддаг. Судалж буй цуврал зөвхөн нөхцөлт байдлаар нийлдэг.

Энэ нийтлэл нь цувралын нийлбэрийг олохоос эхлээд нийлмэл байдлыг шалгах хүртэл тооны цувааны сэдвээр бараг бүх жишээг шийдвэрлэхэд шаардлагатай мэдээллийг цуглуулж, бүтэцтэй болгосон.

Нийтлэлийн тойм.

Эерэг ба ээлжилсэн цувааны тодорхойлолтууд болон конвергенцын тухай ойлголтоос эхэлье. Дараа нь бид гармоник цуваа, ерөнхий гармоник цуваа гэх мэт стандарт цувааг авч үзэж, хязгааргүй буурах нийлбэрийг олох томъёог эргэн санах болно. геометрийн прогресс. Үүний дараа бид нийлсэн цувааны шинж чанарууд руу шилжиж, цувааг нэгтгэхэд шаардлагатай нөхцлийн талаар судалж, цувааг нэгтгэх хангалттай шалгууруудыг гаргана. Бид нарийвчилсан тайлбар бүхий ердийн жишээнүүдийн шийдлээр онолыг шингэлэх болно.

Хуудасны навигаци.

Үндсэн тодорхойлолт ба ойлголтууд.

Хаана байгаа тооны дарааллыг гаргая .

Тоон дарааллын жишээ энд байна: .

Тооны цувралмаягтын тоон дарааллын нөхцлийн нийлбэр юм .

Тооны цувааны жишээ болгон бид q = -0.5 хуваагчтай хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийг өгч болно. .

Дуудсан тооны цувралын нийтлэг гишүүнэсвэл цувралын k-р гишүүн.

Өмнөх жишээний хувьд тооны цувааны ерөнхий гишүүн хэлбэр нь .

Тооны цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрхэлбэрийн нийлбэр бөгөөд n нь зарим натурал тоо юм. мөн тооны цувааны n-р хэсэгчилсэн нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, цувралын дөрөв дэх хэсэгчилсэн нийлбэр Байна .

Хэсэгчилсэн дүн тооны цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн хязгааргүй дарааллыг үүсгэнэ.

Манай цувралын хувьд геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглан n-р хэсэгчилсэн нийлбэрийг олно. , өөрөөр хэлбэл бид хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараах дараалалтай болно. .

Тооны цувралыг дууддаг нэгдэх, хэрэв хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалалд хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол. Хэрэв тооны цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дарааллын хязгаар байхгүй эсвэл хязгааргүй бол цувралыг гэнэ. ялгаатай.

Нийлмэл тооны цувралын нийлбэртүүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дарааллын хязгаар гэж нэрлэгддэг, өөрөөр хэлбэл, .

Тиймээс бидний жишээн дээр цуврал нийлдэг бөгөөд нийлбэр нь гуравны арван зургаатай тэнцүү байна: .

Дивергент цувааны жишээ нь хуваарь нь нэгээс их геометр прогрессийн нийлбэр юм. . n-р хэсэгчилсэн нийлбэрийг илэрхийллээр тодорхойлно , мөн хэсэгчилсэн нийлбэрийн хязгаар хязгааргүй байна: .

Дивергент тооны цувралын өөр нэг жишээ бол хэлбэрийн нийлбэр юм . Энэ тохиолдолд n-р хэсэгчилсэн нийлбэрийг гэж тооцоолж болно. Хэсэгчилсэн нийлбэрийн хязгаар нь хязгааргүй юм .

Маягтын нийлбэр дуудсан гармоник тооны цуврал.

Маягтын нийлбэр , энд s нь зарим бодит тоо, гэж нэрлэдэг гармоник тооны цуваагаар ерөнхийлсөн.

Дээрх тодорхойлолтууд нь маш их хэрэглэгддэг дараах мэдэгдлүүдийг зөвтгөхөд хангалттай юм.

ГАРМОНИК ЦУВРАЛ ЗАРЛАСАН.

Гармоник цувааны зөрүүг баталъя.

Цуврал нийлнэ гэж бодъё. Дараа нь түүний хэсэгчилсэн нийлбэрт хязгаарлагдмал хязгаар бий. Энэ тохиолдолд бид болон гэж бичиж болно, энэ нь биднийг тэгш байдалд хүргэдэг .

Нөгөө талаар,

Дараахь тэгш бус байдал нь эргэлзээгүй юм. Ийнхүү, . Үүний үр дүнд үүссэн тэгш бус байдал нь тэгш байдал гэдгийг бидэнд харуулж байна хүрч чадахгүй байгаа нь гармоник цувралын нэгдлийн талаарх бидний таамаглалтай зөрчилдөж байна.

Дүгнэлт: гармоник цувралууд хуваагддаг.

q ТӨРЛИЙН ГЕОМЕТРИЙН ПРОГРЕССИЙН нийлбэр q НЭГДСЭН ТООН ЦУВРАЛ IF , .

Үүнийг баталъя.

Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг томъёогоор олдгийг бид мэднэ .

Шударга байхад

Энэ нь тооны цувааны нийлэлтийг илэрхийлдэг.

q = 1-ийн хувьд бид тооны цуваатай болно . Түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүд нь гэж олдох ба хэсэгчилсэн нийлбэрийн хязгаар нь хязгааргүй юм , энэ тохиолдолд цувралын зөрүүг харуулж байна.

Хэрэв q = -1 бол тооны цуваа хэлбэрийг авна . Хэсэгчилсэн нийлбэр нь сондгой n, тэгш n хувьд утгыг авна. Эндээс бид хэсэгчилсэн нийлбэрт хязгаарлалт байхгүй, цуваа зөрүүтэй байна гэж дүгнэж болно.

Шударга байхад

Энэ нь тооны цувааны зөрүүг илтгэнэ.

ЕРӨНХИЙЛӨГДӨГҮЙ ГАРМОНИК ЦУВРАЛ s > 1-д НЭГДСЭН, .

Баталгаа.

s = 1-ийн хувьд бид гармоник цувралыг олж авсан бөгөөд дээр нь бид түүний ялгааг тогтоов.

At s тэгш бус байдал нь бүх байгалийн k-д тохирно. Гармоник цувааны зөрүүгээс шалтгаалан түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал нь хязгааргүй (хязгаарлагдмал хязгаар байхгүй тул) гэж үзэж болно. Дараа нь тооны цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал нь хязгааргүй байдаг (энэ цувралын гишүүн бүр гармоник цувралын харгалзах гишүүнээс их байдаг тул ерөнхий гармоник цуврал нь s-ээр хуваагддаг);

s > 1-ийн хувьд цуваа нийлэхийг батлахад л үлдлээ.

Ялгааг нь бичье:

Мэдээжийн хэрэг, тэгвэл

n = 2, 4, 8, 16, …-д үүссэн тэгш бус байдлыг бичье.

Эдгээр илэрцийг ашигласнаар та анхны тооны цувралын тусламжтайгаар дараахь зүйлийг хийж болно.

Илэрхийлэл хуваагч нь геометр прогрессийн нийлбэр юм. Бид s > 1-ийн тохиолдлыг авч үзэж байгаа тул. Тийм ч учраас
. Тиймээс s > 1-ийн хувьд ерөнхий гармоник цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал нэмэгдэж байгаа бөгөөд нэгэн зэрэг утгаараа дээрээс хязгаарлагдаж байгаа тул цувралын нийлэлтийг илтгэх хязгаартай байна. Нотлох баримт бүрэн байна.

Тооны цувралыг дууддаг эерэг тэмдэг, хэрэв түүний бүх нөхцөл эерэг байвал, өөрөөр хэлбэл, .

Тооны цувралыг дууддаг дохио өгөх, хэрэв түүний хөрш зэргэлдээх гишүүдийн шинж тэмдэг өөр өөр байвал. Хувьсах тооны цувралыг дараах байдлаар бичиж болно эсвэл , Хаана .

Тооны цувралыг дууддаг ээлжлэн тэмдэг, хэрэв энэ нь эерэг ба сөрөг гишүүний аль алиных нь төгсгөлгүй тооны агуулж байгаа бол.

Хувьсах тооны цуваа нь хувьсах тооны цувралын онцгой тохиолдол юм.

Мөр

эерэг, ээлжлэн, ээлжлэн байна.

Хувьсах цувралын хувьд үнэмлэхүй болон нөхцөлт нийлэх гэсэн ойлголт байдаг.

туйлын нэгдмэл, хэрэв түүний гишүүдийн үнэмлэхүй утгуудын цуваа нийлж байвал эерэг тооны цуваа нийлнэ.

Жишээлбэл, тооны цуврал Тэгээд цуврал нийлдэг тул туйлын нийлдэг , энэ нь хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр юм.

Ээлжит цуврал гэж нэрлэдэг нөхцөлт нийлдэг, хэрвээ цуваа зөрүүлж, цуваа нийлбэл.

Нөхцөлт нийлсэн тооны цувааны жишээ бол цуваа юм . Тооны цуврал , анхны цувралын нэр томъёоны үнэмлэхүй утгуудаас бүрдэх бөгөөд энэ нь гармоник учраас ялгаатай. Үүний зэрэгцээ, анхны цуврал нь нийлдэг бөгөөд үүнийг ашиглан хялбархан тогтоогддог. Тиймээс тоон тэмдэг нь ээлжлэн цуваа юм нөхцөлт нийлдэг.

Нийлмэл тооны цувааны шинж чанарууд.

Жишээ.

Тооны цувааны нийлэлтийг батал.

Шийдэл.

Цувралыг өөр хэлбэрээр бичье . Ерөнхий гармоник цуваа нь s > 1-д нийлдэг тул тоон цуваа нийлдэг ба нийлдэг тооны цуваа хоёр дахь шинж чанараас шалтгаалан тоон коэффициенттэй цуваа ч нийлнэ.

Жишээ.

Тооны цуваа нийлдэг үү?

Шийдэл.

Анхны цувралыг өөрчилье: . Тиймээс бид хоёр тооны цуврал ба нийлбэрийг олж авсан бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нийлдэг (өмнөх жишээг үзнэ үү). Үүний үр дүнд нийлдэг тооны цувааны гуравдахь шинж чанарын ачаар анхны цуваа бас нийлдэг.

Жишээ.

Тооны цувааны нийлэлтийг батал мөн түүний хэмжээг тооцоолох.

Шийдэл.

Энэ тооны цувралыг хоёр цувралын ялгаагаар илэрхийлж болно:

Эдгээр цуваа бүр нь хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэрийг илэрхийлдэг тул нийлдэг. Нэгдсэн цувааны гурав дахь шинж чанар нь анхны тооны цуваа нийлдэг гэдгийг батлах боломжийг бидэнд олгодог. Үүний нийлбэрийг тооцоолъё.

Цувралын эхний гишүүн нэг бөгөөд харгалзах геометр прогрессийн хуваагч нь 0.5-тай тэнцүү байна. .

Цувралын эхний гишүүн нь 3 бөгөөд түүнд харгалзах хязгааргүй буурах геометр прогрессийн хуваагч нь 1/3 байна. .

Гарсан үр дүнг ашиглан анхны тооны цувралын нийлбэрийг олъё.

Цуврал нийлэх зайлшгүй нөхцөл.

Хэрэв тооны цуваа нийлдэг бол түүний k-р гишүүний хязгаар тэгтэй тэнцүү байна: .

Аливаа тооны цуваа нийлэгжилтийг шалгахдаа эхлээд шаардлагатай нийлэх нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Энэ нөхцлийг биелүүлээгүй нь тоон цувааны зөрүүг илтгэнэ, өөрөөр хэлбэл хэрэв , дараа нь цуваа зөрүүтэй байна.

Нөгөөтэйгүүр, энэ нөхцөл хангалтгүй гэдгийг та ойлгох хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, тэгш байдлын биелэлт нь тооны цувралын нийлэлтийг илтгэдэггүй. Жишээлбэл, гармоник цувралын хувьд нийлэхэд шаардлагатай нөхцөл хангагдаж, цуваа нь хуваагддаг.

Жишээ.

Тооны цувааг нэгтгэхийн тулд шалгана уу.

Шийдэл.

Тоон цувааг нэгтгэхэд шаардлагатай нөхцөлийг шалгацгаая.

Хязгаар Тооны цувааны n-р гишүүн 0-тэй тэнцүү биш тул цуваа зөрүүтэй байна.

Эерэг цувралын нийлэх хангалттай шинж тэмдэг.

Тоон цувааг нэгтгэхийн тулд хангалттай шинж чанаруудыг ашиглахдаа та байнга асуудалтай тулгардаг тул танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал бид энэ хэсэгт хандахыг зөвлөж байна.

Эерэг тооны цувааг нэгтгэх зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл.

Эерэг тооны цувааг нэгтгэхийн тулд түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дарааллыг хязгаарлах нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Цувралуудыг харьцуулах шинж тэмдгүүдээс эхэлье. Тэдний мөн чанар нь судалж буй тоон цувааг нийлэх эсвэл ялгарах нь мэдэгдэж буй цувралтай харьцуулах явдал юм.

Харьцуулах эхний, хоёр, гурав дахь шинж тэмдэг.

Цувралуудыг харьцуулах анхны шинж тэмдэг.

Хоёр эерэг тооны цуваа ба байх ба тэгш бус байдал нь бүх k = 1, 2, 3, ... Дараа нь цувааны нийлэгжилт нь нийлэлтийг илэрхийлж, цувааны дивергенц нь -ийн дивергенцийг илэрхийлнэ.

Эхний харьцуулалтын шалгуурыг маш олон удаа ашигладаг бөгөөд нийлмэл байдлын тоон цувааг судлах маш хүчирхэг хэрэгсэл юм. Гол асуудал бол харьцуулалт хийхэд тохиромжтой цувралыг сонгох явдал юм. Харьцуулах цуваа нь ихэвчлэн (гэхдээ үргэлж биш) сонгогддог бөгөөд ингэснээр түүний k-р гишүүний илтгэгч нь судалж буй тоон цувааны k-р гишүүний тоо ба хуваагчийн илтгэгчийн зөрүүтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, хуваагч ба хуваагчийн илтгэгчийн ялгаа нь 2 – 3 = -1-тэй тэнцүү байх тул харьцуулахын тулд бид k-р гишүүнтэй цуваа, өөрөөр хэлбэл гармоник цувааг сонгоно. Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ.

Цувралын нэгдэл эсвэл зөрүүг тогтоох.

Шийдэл.

Цувралын ерөнхий гишүүний хязгаар нь 0-тэй тэнцүү тул цуваа нийлэх зайлшгүй нөхцөл хангагдсан байна.

Бүх байгалийн k-ийн хувьд тэгш бус байдал үнэн болохыг харахад хялбар байдаг. Гармоник цуваа нь зөрүүтэй байдгийг бид мэднэ, тиймээс харьцуулалтын эхний шалгуураар анхны цуваа ч мөн адил ялгаатай байна.

Жишээ.

Тоон цувааг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу.

Шийдэл.

Тооны цувааг нэгтгэхэд шаардлагатай нөхцөл хангагдсан тул . Тэгш бус байдал нь ойлгомжтой k-ийн аливаа байгалийн утгын хувьд. Ерөнхий гармоник цуваа нь s > 1-д нийлдэг тул цуваа нийлдэг. Тиймээс цувралыг харьцуулах эхний тэмдэг нь анхны тооны цувралын нийлэлтийг илэрхийлэх боломжийг олгодог.

Жишээ.

Тоон цувааны нийлмэл байдал, ялгааг тодорхойлно уу.

Шийдэл.

, тиймээс тооны цувааг нэгтгэх зайлшгүй нөхцөл хангагдсан байна. Харьцуулахын тулд аль эгнээ сонгох вэ? Тоон цуваа нь өөрийгөө санал болгодог бөгөөд s-ийг шийдэхийн тулд бид тооны дарааллыг сайтар судалж үздэг. Тооны дарааллын нөхцөлүүд хязгааргүй рүү нэмэгддэг. Тиймээс зарим N тооноос (жишээлбэл, N = 1619-ээс) эхлэн энэ дарааллын нөхцлүүд 2-оос их байх болно. Энэ N тооноос эхлэн тэгш бус байдал үнэн болно. Эхний N – 1 гишүүнийг хаяснаар нийлэг цуваанаас гаргаж авдаг тул нийлэх цувааны эхний шинж чанараас шалтгаалан тооны цуваа нийлдэг. Ийнхүү харьцуулалтын эхний шалгуураар цуваа нийлэх ба нийлэх тооны цувааны эхний шинж чанараар цуваа мөн нийлнэ.

Харьцуулах хоёр дахь шинж тэмдэг.

Эерэг тооны цуваа ба байг. Хэрэв , дараа нь цуваа нийлэх нь -ийн нийлэлтийг илэрхийлнэ. Хэрэв , дараа нь тоон цувааны дивергенц нь -ийн ялгааг илэрхийлнэ.

Үр дагавар.

Хэрэв ба бол нэг цувралын нийлэх нь нөгөө цувралын нийлбэрийг илэрхийлдэг ба зөрөө нь дивергенцийг илэрхийлдэг.

Бид хоёр дахь харьцуулалтын шалгуурыг ашиглан цувааг нэгтгэх эсэхийг шалгадаг. Цувралын хувьд бид нэгдэх цувралыг авдаг. Тооны цувааны k-р гишүүний харьцааны хязгаарыг олъё.

Ийнхүү харьцуулах хоёр дахь шалгуурын дагуу тооны цуваа нийлэхээс эхлээд анхны цуваа нийлэх нь дараах байдалтай байна.

Жишээ.

Тооны цувааны нийлэлтийг шалгана уу.

Шийдэл.

Цувралыг нэгтгэхэд шаардлагатай нөхцлийг шалгацгаая . Нөхцөл хангагдсан. Хоёрдахь харьцуулалтын шалгуурыг хэрэглэхийн тулд гармоник цувралыг авч үзье. k-р гишүүний харьцааны хязгаарыг олъё:

Үүний үр дүнд гармоник цувралын зөрүүгээс харьцуулалтын хоёр дахь шалгуурын дагуу анхны цувралын ялгаа гарч ирнэ.

Мэдээллийн хувьд бид цувралыг харьцуулах гурав дахь шалгуурыг танилцуулж байна.

Харьцуулах гурав дахь шинж тэмдэг.

Эерэг тооны цуваа ба байг. Хэрэв нөхцөл нь зарим N тооноос хангагдаж байвал цуваа нийлэх нь нийлэхийг, цувааны дивергенц нь дивергенцийг илэрхийлнэ.

Д'Аламберын тэмдэг.

Сэтгэгдэл.

Хязгаар хязгааргүй, өөрөөр хэлбэл хэрэв хязгааргүй бол D'Alembert-ийн тест хүчинтэй байна , дараа нь хэрэв цуваа нийлнэ , дараа нь цувралууд хуваагдана.

Хэрэв , дараа нь d'Alembert-ийн тест нь цувралын нийлмэл байдал, ялгааны талаар мэдээлэл өгөхгүй бөгөөд нэмэлт судалгаа шаардлагатай.

Жишээ.

d'Alembert-ийн тестийг ашиглан тооны цувааг нэгтгэх эсэхийг шалга.

Шийдэл.

Тоон цувааг нэгтгэхэд шаардлагатай нөхцлийн биелэлтийг шалгаж, хязгаарыг тооцоолно:

Нөхцөл хангагдсан.

Д'Аламберын тэмдгийг ашиглая:

Тиймээс цуврал нэгдэж байна.

Радикал Кошигийн тэмдэг.

Эерэг тооны цуврал байг. Хэрэв бол тоон цуваа нийлнэ, хэрэв , байвал цуваа зөрөх болно.

Сэтгэгдэл.

Кошигийн радикал тест нь хязгаар нь хязгааргүй, өөрөөр хэлбэл хэрэв байвал хүчинтэй байна , дараа нь хэрэв цуваа нийлнэ , дараа нь цувралууд хуваагдана.

Хэрэв , дараа нь радикал Коши тест нь цувралын нэгдэл, зөрүүний талаар мэдээлэл өгөхгүй бөгөөд нэмэлт судалгаа шаардлагатай.

Радикал Коши тестийг ашиглах нь хамгийн тохиромжтой тохиолдлуудыг ялгахад хялбар байдаг. Тооны цувааны ерөнхий гишүүн нь экспоненциал хүчний илэрхийлэл байх ердийн тохиолдол юм. Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ.

Радикал Коши тестийг ашиглан эерэг тооны цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалга.

Шийдэл.

. Радикал Коши тестийг ашиглан бид олж авдаг .

Тиймээс цувралууд нийлдэг.

Жишээ.

Тооны цуваа нийлдэг үү? .

Шийдэл.

Радикал Коши тестийг ашиглацгаая , тиймээс тооны цуваа нийлдэг.

Интеграл Коши тест.

Эерэг тооны цуврал байг. Функцтэй төстэй y = f(x) тасралтгүй аргументтай функцийг байгуулъя. y = f(x) функц нь эерэг, тасралтгүй ба , энд ) интервал дээр буурч байна. Дараа нь нэгдэх тохиолдолд буруу интегралсудалж буй тооны цуваа нийлдэг. Хэрэв зохисгүй интеграл ялгарах юм бол анхны цуваа ч мөн адил хуваагдана.

y = f(x) функцийн интервал дахь бууралтыг шалгахдаа хэсгийн онол танд хэрэг болно.

Жишээ.

Эерэг нөхцөл бүхий тооны цувааг нийлбэрийн хувьд шалгана уу.

Шийдэл.

Цувралыг нэгтгэхэд шаардлагатай нөхцөл хангагдсан тул . Функцийг авч үзье. Энэ нь эерэг, тасралтгүй, интервал дээр буурч байна. Энэ функцийн тасралтгүй байдал, эерэг байдал нь эргэлзээгүй боловч бууралтын талаар бага зэрэг нарийвчлан авч үзье. Деривативыг олцгооё:
. Энэ нь интервал дээр сөрөг байдаг тул функц энэ интервал дээр буурдаг.

Тэмдгийг өөрөө томъёолохын өмнө нэг чухал асуултыг авч үзье.
D'Alembert's convergence тестийг хэзээ хэрэглэх вэ?

d'Alembert-ийн тестийг хэрэглэх үндсэн урьдчилсан нөхцөлүүд нь дараах байдалтай байна.

1) Цувралын нийтлэг нэр томъёо (цувралыг дүүргэх) нь тодорхой хэмжээгээр, жишээ нь, гэх мэт тоог агуулдаг. Түүнээс гадна эдгээр функцүүд хаана, тоологч эсвэл хуваагч дээр байрлах нь огт хамаагүй - хамгийн чухал нь тэдгээр нь тэнд байгаа явдал юм.

2) Цувралын нийтлэг нэр томъёонд факториал орно. Факториаль гэж юу вэ?

…

…

3) Хэрэв цувралын ерөнхий нэр томъёонд "хүчин зүйлийн гинжин хэлхээ" байгаа бол жишээлбэл, . Энэ тохиолдол ховор тохиолддог.

Хязгаарыг ойлгохгүй, тодорхойгүй байдлыг илчлэх чадваргүй бол харамсалтай нь цааш ахих боломжгүй юм.

Жишээ:
Шийдэл:Цувралын ерөнхий нэр томъёоноос харахад энэ нь d'Alembert-ийн тестийг ашиглах найдвартай урьдчилсан нөхцөл юм.

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

нийлдэг.

Радикал Кошигийн тэмдэг.

Эерэг тооны цувралын Кошигийн нийлэх тест нь саяхан хэлэлцсэн Д'Аламбертын тесттэй төстэй юм.

! Хэрэв Кошигийн тест цувралын нийлмэл байдлын тухай асуултад хариулт өгөхгүй бол Д'Аламберын тест ч гэсэн хариулт өгөхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Гэвч хэрэв д'Аламбертийн тест хариулт өгөхгүй бол Кошигийн тест "ажиллаж" магадгүй юм. Өөрөөр хэлбэл, Коши тэмдэг нь энэ утгаараа илүү хүчтэй тэмдэг юм.

!!! Радикал Коши тэмдгийг хэзээ хэрэглэх ёстой вэ?Радикал Коши тестийг ихэвчлэн цувралын нийтлэг нэр томъёо байдаг тохиолдолд ашигладаг БҮРЭНзэрэгтэй байна "en" -ээс хамаарч. Эсвэл цувралын нийтлэг гишүүнээс "сайн" гэсэн язгуурыг гаргаж авах үед. Чамин тохиолдлууд бас байдаг, гэхдээ бид тэдэнд санаа зовохгүй байна.

Жишээ:Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Шийдэл:Цувралын ерөнхий нэр томъёо нь -аас хамаарч бүрэн хүчин чадалтай болохыг бид харж байна, энэ нь бид радикал Коши тестийг ашиглах шаардлагатай гэсэн үг юм:

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатай.

Интеграл Коши тест.

Коши интеграл тестийг ашиглахын тулд та дериватив, интеграл олохдоо бага эсвэл бага итгэлтэй байх ёстой, мөн түүнчлэн тооцоолох ур чадвартай байх ёстой. буруу интеграланхны төрөл.

Би үүнийг өөрийн үгээр (ойлгоход хялбар болгох үүднээс) томъёолох болно.

Интеграл Коши тест:Ингээд авч үзье эерэг тооны цуврал. Энэ цуваа нь харгалзах зохисгүй интегралтай хамт нийлж эсвэл хуваагддаг.

! !! Коши интеграл тестийг ашиглах гол урьдчилсан нөхцөл ньЭнэ нь цувааны ерөнхий нэр томъёонд тодорхой функц, түүний дериватив байдаг.

Жишээ:Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Шийдэл:Сэдвээс ДеривативТа хүснэгтийн хамгийн энгийн зүйлийг санаж байгаа байх: , Бидэнд яг ийм каноник тохиолдол байдаг.

Интеграл шинж чанарыг хэрхэн ашиглах вэ? Эхлээд бид салшгүй дүрсийг авч, цувралын "тоолуур" -аас дээд ба доод хязгаарыг дахин бичнэ: . Дараа нь интеграл дор бид цувралын "бөглөх" хэсгийг "X" үсгээр дахин бичнэ: .

Одоо бид буруу интегралыг тооцоолох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд хоёр тохиолдол боломжтой:

1) Хэрэв интеграл нийлж байгаа нь тогтоогдвол манай цувралууд бас нийлнэ.

2) Хэрэв интеграл салж байгаа нь тогтоогдвол бидний цуваа бас салах болно.

Бид интеграл тэмдгийг ашигладаг:

Интеграл функц тасралтгүй дээр байна

Тиймээс судалж буй цуврал ялгаатайхаргалзах буруу интегралын хамт.

Жишээ:Цувралын нийлэлтийг судал

Шийдэл:Юуны өмнө шалгацгаая цувралын ойртох зайлшгүй шинж тэмдэг. Энэ бол албан ёсны зүйл биш, харин "бага зэрэг цус урсгасан" жишээг шийдвэрлэх сайхан боломж юм.

Тооны дараалалилүү өндөр өсөлтийн дараалал, -ээс, тиймээс , өөрөөр хэлбэл, нийлэх зайлшгүй шинж тэмдэг хангагдах ба цуваа нь нийлэх эсвэл зөрөх боломжтой.

Тиймээс та ямар нэгэн төрлийн тэмдгийг ашиглах хэрэгтэй. Гэхдээ аль нь вэ? Харьцуулалтын хязгаарЭнэ нь тохирохгүй нь тодорхой, учир нь логарифмыг цувралын нийтлэг нэр томъёонд шахаж оруулсан болно. д'Аламбер ба Кошигийн шинж тэмдэгбас үр дүнд хүргэхгүй. Байсан бол ядаж л гарч чадах байсан салшгүй шинж чанар.

"Үзэгдлийн үзлэг" нь дивергент цувралыг (ерөнхий гармоник цувралын тохиолдол) санал болгож байгаа боловч тоологч дахь логарифмийг хэрхэн тооцох вэ гэсэн асуулт дахин гарч ирнэ.

Үлдсэн зүйл бол тэгш бус байдал дээр үндэслэсэн харьцуулалтын хамгийн анхны шинж тэмдэг бөгөөд үүнийг ихэвчлэн тооцдоггүй бөгөөд алс холын тавиур дээр тоос цуглуулдаг. Цувралыг илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлая:

Хязгааргүй өсөн нэмэгдэж буйг танд сануулъя тооны дараалал:

Мөн тооноос эхлэн тэгш бус байдал хангагдана:

Энэ нь цувралын гишүүд байх болно өшөө илүүхолбогдох гишүүд ялгаатай эгнээ.

Үүний үр дүнд цуврал тарахаас өөр аргагүй болсон.

Тоон цувааны нийлэх, ялгарах нь түүний "хязгааргүй сүүл" (үлдэгдэл) -ээс хамаарна. Манай тохиолдолд эхний хоёр тооны хувьд тэгш бус байдал нь үнэн биш гэдгийг бид үл тоомсорлож болно - энэ нь дүгнэлтэд нөлөөлөхгүй.

Дууссан жишээ нь иймэрхүү харагдах ёстой:

Энэ цувралыг ялгаатай цувралтай харьцуулж үзье.
-ээс эхлэн бүх тоонуудын хувьд тэгш бус байдал хангагдсан тул харьцуулах шалгуурын дагуу судалж буй цувралууд ялгаатай.

Ээлжит эгнээ. Лейбницийн тэмдэг. Шийдлийн жишээ.

Ээлжит цуврал гэж юу вэ?Энэ нь нэрнээс нь тодорхой юм уу бараг л ойлгомжтой. Энгийн жишээ.

Цувралыг харж, илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлая:

Зэрэгцүүлэх нь үржүүлэгчийг өгдөг: тэгш бол нэмэх тэмдэг, сондгой бол хасах тэмдэг байх болно.

Муухай зүйл бол "хууран мэхлэлт" юм: , , гэх мэт. - ийм үржүүлэгчид тэмдгийн өөрчлөлтийг бүү өг. Ямар ч байгалийн хувьд: , , .

Хувьсах цувралыг нийлмэл байдалд хэрхэн шалгах вэ?Лейбницийн тестийг ашигла.

Лейбницийн тест: Хэрэв ээлжлэн цуваанд хоёр нөхцөл хангагдсан бол: 1) цувралын гишүүн абсолют утгаараа монотон буурна. 2) модулийн нийтлэг гишүүний хязгаар нь тэгтэй тэнцүү, дараа нь цуваа нийлж, энэ цувааны нийлбэрийн модуль нь эхний гишүүний модулиас хэтрэхгүй байна.

Модулийн тухай товч мэдээлэл:

"Модуло" гэж юу гэсэн үг вэ? Сургуулиас бидний санаж байгаагаар модуль нь хасах тэмдгийг "иддэг". Эргээд эгнээ рүүгээ орцгооё . Оюуны хувьд бүх тэмдгийг баллуураар арилгана тоонуудыг харцгаая. Бид үүнийг харах болно дараагийн болгондцувралын гишүүн багаөмнөхөөсөө.

Одоо жаахан монотон байдлын тухай.

Цувралын гишүүд хатуу монотонцувралын ДАРААГИЙН гишүүн БҮР бол модулийн бууралт модульӨмнөхөөсөө БАГА: . Нэг эгнээний хувьд Буурах хатуу монотон байдал нь үүнийг нарийвчлан тайлбарлаж болно.

Эсвэл бид товчхон хэлж болно: цувралын дараагийн гишүүн бүр модульөмнөхөөсөө бага: .

Цувралын гишүүд хатуу монотон бишЦуврал модулийн ДАРААХ гишүүн БҮР нь өмнөхөөсөө ИЛҮҮ БОЛОХГҮЙ бол модулийн бууралт: . Факториал бүхий цувралыг авч үзье: Цувралын эхний хоёр гишүүн модулийн хувьд ижил байдаг тул энд сул монотон байдал ажиглагдаж байна. Энэ нь цувралын дараагийн гишүүн бүр юм модульөмнөхөөсөө илүүгүй: .

Жишээ:Цувралыг нийлэхийн тулд шалгана уу

Шийдэл:Цувралын нийтлэг нэр томъёонд хүчин зүйл багтдаг бөгөөд энэ нь Лейбницийн шалгуурыг ашиглах шаардлагатай гэсэн үг юм

1) Цувралыг монотон буурах эсэхийг шалгаж байна.

1<2<3<…, т.е. n+1>n –эхний нөхцөл хангагдаагүй байна

2) - хоёр дахь нөхцөл нь бас хангагдаагүй байна.

Дүгнэлт: цувралууд хоорондоо ялгаатай.

Тодорхойлолт:Хэрэв Лейбницийн шалгуурын дагуу цуваа нийлдэг ба модулиудаас бүрдсэн цувралууд нийлдэг бол цуваа гэж хэлдэг. туйлын нийлдэг.

Хэрэв Лейбницийн шалгуурын дагуу цуваа нийлж, модулиудаас бүрдсэн цуваа салж байвал цувааг нийлнэ. нөхцөлт байдлаар нийлдэг.

Хэрэв модулиудаас бүрдсэн цуврал нийлдэг бол энэ цуваа бас нийлдэг.

Иймээс ээлжлэн нийлэх цувааг үнэмлэхүй эсвэл нөхцөлт нийлэлтийг шалгах ёстой.

Жишээ:

Шийдэл:Бид Лейбницийн шалгуурыг ашигладаг.

1) Цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө үнэмлэхүй утгаараа бага байна: – эхний нөхцөл хангагдсан.

2) – хоёр дахь нөхцөл нь бас хангагдана.

Дүгнэлт: цувралууд нийлдэг.

Нөхцөлт эсвэл үнэмлэхүй нийлэлтийг шалгая.

Цуврал модулиудыг хийцгээе - дахин бид үржүүлэгчийг арилгадаг бөгөөд энэ нь тэмдгийн ээлжийг баталгаажуулдаг.
– ялгарах (гармоник цуврал).

Тиймээс бидний цуврал туйлын нэгдмэл биш юм.
Судалж буй цуврал нөхцөлт байдлаар нийлдэг.

Жишээ:Цувралыг нөхцөлт эсвэл үнэмлэхүй нийлэлтийг шалгана уу

Шийдэл:Бид Лейбницийн шалгуурыг ашигладаг.
1) Цувралын эхний хэдэн нэр томъёог бичихийг хичээцгээе:

…?!

Хэрэв тоологч хүчин зүйлээс хурдан өсвөл . Хэрэв хязгааргүй үед факториал нь тоологчоос хурдан өсөх юм бол энэ нь эсрэгээр хязгаарыг тэг хүртэл "татах" болно. . Эсвэл энэ хязгаар нь тэгээс бусад тоотой тэнцүү байж болох уу? эсвэл . Үүний оронд та мянга дахь олон гишүүнтийг орлуулж болно, энэ нь дахин нөхцөл байдлыг өөрчлөхгүй - эрт орой хэзээ нэгэн цагт факториал ийм аймшигтай олон гишүүнийг "гүйцэх" болно. Факториал өсөлтийн дээд дараалал.

– факториал нь илүү хурдан өсч байна ямар ч хэмжээний бүтээгдэхүүнэкспоненциал ба чадлын дараалал(бидний хэрэг).

– Факториалаас илүү “хүчтэй” зүйл бий юу? Ид! Хүчин чадлын экспоненциал дараалал (“en” нь “en”-ийн хүчинд) факториалаас хурдан өсдөг. Практикт энэ нь ховор тохиолддог боловч мэдээлэл нь хэт их байх болно.

Тусламжийн төгсгөл

Тиймээс судалгааны хоёр дахь цэгийг дараах байдлаар бичиж болно.
2) , өсөлтийн дараалал нь .
Цувралын нөхцөл нь модулийн бууралт, зарим тооноос эхлэн, энэ тохиолдолд цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага үнэмлэхүй утгатай тул бууралт нь нэгэн хэвийн байна.

Дүгнэлт: цуврал нийлдэг.

Цувралын нөхцлүүд анх үнэмлэхүй утгаараа өсөхөд яг ийм сонин тохиолдол гарч байна, иймээс бид хязгаарын талаар алдаатай анхны дүгнэлттэй байсан. Гэхдээ, "en" тооноос эхлэн, факториал нь тоологчийг гүйцэж түрүүлж, цувралын "сүүл" нь монотон буурч байгаа нь Лейбницийн теоремын нөхцлийг биелүүлэхэд чухал ач холбогдолтой юм. Энэ "en" яг юу болохыг олж мэдэхэд хэцүү байдаг..

Бид цувралыг үнэмлэхүй эсвэл нөхцөлт нийлэлтийг шалгадаг.

Энд D'Alembert-ийн тэмдэг аль хэдийн ажиллаж байна:

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

Тиймээс цуврал нэгдэж байна.

Судалж буй цуврал туйлын нийлдэг.

Шинжилсэн жишээг өөр аргаар шийдэж болно (бид ээлжлэн цуваа нийлэх хангалттай шалгуурыг ашигладаг).

Хувьсах цувралын нийлэх хангалттай шинж тэмдэг:Хэрэв өгөгдсөн цувралын нөхцлийн абсолют утгуудаас бүрдэх цуврал нийлдэг бол өгөгдсөн цуваа нийлнэ.

Хоёр дахь арга:

Цувралыг нөхцөлт эсвэл үнэмлэхүй нийлэлтийг шалгана уу

Шийдэл : Бид үнэмлэхүй нийлмэл байдлын цувралуудыг шалгана.

Бид d'Alembert-ийн тэмдгийг ашигладаг:

Тиймээс цуврал нэгдэж байна.
Хувьсах цувааг нэгтгэх хангалттай шалгуур дээр үндэслэн цуваа өөрөө нийлдэг.

Дүгнэлт: Судалгааны цуврал туйлын нийлдэг.

Цувралын нийлбэрийг өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар тооцоолохБид дараах теоремыг ашиглана.

Цуваа ээлжлэн тэмдэглээрэй Лейбницийн шалгуурын нөхцлийг хангаж, түүнийх nхэсэгчилсэн дүн. Дараа нь цуваа нийлж, түүний нийлбэрийг ойролцоогоор тооцоолоход алдаа гарна Сүнэмлэхүй утга нь эхний хасагдсан нэр томъёоны модулиас хэтрэхгүй байна:

Функциональ цуврал. Эрчим хүчний цуврал.
Цувралын ойртох хүрээ.

Сэдвийг амжилттай эзэмшихийн тулд энгийн тооны цувааг сайн ойлгох хэрэгтэй.

Цуврал ойртох шинж тэмдэг. Д'Аламберын тэмдэг. Кошигийн шинж тэмдэг

D'Alembert's convergence test

Радикал Кошигийн шинж тэмдэг

Интеграл Коши тест

Үндсэн тодорхойлолт ба ойлголтууд.

Нийлмэл тооны цувааны шинж чанарууд.

Цуврал нийлэх зайлшгүй нөхцөл.

Эерэг цувралын нийлэх хангалттай шинж тэмдэг.

Эерэг тооны цувааг нэгтгэх зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл.

Харьцуулах эхний, хоёр, гурав дахь шинж тэмдэг.

Д'Аламберын тэмдэг.

Радикал Кошигийн тэмдэг.

Интеграл Коши тест.

Цуврал ойртох шинж тэмдэг.
Д'Аламберын тэмдэг. Кошигийн шинж тэмдэг