Урвуу дүүжин. Суурь судалгаа

DOI: 10.14529/ммph170306

ХОЁР ТЭЭВРИЙН УРУУ ДҮҮЖҮҮНИЙГ ТОГТВОРЖУУЛАХ

БА. Ряжских1, М.Е. Семенов2, А.Г. Рукавицын3, О.И. Канищев4, А.А. Дэмчук4, П.А. Мелешенко3

1 Воронеж улсын техникийн их сургууль, Воронеж, Оросын Холбооны Улс

2 Воронеж улсын Архитектур, барилгын инженерийн их сургууль, Воронеж, ОХУ-ын

3 Воронеж Улсын их сургууль, Воронеж, ОХУ

4 Агаарын цэргийн хүчний Цэргийн боловсрол, шинжлэх ухааны төв “Профессор Н.Э. Жуковский, Ю.А. Гагарин, Воронеж, ОХУ

Имэйл: [имэйлээр хамгаалагдсан]

Хоёр дугуйтай тэрэгнээс бүрдэх механик системийг тэнхлэг дээр урвуу дүүжин байрлуулсан гэж үздэг. Даалгавар бол нэг талаас механик хэрэгслийн хөдөлгөөний өгөгдсөн хуулийг хангах, нөгөө талаас дүүжингийн тогтворгүй байрлалыг тогтворжуулах санал хүсэлтийн зарчмын дагуу үүссэн ийм хяналтын үйлдлийг бий болгох явдал юм. .

Түлхүүр үг: механик систем; хоёр дугуйтай тээврийн хэрэгсэл; урвуу дүүжин; тоглох; тогтворжуулах; хяналт.

Оршил

Тогтворгүй техникийн системийг хянах боломжийг онолын хувьд удаан хугацааны туршид авч үзсэн боловч ийм хяналтын практик ач холбогдол нь зөвхөн дараахь байдлаар илэрсэн. Сүүлийн үед. Тохиромжтой удирдлагатай тогтворгүй хяналтын объектууд нь хэд хэдэн "ашигтай" чанаруудтай болох нь тогтоогдсон. Ийм объектуудын жишээ юм сансрын хөлөгхөөрөх шатанд, хайлуулах реактор болон бусад олон. Үүний зэрэгцээ бүтэлгүйтлийн үед автомат системхяналт, тогтворгүй объект нь ихээхэн аюул учруулж, хүн болон аль алинд нь аюул учруулж болно орчин. дээр осол гарсан Чернобылийн атомын цахилгаан станц. Хяналтын системүүд илүү найдвартай болохын хэрээр хяналт байхгүй үед техникийн тогтворгүй объектуудыг улам бүр өргөн хүрээг хамарч байна. Хамгийн энгийн жишээнүүдтогтворгүй объектууд нь сонгодог урвуу дүүжин юм. Нэг талаас, түүнийг тогтворжуулах асуудал нь харьцангуй энгийн бөгөөд ойлгомжтой, нөгөө талаас хоёр хөлт амьтдын загвар, түүнчлэн хоёр тулгуур дээр хөдөлдөг антропоморф төхөөрөмж (робот, кибер гэх мэт) бүтээхэд практик хэрэглээг олж чадна. . IN өнгөрсөн жилХөдөлгөөнт хоёр дугуйтай тээврийн хэрэгсэлтэй холбоотой урвуу дүүжин тогтворжуулах асуудалд зориулагдсан бүтээлүүд гарч ирэв. Эдгээр судалгаанууд нь авсаархан хийцтэй, ашиглахад хялбар, маневрлах чадвар өндөр, түлш бага зарцуулдаг тул тээвэрлэлт, хайгуул зэрэг олон салбарт ашиглах боломжтой. Гэсэн хэдий ч хэлэлцэж буй асуудал эцсийн шийдлээс хол байна. Олон уламжлалт техникийн төхөөрөмжүүд нь тогтвортой ба тогтворгүй байдал, үйл ажиллагааны горимтой байдаг нь мэдэгдэж байна. Энгийн жишээ бол жолоочийн хоёр талд байрладаг хоёр дугуйтай, өөрийгөө тэнцвэржүүлдэг цахилгаан скутер болох Дин Камены зохион бүтээсэн Segway юм. Скутерын хоёр дугуй зэрэгцсэн байна. Жолоочийн биеийн байрлал өөрчлөгдөхөд Segway автоматаар тэнцвэрждэг; Энэ зорилгоор индикатор тогтворжуулах системийг ашигладаг: гироскопийн болон шингэн хазайлт мэдрэгчээс дохиог хөдөлгүүр дээр ажиллаж, хөдөлгөөнийг нь хянадаг цахилгаан дохио үүсгэдэг микропроцессоруудад өгдөг. Segway-ийн дугуй бүр нь өөрийн цахилгаан мотороор хөдөлдөг бөгөөд энэ нь машины тэнцвэрт байдлын өөрчлөлтөд хариу үйлдэл үзүүлдэг. Морьчны бие урагшаа хазайхад сегвей урагшаа эргэлдэж эхэлдэг бол унаачны биеийн хазайлтын өнцөг нэмэгдэж, сегвэйний хурд нэмэгддэг. Биеийг хойшоо хазайсан үед өөрийгөө

kat хурдыг удаашруулж, зогсох эсвэл урвуу эргэлддэг. Эхний загварт такси барих нь эргэдэг бариулын тусламжтайгаар, шинэ загварт - баганыг зүүн, баруун тийш эргүүлэх замаар явагддаг. Тербелмт механик системийг удирдах асуудал нь онолын хувьд ихээхэн сонирхол татаж, практик ач холбогдолтой юм.

Механик системүүдийн үйл ажиллагааны явцад эд ангиудын хөгшрөлт, элэгдлээс шалтгаалж гацах, зогсолт үүсэх нь зайлшгүй тул ийм системийн динамикийг тодорхойлохын тулд гистерезисийн нөлөөллийг харгалзан үзэх шаардлагатай байдаг. Математик загваруудСонгодог үзэл баримтлалын дагуу ийм шугаман бус байдлыг оператор болгон бууруулж, тэдгээр нь тохирох функцын орон зайн трансформатор гэж тооцогддог. Ийм хөрвүүлэгчдийн динамикийг "оролтын төлөв" ба "төрийн гаралт" харьцаагаар тодорхойлдог.

Асуудлын томъёолол

Энэ нийтлэлд бид хоёр дугуйтай тэргэнцэрээс бүрдэх механик системийг авч үзэх бөгөөд түүний тэнхлэг дээр урвуу дүүжин байрладаг. Даалгавар бол нэг талаас механик хэрэгслийн хөдөлгөөний өгөгдсөн хуулийг хангах, нөгөө талаас дүүжингийн тогтворгүй байрлалыг тогтворжуулах ийм хяналтын үйлдлийг бий болгох явдал юм. Энэ тохиолдолд судалж буй системийн хяналтын гогцоон дахь гистерезисийн шинж чанарыг харгалзан үзнэ. Судалгаанд хамрагдсан элементүүдийн график дүрслэлийг доор харуулав механик систем- хоёр дугуйтай тээврийн хэрэгсэлтүүнд залгагдсан урвуу дүүжинтэй.

Цагаан будаа. 1. Механик төхөөрөмжийн авч үзсэн үндсэн бүтцийн элементүүд

энд / 1 / I feili / Fr I

" 1 " \ 1 \ 1 i R J

Хүний нөөц! / / / / /1 / / /

Цагаан будаа. 2. Моментийн удирдлагатай механик төхөөрөмжийн зүүн ба баруун дугуй

Харгалзан үзэж буй системийг тодорхойлсон параметрүүд ба хувьсагчид: j - тээврийн хэрэгслийн эргэлтийн өнцөг; D нь тэнхлэгийн төвийн дагуух хоёр дугуйны хоорондох зай; R нь дугуйны радиус; Jj - инерцийн момент; Tw нь зүүн ба баруун дугуйны эргэлтийн моментуудын зөрүү; v-

тээврийн хэрэгслийн уртааш хурд; c - савлуурын босоо байрлалаас хазайх өнцөг; m нь урвуу дүүжингийн масс; l нь биеийн хүндийн төвийн хоорондох зай ба

дугуй тэнхлэг; Ti - зүүн ба баруун дугуйны эргэлтийн нийлбэр; x - уртааш хурдны чиглэлд тээврийн хэрэгслийн хөдөлгөөн; M нь явах эд ангийн масс; M* - дугуйны масс; Мөн - эсрэг талын шийдэл.

Системийн динамик

Системийн динамикийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

n = - + - Tn, W in á WR n

= - - мл C0S in Tn,

Энд T* = Tb - TJ; Tp \u003d Tb + Tch; Mx \u003d M + m + 2 (M * + ^ *); 1v \u003d t / 2 + 1C; 0. \u003d Mx1v-t2 / 2 co2 v;

<Р* = Рл С)Л = ^ С № = ^ О. (4)

Системийн параметрүүдийн өөрчлөлтийн динамикийг дүрсэлсэн загварыг бие даасан хоёр дэд системээр төлөөлж болно. Эхний дэд систем нь нэг тэгшитгэлээс бүрдэнэ - p-дэд систем,

тээврийн хэрэгслийн өнцгийн хөдөлгөөнийг тодорхойлох:

(5) тэгшитгэлийг хоёр тэгшитгэлийн систем болгон дахин бичиж болно.

Энд e1 \u003d P-Py, e2 \u003d (P-(Ra.

Тээврийн хэрэгслийн радиаль хөдөлгөөн, түүнчлэн түүн дээр суурилуулсан дүүжингийн хэлбэлзлийг дүрсэлсэн хоёр дахь дэд систем нь (y, v) - дэд систем гэсэн хоёр тэгшитгэлээс бүрдэнэ.

U =-[ Jqml in2 sin in - m2l2 g sin in cos in] + Jq Tu W in S J WR u

-д =- - мл С ° * ТВ W WR-д

Систем (7) нь эхний эрэмбийн тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр тохиромжтой.

¿4 = TG" [ Jqml(qd + e6)2 sin(e5 + qd) - m¿l2g sin(e5 + qd) cos(e5 + qd)] + TShT v- Xd,

¿6 =~^- ^^^ +c)

Энд W0 = MxJq- П121 2cos2(qd + e5), e3 = X - Xd , ¿4 = v - vd , ¿5 =q-qd, ¿6 =q-qd

Санал хүсэлтийн зарчмаар хянагдах дэд системийг (6) авч үзье. Үүнийг хийхийн тулд бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлж, системийн фазын орон зайд шилжих гадаргууг ^ = 0 гэж тодорхойлно.

5 = дотор! + с1е1, (9)

Энд c нь эерэг параметр. Энэ нь тодорхойлолтоос шууд гардаг:

■Би \u003d e + c1 e1 -уйлах + c1 e1. (10)

Эргэлтийн хөдөлгөөнийг тогтворжуулахын тулд бид хяналтын мөчийг дараах байдлаар тодорхойлно.

T# P - ^ v1 - -MgP(51) - k2 (11)

Энд эерэгээр тодорхойлсон параметрүүд байна.

Үүний нэгэн адил бид хоёр дахь дэд системийн (8) удирдлагыг бий болгох бөгөөд үүнийг санал хүсэлтийн зарчмын дагуу хянах болно. Үүнийг хийхийн тулд бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлж, системийн фазын орон зайд шилжих гадаргууг ■2 = 0 гэж тодорхойлно.

■2 = vz + S2vz, (12)

Энд c2 нь эерэг параметр, тэгвэл

1 . 2 2 2

■2 \u003d e3 + c2 e3 \u003d (s + b6) ^5 + ve) - m 1 § ^5 + s1)C08 (e5 + ba)] +

7^T - + c2 e

Радиаль хөдөлгөөнийг тогтворжуулахын тулд бид хяналтын мөчийг тодорхойлно.

tt "2/2 ^ k T \u003d - Km / (wi + eb) r ^ m (eb + wi) + n ^ + wi) +kA ^],(14)

Энд k3, k4 эерэг өгөгдсөн параметрүүд.

Системийн хоёр дэд системийг нэгэн зэрэг хянахын тулд бид нэмэлт хяналтын үйлдлийг нэвтрүүлж байна.

\u003d § Xapv - [va + c3 (v-vy) - k588n (^3) - kb 53], (15)

Энд § нь чөлөөт хурдатгал юм

уналт; c3, k5, kb - эерэг үзүүлэлтүүд; 53 - сэлгэн залгах гадаргуу, харьцаагаар тодорхойлогддог:

53 = e6 + c3e5.

Хоёр дэд системийг тогтворжуулах үндсэн боломжуудаас бүрдэх ажлын үндсэн үр дүнг тэнцвэрийн тэг байрлалын ойролцоох хяналтын үйл ажиллагааны талаархи таамаглалын дагуу томъёолъё.

Теорем 1. Удирдлагын үйлдэлтэй (11) систем (6) нь туйлын асимптотын хувьд тогтвортой байна:

Nsh || e11|® 0,

Nsh || e2 ||® 0. t®¥u 2

Баталгаа: бид Ляпуновын функцийг тодорхойлно

Энд a = Dj 2 RJp.

Мэдээжийн хэрэг, функц V > 0, тэгвэл

V = W1 Si = Si. (18)

V-д (14) орлуулснаар бид олж авна

V = -(£ Sgn(S1) + k2(S1))S1. (19)

V1 гэдэг нь ойлгомжтой

Теорем 2. Удирдлагын үйлдэлтэй (14) дэд системийг (8) авч үзье. Хийсэн таамаглалаар энэ систем нь туйлын асимптотын хувьд тогтвортой, өөрөөр хэлбэл ямар ч анхны нөхцөлд дараах харилцааг хангана.

lim ||e3 ||® 0,

t®¥ (20) lim 11 e41|® o.

Баталгаа: бид (8) системийн хувьд Ляпуновын функцийг хамаарлыг ашиглан тодорхойлно

хаана b =Wo R!Je .

Мэдээжийн хэрэг, функц V2 > 0, мөн

V2 = M S2 = S2, учир нь хяналтын үйлдэлтэй холбоотой үхсэн бүсүүд байдаг. авчиръя Товч тодорхойлолтирээдүйд ашиглагдах гистерезис хувиргагчийн тухай - операторын тайлбар дээр тулгуурлан backlash. Хөрвүүлэгчийн гаралт - монотон оролтууд дахь сөрөг урвалыг дараахь хамаарлаар тодорхойлно.

x(t0) нь x(t0) - h байх t-ийн хувьд< u(t) < x(t0), x(t) = \u(t) при тех t, при которых u(t) >x(t0), (24)

u(t) + h нь u(t) байх t< x(t0) - h,

үүнийг Зураг дээр үзүүлэв. 3.

Хагас бүлгийн таних тэмдгийн тусламжтайгаар операторын үйлдлийг бүх хэсэгчилсэн монотон оролтуудад өргөтгөсөн болно.

Г x(t) = Г [ Г x(t1), h]x(t) (25)

мөн тусгай хязгаар барилгын тусламжтайгаар бүх тасралтгүй. Энэ операторын гаралт нь ялгах боломжгүй тул Bowk-Ven загвараар эргэлдэх ойролцоо утгыг доор ашигласан болно. Энэхүү алдартай хагас физик загварыг гистерезисийн нөлөөг феноменологийн тодорхойлолтод өргөн ашигладаг. Bowk-Venna загварын алдартай байдал

Энэ нь гистерезийн мөчлөгийн янз бүрийн хэлбэрийг аналитик аргаар авах чадвараараа алдартай. Загварын албан ёсны тайлбарыг дараахь тэгшитгэлийн систем болгон бууруулсан болно.

Fbw (x, ^ = ax() + (1 -a)Dkz(t), = D"1(AX -p\x \\z \n-1 z-yx | z |n). (26)

Fbw(x,t)-ийг гистерезис хувиргагчийн гаралт, x(t)-ийг оролт гэж үзнэ. Энд n > 1,

D > 0 k > 0 ба 0<а< 1.

Цагаан будаа. 3. Оролтын гаралтын зөрүүтэй захидал харилцааны динамик

Удирдлагын үйлдэл нь гистерезис хөрвүүлэгчийн оролтод, гаралт нь систем дээрх хяналтын үйлдэл болох (6) ба (8) системийн ерөнхий дүгнэлтийг авч үзье.

Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t), z = D_1(Ax-b\x || z \n-1 z - gx | z\n).

¿4 = W-J mlQd + eb)2 sin(e5 + q) - m2l2g sin(e5 + ed) cos(e5 + 0d)] +

¿b = W -Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t),

^ z = D_1(A x-b\x\\z\n-1 z-gx \ z\n).

Өмнөх нэгэн адил авч үзэж буй системд гол асуудал нь тогтворжуулах, өөрөөр хэлбэл түүний фазын хувьсагчдын асимптотик шинж чанар байв. Доорх нь системийн ижил физик параметрүүдийн графикийг буцааж өгөх ба сөрөг нөлөөгүй. Энэ системийг тоон туршилтаар судалсан. Энэ асуудлыг Wolfram Mathematica програмчлалын орчинд шийдсэн.

Тогтмол ба анхны нөхцлийн утгыг доор өгөв.

м = 3; M=5; mw = 1; D=1.5; R = 0.25; l = 0.2; Jw = 1.5; Jc = 5;

Jv = 1.5; j(0) = 0, x(0) = 0; Q(0) = 0.2; y(0) = [ j(0) x(0) Q(0)f = Мөн бардамнал нь хил хязгаар гэж үгүй! Би аавыг дагасан. Тэгээд тэр Сперанскийтэй холбогдож, зарим төслийг бичиж байна. Бүсгүйчүүдэд хэрхэн хандаж байгааг хараарай! Тэр түүнтэй ярьж байна, тэр эргэж харав” гэж тэр түүн рүү заалаа. "Хэрвээ тэр эдгээр бүсгүйчүүдэд хийсэн шиг надад хандвал би түүнийг зодох болно.

Гэнэт бүх зүйл хөдөлж, цугласан хүмүүс ярьж, хөдөлж, дахин салж, хоёр хуваагдсан эгнээний хооронд хөгжим тоглоход эзэн хаан орж ирэв. Түүний ард эзэн, эзэгтэй хоёр байв. Эзэн хаан хурлын энэ эхний минутаас аль болох хурдан салахыг хичээсэн мэт баруун, зүүн тийш бөхийж, хурдан алхав. Хөгжимчид тухайн үед зохиосон үгээрээ алдартай Польш хэлээр тогложээ. Эдгээр үгс эхэлсэн: "Александр, Элизабет, чи биднийг баярлуулж байна ..." Эзэн хаан зочны өрөөнд орж, олон түмэн хаалга руу гүйв; царай нь өөрчлөгдсөн хэд хэдэн царай нааш цааш яарав. Цугласан хүмүүс эзэн хааны гарч ирсэн зочны өрөөний хаалганаас дахин ухарч, гэрийн эзэгтэйтэй ярилцав. Бухимдсан харцтай нэгэн залуу бүсгүйчүүдийг хажуу тийшээ явахыг гуйж байв. Дэлхийн бүх нөхцөл байдлыг бүрэн мартаж, жорлонгоо сүйтгэсэн царайтай зарим бүсгүйчүүд урагшаа гүйцгээв. Эрэгтэйчүүд бүсгүйчүүдэд ойртож, Польш хосоороо жагсаж эхлэв.
Бүх зүйл салж, эзэн хаан инээмсэглэн, гэрийн эзэгтэйн гараас хөтлөн зочны өрөөний хаалганаас гарав. Түүний араас эзэн М.А.Нарышкина, дараа нь элч нар, сайд нар, янз бүрийн генералууд Перонская тасралтгүй залгав. Хатагтай нарын талаас илүү хувь нь морин цэрэгтэй байсан бөгөөд Полская руу алхаж эсвэл явахаар бэлтгэж байв. Наташа ээж, Соня хоёрынхоо дунд хананд шахагдаж, Полскаяд аваачаагүй бяцхан бүсгүйчүүдийн дунд үлдэж байгаагаа мэдэрсэн. Тэр нарийхан гараа доошлуулан зогсоод, хэмжээлшгүй дээшилсэн, бага зэрэг тодорхойлогдсон цээжээрээ амьсгалаа даран, гялалзсан, айсан нүдээрээ, хамгийн их баяр баясгалан, хамгийн их уй гашууг хүлээхэд бэлэн байгаагаа илэрхийлэн урагшаа харав. Тэр Перонскаягийн онцолсон тусгаар тогтносон болон бүх чухал хүмүүсийн аль алиныг нь ч сонирхсонгүй - тэр нэг бодолтой байсан: "Нээрээ хэн ч над дээр ирэхгүй гэж үү, би үнэхээр эхний хоёрын хооронд бүжиглэхгүй гэж үү? Энэ бүх эрчүүд намайг хараагүй юм шиг байгаа ч над руу харвал: Аа! тэр биш болохоор харах юм алга. Үгүй ээ, байж болохгүй!" тэр бодсон. "Тэд намайг хэрхэн бүжиглэхийг хүсч байгааг, хэр сайн бүжиглэхийг, мөн надтай бүжиглэх нь тэдэнд ямар хөгжилтэй байхыг мэддэг байх ёстой."
Нэлээн удаан үргэлжилсэн польш хэлний чимээ аль хэдийн гунигтай сонсогдож эхэлсэн нь Наташийн чихэнд дурсамж болон үлджээ. Тэр уйлахыг хүссэн. Перонская тэднээс холдов. Гүн танхимын нөгөө үзүүрт байсан бөгөөд гүнж Соня бид хоёр энэ харь гаригийн олны дунд ойд байгаа мэт ганцаараа зогсож, хэнд ч сонирхолгүй, шаардлагагүй байв. Ханхүү Андрей тэдний хажуугаар нэгэн хатагтайн хамт өнгөрч, тэднийг танихгүй бололтой. Царайлаг Анатоль инээмсэглэн, удирдаж байсан хатагтайдаа ямар нэгэн зүйл хэлээд Наташагийн царайг хана руу харж буй харцаар харав. Борис хоёр ч удаа тэдний хажуугаар өнгөрч, тэр болгондоо эргэж харав. Бүжиглэхгүй байсан Берг эхнэрийнхээ хамт тэдэн рүү дөхөв.
Бөмбөгний үеэр гэр бүлийн ойртож байгаа нь Наташаг доромжилсон мэт санагдаж, бөмбөг тоглохоос өөр гэр бүлийн яриа хийх газар байхгүй мэт санагдав. Тэр ногоон даашинзныхаа талаар өөрт нь ямар нэгэн зүйл хэлж байсан Вера руу огт сонссонгүй, харсан ч үгүй.
Эцэст нь, эзэн хаан сүүлчийн хатагтайнхаа дэргэд зогсов (тэр гурвын хамт бүжиглэж байв), хөгжим зогсов; санаа зовсон адъютант Ростовынхон руу гүйж очоод хана налан зогсож байсан ч өөр газар нүүхийг хүсэхэд найрал дуунаас вальсын тодорхой, болгоомжтой, сэтгэл татам хэмжүүр сонсогдов. Эзэн хаан танхим руу инээмсэглэн харав. Нэг минут өнгөрч, хэн ч эхлээгүй. Адьютантын менежер Гүнж Безухова руу ойртож, түүнийг урив. Тэр инээмсэглэн гараа өргөж, түүн рүү харалгүйгээр туслахын мөрөн дээр тавив. Удирдагч менежер, өөрийн гар урлалын мастер, өөртөө итгэлтэй, тайван, хэмжүүртэйгээр хатагтайгаа чанга тэвэрч, түүнтэй хамт гулсалтын замаар эхлээд тойргийн ирмэг, танхимын буланд гарч, зүүн гараас нь барьж авав. Түүнийг эргүүлж, хөгжмийн улам хурдан эгшиглэхийн хэрээр туслахын хурдан бөгөөд уян хатан хөлийн товшилтыг л хэмжиж, гурван цохилт тутамд түүний хатагтайн хийсэх хилэн даашинз гялалзах шиг болов. дээш. Наташа тэдэн рүү хараад вальсын эхний үеийг бүжиглэж байсан хүн биш гэж уйлахад бэлэн байв.
Хунтайж Андрей хурандаагийн цагаан (морин цэргийн хувьд) дүрэмт хувцастай, оймс, гутал өмссөн, хөгжилтэй, хөгжилтэй, Ростовуудаас холгүй тойргийн тэргүүн эгнээнд зогсож байв. Барон Фиргоф түүнтэй маргааш болох Төрийн зөвлөлийн анхны хуралдааны талаар ярилцав. Ханхүү Андрей Сперанскийн ойр дотны хүний ​​хувьд, хууль тогтоох комиссын ажилд оролцож байхдаа маргааш болох хурлын талаар зөв мэдээлэл өгч, янз бүрийн цуу яриа тарж байсан. Гэвч тэрээр Фиргофын хэлсэн үгийг сонссонгүй, эхлээд эзэн хаан руу, дараа нь тойрогт орж зүрхэлсэнгүй бүжиглэх гэж буй ноёд руу харав.

Цанаар гулгах техникийг тайлбарлах өөр нэг ер бусын арга байсан бөгөөд энэ нь цаначны биеийн хэсгүүдэд тохирох нугасны систем дэх хөдөлгөөнтэй холбоогүй юм. Энэ нь "урвуу дүүжин" эсвэл "Уитни дүүжин" гэж нэрлэгддэг урвуу дүүжин загвар дээр суурилдаг.
Энэ бол онолын механикийн маш сонирхолтой объект бөгөөд анх Уитнигийн асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон: тэргэнцэр дээр урвуу материалтай дүүжин суурилуулсан, тэрэг шулуун шугамаар хөдөлдөг гэж бодъё, гэхдээ жигд биш. Хэрэв хурдны хамаарлыг 2-р деривативын тасралтгүйгээр урьдчилан мэдэж байвал тэргэнцэр дээр унахгүй байхаар дүүжингийн анхны байрлалыг олох шаардлагатай.

Уитнигийн асуудал математикчдын сонирхлыг татсан хэвээр байгаа боловч урвуу асуудал нь илүү чухал юм: тэргэнцрийн хөдөлгөөнийг динамик хянах, савлуур нь өгөгдсөн анхны байрлалыг хадгалах эсвэл түүний эргэн тойронд хэлбэлздэг. Энэ даалгавар нь робот техник, навигаци, үйлдвэрлэлийн автоматжуулалт, сансрын хөлгийн чиг баримжаа олгоход чухал ач холбогдолтой бөгөөд ердийн алхах үед ч хэрэгждэг.
Гэхдээ асуудлыг ерөнхийд нь хэлж болно: 2 градусын эрх чөлөө бүхий дүүжин рүү, түүний тулгуур нь дурын, муруй шугамын дагуу, хувьсах хурдтай, гэхдээ 2 деривативын тасралтгүй байдлын нөхцөлд хөдөлдөг. Ерөнхий урвуу дүүжингийн хамгийн энгийн жишээ: алган дээрээ урт саваа тавиад, гараа дур зоргоороо хөдөлгөж, тогтворгүй байрлалд байлгацгаая.
Хэрэв бид цааш нь дүгнэвэл хувьсах урттай савлуур хийж болно: энэ тохиолдолд түүний байгалийн давтамж өөрчлөгдөж, даалгавар нь илүү хэцүү болно. Энэ бол механик системийн тогтворгүй тэнцвэрийн ерөнхий загвар, жишээ нь олс дээр байгаа хүн юм. Гэхдээ энэ ажлыг өөрөөр хийж болно: дүүжингийн налуу, уртыг идэвхтэй өөрчлөх замаар өгөгдсөн муруй шугамын дагуу тулгуурын жигд бус хөдөлгөөнөөр дүүжингийн тэнцвэрийг хангах. Бид харж байна: энэ томъёололд асуудал нь зам дагуух цаначдын хөдөлгөөнтэй бүрэн нийцэж байна!
1973 онд Польшийн математикч Януш Моравский урвуу дүүжин ашиглан цаначны механикийг дүрсэлсэн боловч энэ ажил 40 жилийн турш мартагдсан байв.

Ж.Моравскийн загвар нь төгс биш байсан: тэрээр 1970-аад оны эхэн үеийн цанын техникт шаардлагатай байсан дүүжин тулгуурын хажуугийн гулсалтыг тооцоогүй. Гэвч орчин үеийн өндөр түвшний тамирчдын хувьд техник нь гулсахтай холбоотой байхаа больсон бөгөөд загвар нь бодит байдалтай илүү нийцдэг.
Урвуу дүүжингийн шинэ судалгаа нь цанын тоног төхөөрөмжийг судлах туршилтыг хялбарчлах, нарийн, практик асуудлыг шийдэх замаар эхэлсэн. Ихэвчлэн цаначдын хөдөлгөөнийг судлахын тулд түүний байрлалыг тогтмол засах шаардлагатай байдаг бөгөөд цана дээр ажилладаг олон хүч, цаначин өөрөө нарийн төвөгтэй тоног төхөөрөмж, туршилтын урт бэлтгэл шаарддаг.

2013 онд цанын механикийн нэрт мэргэжилтэн Маттиас Гилгиен хэрэв цасан гадаргуутай харьцуулахад массын төвийн траекторийг мэддэг бол цанын траекторийг ерөнхий урвуу дүүжин загвараар тооцоолж болно гэдгийг нотолсон. түүнчлэн буух үед ажиллаж буй бүх хүч. Үүний үр дүнд бүх нарийн төвөгтэй хэмжих төхөөрөмжийг ердийн GPS навигатороор сольж болно!
Туршилтыг дифференциал навигацийн аргын дагуу ажилладаг геодезийн навигаторын тусламжтайгаар координатыг тодорхойлох нарийвчлалтайгаар хийсэн: хэвтээ хавтгайд 1 см, босоо чиглэлд 2 см. Мөн бид геодезийн сканнер ашиглан олж авсан 3D газар нутгийн нарийвчилсан загварыг ашигласан. Одоо АНУ, Европын зарим бүс нутагт ижил төстэй нарийвчлалтай хиймэл дагуулын 3D газрын зураг байдаг бөгөөд тэдгээрийн хамрах хүрээ хурдацтай нэмэгдэж байна.

Налуу дээр байнга өөрчлөгдөж байдаг бичил рельефийг харгалзан өндрийн нарийвчлал нь 10-20 см, тэдгээр нь. навигацийн нарийвчлалаас бага хэмжээний дараалал. Удирдагчийн антенн нь цаначны дуулга дээр байсан бөгөөд CM-ийн байрлалыг Роберт Рейд өмнөх үр дүнд үндэслэн тооцоолсон бөгөөд үндэсний хэмжээний тамирчдад CM нь хүзүүний дундуур дамждаг шулуун шугамаас хол зөрөхгүй болохыг тогтоожээ. цанын хоорондох зайны дунд хэсэг. Цаначин эргэхдээ толгойгоо босоо байлгахыг хичээдэг, хүзүүний дунд хэсэг нь ойролцоогоор антенны доор байдаг. "Гадаргуу-CM" зай нь үргэлж "гадаргуу-толгой" зайны ойролцоогоор 0.45-0.5 байдаг, заримдаа CM энэ байрлалаас хазайж болох боловч гадаргуугийн дүрслэлийн нарийвчлал, байрлалыг тооцоолоход алдаа гардаг. CM нь ач холбогдолгүй, хүчтэй хазайлт нь зөвхөн тэнцвэр алдагдах, бүдүүлэг алдаатай байдаг.

Хэрэв цаначинг хувьсах урттай ерөнхий урвуу дүүжингийн загвараар дүрсэлсэн бол мэдэгдэж буй замнал ба гадаргуутай харьцуулахад CM-ийн хурдаас харахад түүний босоо байрлалаас хазайх өнцгийг тооцоолох боломжтой. дүүжин унахгүй байх. Та мөн тулгуурын замыг авч болно: цанын бэхэлгээний хоорондох зайны дунд цэгүүд. Мөн тулгууртай харьцуулахад CM-ийн байрлалаас цаначны уртааш чиглэлд төвлөрч, эргэлтийн төв хүртэлх налууг олж авах боломжтой боловч биеийн хэсгүүдийн байрлал, харьцангуй ачааллыг харгалзан үзэх боломжтой. цаныг тооцоолох боломжгүй.
GPS-ийн хэмжилттэй зэрэгцэн удирдлагын хэсэгт уламжлалт тоног төхөөрөмжийг суурилуулсан бөгөөд энэ нь цанын тоног төхөөрөмжийг MOCAP аргыг ашиглан нугасны системийн загварт тулгуурлан, олон жилийн турш батлагдсан багаж ашиглан биеийн хэсгүүдийн динамикийг тооцоолоход ашигладаг. аргууд. Дараа нь CM-ийн хөдөлгөөний талаархи цуглуулсан өгөгдлийг харьцуулсан: тэдгээр нь маш ойрхон байсан, зөвхөн эргэлтийн хоорондох хэсгүүдэд хүчтэй зөрүүтэй байдаг бөгөөд энэ нь буулгах явцад дүүжингийн урт огцом өөрчлөгддөг.

Гэхдээ даалгавар нь цаначны байрлалаас үл хамааран CM хөдөлгөөний шинэ загварыг бий болгоход хүрээгүй: энэ нь хэнд ч хэрэггүй! Практик зорилго: урвуу дүүжин загвар дээр үндэслэн цаначин, цана дээр ажилладаг гадны хүчийг олж авах: гадаргуугийн урвал, цас, аэродинамик чирэгдэл. Доктор М.Гильгиен болон түүний хамтрагчид бүх хүчний тэгшитгэлийг гаргаж, биеийн хэсгүүдийн динамикаас тооцоолсон утгатай харьцуулав. Жишээ болгон авсан гадаргуугийн урвалын графикт: цэнхэр муруй нь урвуу дүүжин загвараас тооцоолсон хүчийг, улаан муруй нь нугасны системийн загвараас ишлэл болгон харуулав.

Швейцарийн эрдэмтэн Рольф Адельсбергер үүнтэй төстэй туршилт хийсэн ч буух явцад цанын хэв гажилтыг хэмжиж, цан дээр наасан мэдрэгчийг ашиглажээ. Хэмжилтийн үр дүн нь M.Gilgien-ийн аргын дагуу GPS-ийн өгөгдөл дээр үндэслэн тооцсон хүчтэй тохирч байгаа нь аргын зөв болохыг баталж байна.

Словенийн математикч Боян Немек мөн Словенийн багтай урвуу дүүжингийн загварыг судалсан боловч CM-ийн байрлалыг илүү ойртуулахын тулд антенныг цаначны хүзүүнд байрлуулжээ. Тэрээр орон зайн налуу өнцгийн тэгшитгэлийг олж авсан: одоогийн хурдатгал ба дүүжингийн уртаас хамаарна.

Бид харж байна: тэгшитгэл нь цанын сайтууд дээр байнга яригддаг энгийн өнцгийн томъёоноос хамаагүй илүү төвөгтэй юм! Гэхдээ энэ тэгшитгэлийг туршилтын өгөгдлийн үндсэн дээр олж авсан бөгөөд буух үед тохиолддог бодит үйл явцтай илүү нарийвчлалтай тохирч байна. Мөн CM-ийн байрлалыг үнэн зөв тодорхойлохын тулд залруулга хийсэн боловч энэ нь тийм ч том биш бөгөөд М.Гильгиений өмнө нь санал болгосны дагуу гадаргуугийн хэмжилтийн нарийвчлалд нийцэж байгаа юм.

Профессор Б.Немец мөн ачаа буулгах хэсгүүдэд хүчтэй зөрүүтэй байгааг анзаарч, алдаа нь дүүжингийн уртын өөрчлөлтийн шугаман хуультай холбоотой гэж үзжээ. Хэрэв бид уртааш уян хатан чанарыг нэвтрүүлбэл урт нь шугаман бус байдлаар өөрчлөгдөж, алдаа нь огцом буурах болно. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн савлуур нь шинэ эрх чөлөөг хүлээн авах болно: урт нь гармоник хэлбэлзэлтэй байх хандлагатай байх болно, энэ нь загварыг бүрэн дахин боловсруулах шаардлагатай, Б.Немец үүнийг дараах ажлуудад хийхээр төлөвлөж байна. Гол асуудал бол уртааш чичиргээний байгалийн давтамжаас хамаардаг уян хатан байдлын коэффициентийг нэвтрүүлэх явдал юм, учир нь коэффициентийн утга тогтмол биш байж магадгүй юм.

Энэ тохиолдолд шинэ эффект авах боломжтой: хэрэв дүүжин тулгуур нь босоо чиглэлд өндөр давтамжтай, бага далайцтай чичирдэг бол савлуурыг босоо тэнцвэрт байдалд байлгах нэмэлт хүч үүсдэг: энэ үзэгдлийг П. Капица, хамгийн бага хэлбэлзлийн давтамж, тэдгээрийн хязгаарын далайцыг тодорхойлсон. Уян гадаргуу дээр нэг удаагийн цохилтын хариуд уналттай хэлбэлзэл үүсдэг тул уян налархай тулгуур дээр суурилуулсан урвуу дүүжин нь тэнцвэрт байдалд байх болно, гэхдээ нөлөөллийн дараа маш богино хугацаанд: хэлбэлзлийг багасгах хүртэл. Цан дээрх ачааллын огцом өөрчлөлттэй ижил төстэй үзэгдэл боломжтой боловч тэдгээрийн уртааш уян хатан байдал нь гулзайлтын хэмжээнээс хамаардаг тул даалгавар нь улам бүр төвөгтэй болдог.

Гэхдээ хүчийг тооцоолох нь эцсийн зорилго биш байв: Доктор М.Гильгиен цаначны өвдөг дээр ачаалал авсан бөгөөд энэ нь үе мөчний гэмтэлд хүргэж болзошгүй юм. Түүний арга нь хяналтын дамжуулалтын үеэр зөвхөн GPS-ийн мэдээлэлд үндэслэн маршрутын аюулгүй байдлын үнэлгээг авах боломжтой болгодог.
Тэнцвэрийн нөхцөл, үйл ажиллагааны хурдатгал, хүч зэрэг шууд ажиглалтаас нуугдаж байгаа цаначны динамикийг тасралтгүй харуулдаг дасгалжуулагчдад зориулсан хэрэгслийг бий болгох өөр нэг чиглэл юм. Энэ арга нь нарийн төвөгтэй, үнэтэй тоног төхөөрөмж шаарддаггүй, учир нь маш үнэтэй GPS хүлээн авагч ч MOCAP систем буюу инерцийн мэдрэгчээс хэд дахин хямд бөгөөд ашиглахад хамаагүй хялбар байдаг.

Бид харж байна: цанаар гулгах техникийг цанаар гулгах техникийг цаначны хөдөлгөөнөөс хамааралгүйгээр дүрслэх хуучин санаа нь шинэ технологи гарч ирсэн ч мартагдахгүй хэвээр байна. Хөөрхөн бөмбөрцөг морьдтойгоо эртхэн салах ёс гүйцэтгэсэн байх.

Амжилт хүсье, тэнцвэр!

Тэргэнцэр дээрх урвуу дүүжингийн бүдүүвч дүрслэл. Саваа нь массгүй. Бид тэрэгний масс ба савааны төгсгөлд байгаа бөмбөгний массыг тэмдэглэнэ МТэгээд м. Саваа нь урттай л.

Урвуутай дүүжин нь хатуу савааны төгсгөлд бэхлэгдсэн, тулгуур цэгээсээ дээш массын төвтэй дүүжин юм. Ихэнхдээ тулгуур нь хэвтээ чиглэлд хөдөлж чаддаг тэргэнцэр дээр бэхлэгддэг. Хэвийн дүүжин доошоо тогтмол унждаг бол урвуу дүүжин нь угаасаа тогтворгүй бөгөөд эргэх цэгт эргүүлэх момент өгөх эсвэл эргэх цэгийг хэвтээ чиглэлд шилжүүлэх замаар босоо байрлалд байхын тулд байнга тэнцвэртэй байх ёстой. Хамгийн энгийн жишээ бол хурууныхаа төгсгөлд харандааг тэнцвэржүүлэх явдал юм.

Хяналт

Урвуутай дүүжин нь динамик ба хяналтын онолын сонгодог асуудал бөгөөд хяналтын алгоритмуудыг (PID хянагч, мэдрэлийн сүлжээ, бүдэг бадаг удирдлага гэх мэт) турших жишиг болгон өргөн ашигладаг.

Пуужингийн хөдөлгүүр нь хүндийн төвийн доор байрладаг тул тогтворгүй байдал үүсгэдэг тул урвуу дүүжинтэй холбоотой асуудал нь пуужингийн чиглүүлэгчтэй холбоотой юм. Үүнтэй ижил асуудал, жишээлбэл, segway, өөрийгөө тэнцвэржүүлэх тээврийн хэрэгсэлд шийдэгддэг.

Урвуу савлуурыг тогтворжуулах өөр нэг арга бол суурийг босоо хавтгайд хурдан эргүүлэх явдал юм. Энэ тохиолдолд та санал хүсэлтгүйгээр хийж болно. Хэрэв хэлбэлзэл хангалттай хүчтэй байвал (хурдатгал ба далайцын хувьд) урвуу дүүжин тогтворжиж болно. Хэрэв хөдөлж буй цэг нь энгийн гармоник хэлбэлзлийн дагуу хэлбэлздэг бол дүүжингийн хөдөлгөөнийг Матью функцээр тодорхойлно.

Хөдөлгөөний тэгшитгэл

Тогтмол тулгууртай

Хөдөлгөөний тэгшитгэл нь шулуун дүүжинтэй төстэй бөгөөд зөвхөн өнцгийн байрлалын тэмдгийг тогтворгүй тэнцвэрийн босоо байрлалаас хэмждэг.

θ ¨ − g ℓ нүгэл ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\ddot (\theta))-(g \over \ell )\sin \theta =0)

Орчуулахдаа өнцгийн хурдатгалын ижил шинж тэмдэгтэй байх болно.

θ ¨ = g ℓ нүгэл ⁡ θ (\displaystyle (\ddot (\theta))=(g \over \ell )\sin \theta )

Тиймээс урвуу дүүжин босоо тогтворгүй тэнцвэрт байдлаас эсрэг чиглэлд хурдасч, хурдатгал нь урттай урвуу пропорциональ байх болно. Өндөр савлуур нь богинооос илүү удаан унадаг.

Троллейбус дээрх дүүжин

Хөдөлгөөний тэгшитгэлийг Лагранжийн тэгшитгэлийг ашиглан гаргаж болно. Энэ бол дээрх зураг, хаана байна θ (t) (\displaystyle \theta (t))дүүжин өнцгийн урт l (\displaystyle l)таталцлын болон гадаад хүчний босоо болон үйлчлэгч хүчтэй холбоотой F (\displaystyle F)чиглэлд x (\displaystyle x). Тодорхойлъё x (t) (\displaystyle x(t))тэрэгний байрлал. Лагранжян L = T − V (\displaystyle L=T-V)системүүд:

L = 1 2 M v 1 2 + 1 2 м v 2 2 − m g ℓ cos ⁡ θ (\displaystyle L=(\frac (1)(2))Mv_(1)^(2)+(\frac (1) (2))mv_(2)^(2)-mg\ell \cos \theta )

тэрэгний хурд хаана байна, материалын цэгийн хурд m (\displaystyle m). v 1 (\displaystyle v_(1))Тэгээд v 2 (\displaystyle v_(2))дамжуулан илэрхийлж болно x (\displaystyle x)Тэгээд θ (\displaystyle \theta)хурдыг байрлалын анхны дериватив болгон бичих замаар.

v 1 2 = x ˙ 2 (\displaystyle v_(1)^(2)=(\цэг (x))^(2)) v 2 2 = (d d t (x − ℓ sin ⁡ θ)) 2 + (d d t (ℓ cos ⁡ θ)) 2 (\displaystyle v_(2)^(2)=\left((\frac (d)(dt) ))(\left(x-\ell \sin \theta \right))\right)^(2)+\left((\frac (d)(dt))(\left(\ell \cos \theta \) баруун)))\баруун)^(2))

Илэрхийллийг хялбаршуулах v 2 (\displaystyle v_(2))хүргэдэг:

v 2 2 = x ˙ 2 − 2 ℓ x ˙ θ ˙ cos ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 (\displaystyle v_(2)^(2)=(\цэг (x))^(2)-2\ell (\цэг (x))(\цэг (\тета))\cos \theta +\ell ^(2)(\цэг (\тета))^(2))

Лагранжийг одоо дараах томъёогоор тодорхойлно.

L = 1 2 (M + m) x ˙ 2 − m ℓ x ˙ θ ˙ cos ⁡ θ + 1 2 м ℓ 2 θ ˙ 2 − m g ℓ cos ⁡ θ (\displaystyle L=()(\frac (1) ))\зүүн(М+м\баруун)(\цэг (x))^(2)-m\ell (\цэг (x))(\цэг (\тета))\cos \theta +(\frac ( 1)(2))m\ell ^(2)(\цэг (\тета))^(2)-mg\ell \cos \theta )

Хөдөлгөөний тэгшитгэлүүд:

d d t ∂ L ∂ x ˙ − ∂ L ∂ x = F (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )(\mathrm (d) t))(\partial (L) \хэсэгчилсэн (\цэг (x)) )))-(\partial (L) \over \partial x)=F) d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )(\mathrm (d) t))(\хэсэг (L) \хэсэгчилсэн (\цэг (\)) тета)))-(\partial (L) \over \partial \theta )=0)

Орлуулах L (\displaystyle L)Дараа нь хялбарчлах замаар эдгээр илэрхийлэлд урвуу дүүжингийн хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн тэгшитгэлд хүргэдэг.

(M + m) x ¨ − m ℓ θ ¨ cos ⁡ θ + m ℓ θ ˙ 2 sin ⁡ θ = F (\displaystyle \left(M+m\right)(\ddot (x))-m\ell ( \ddot (\theta))\cos \theta +m\ell (\dot (\theta))^(2)\sin \theta =F) ℓ θ ¨ − g sin ⁡ θ = x ¨ cos ⁡ θ (\displaystyle \ell (\ddot (\theta))-g\sin \theta =(\ddot (x))\cos \theta )

Эдгээр тэгшитгэлүүд нь шугаман бус боловч хяналтын системийн зорилго нь савлуурыг босоо байлгах явдал тул тэгшитгэлийг шугаман болгож болно. θ ≈ 0 (\displaystyle \theta \ойролцоогоор 0).

Хэлбэлзэх суурьтай савлуур

Ийм дүүжингийн хөдөлгөөний тэгшитгэл нь массгүй хэлбэлзэх суурьтай холбоотой бөгөөд троллейбус дээрх дүүжинтэй адил аргаар олж авдаг. Материалын цэгийн байрлалыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

(− ℓ sin ⁡ θ , y + ℓ cos ⁡ θ) (\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right))

ба хурдыг байрлалын эхний деривативаар олно:

v 2 = y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 . (\ displaystyle v ^ (2) = (\ цэг (y)) ^ (2) - 2 \ ell (\ цэг (y)) (\ цэг (\ тета)) \ син \ тета + \ ell ^ (2)) (\цэг (\тета))^(2).)

Энэ системийн Лагранжийг дараах байдлаар бичиж болно.

L = 1 2 м (y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2) − m g (y + ℓ cos ⁡ θ) (\displaystyle L=(\frac (1)(2) )m\left((\цэг (y))^(2)-2\ell (\цэг (y))(\цэг (\тета))\sin \theta +\ell ^(2)(\цэг (\цэг) \theta))^(2)\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right))

Хөдөлгөөний тэгшитгэл нь дараахаас үүснэ.

d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 (\displaystyle (\mathrm (d) \over \mathrm (d) t)(\partial (L) \хэсэгчилсэн (\цэг (\тета)) -(\partial (L) \over \partial \theta )=0)