Бибиков павел витальевич институт проблем управления. Зимняя геометрическая школа

Математика

Козеренко Константин Владимирович, к.ф.-м.н., лауреат фонда «Династия», разработал курс геометрии Лобачевского для школьников и регулярно через него выводит детей на исследовательские конференции, на которых многие получают дипломы. Например, в 2009 г. Женя Алексеева получила второй диплом на IntelISEF в Америке. Ежегодно устраивает летние математические школы, в которых дети учатся шесть часов в день.

Бибиков Павел Витальевич, ученик К.В. Козеренко, решил недавно проблему в проективной геометрии, которая стояла 40 лет. Ведет семинар по учебно-исследовательским задачам. В этом году пять его учеников выступали на взрослой конференции в Астрахани, все получили дипломы и их доклады опубликованы.

Медведев Кирилл Владимирович, к.ф.-м.н., выпускник «Второй школы», лауреат фонда «Династия», ввел учебно-исследовательские работы в практику преподавания, причем такие работы делают и защищают все его ученики, внедрил в каникулы творческий лагерь для школьников Bootcamp (описание есть на сайте школы.

Физика

Рыжиков Сергей Борисович, к.ф.-м.н., выпускник «Второй школы», лауреат фонда «Династия», руководитель физического лектория в МГУ, его ученики регулярно получают дипломы на всероссийских конкурсах учебно-исследовательских работ. Автор демонстраций на фестивале науки. Автор статей по методике преподавания физики.

Информатика

Дединский Илья Рудольфович, его ученики регулярно побеждают на всероссийских конкурсах учебно-исследовательских работ по программированию, он автор статей по методике преподавания информатики, читает лекции в МИОО.

Литература

Селиванова Ирина Владимировна, создатель и главный редактор школьного литературного журнала «Голос», в котором печатаются все желающие школьники, они же участвуют в подготовке и макетировании материалов. Журнал получил второй диплом на всероссийском конкурсе школьных изданий. Все номера доступны на сайте школы.

География

Алексеев Александр Ильич, его уроки — это целое театральное действо, у него работает каждую минуту каждый ученик; его ученики постоянно получают дипломы на всероссийской олимпиаде по географии и несколько раз на международной. Его ученик разработал компьютерную программу тестирования по географии.

Перлов Леонид Евгеньевич, автор 42 публикаций методической и педагогической тематики, в том числе 10 учебных пособий, составитель олимпиад по географии, методист округа, руководитель летних экспедиций для школьников, автор методик тестирования по географии, организовал деятельность и методическое сопровождение «Школы молодого учителя».

Биология

Колмановский Илья Александрович, к.б.н., лауреат фонда «Династия», выступает по радио, пишет стати, его ученики настолько любят биологию, что иногда победители математических олимпиад поступают на биофак МГУ.

Английский

Рынская Галина Олеговна, разработала курс английского языка для математиков, проводит учебно-исследовательские конференции школьников на английском языке, ставит спектакли на английском языке. Кандидат наук, имеет два высших образования — физическое и лингвистическое. Последние 15 лет работает над проблемой интенсивного экспресс-обучения взрослых людей английскому языку. В настоящее время она работает над созданием образовательных и обучающих телевизионных и интернет-курсов английского языка в медийном холдинге «РИКОР».

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Бинарной формой степени п называется однородный многочлен от двух переменных ж, у степени п

f(x,y) = ^a i x i y n - i ,

Бинарные формы степени п образуют векторное пространство размерности п + 1. На этом пространстве линейными преобразованиями действует группа SL2.

Проблема описания SL2-op6nT бинарных форм данной степени п была поставлена Булем и Кэли в 1841 г. Дальнейшие исследования показали, что эта проблема в том или ином виде возникает в самых разных областях математики.

В связи с этим крупнейшие математики XIX XX веков пытались решить проблему классификации орбит бинарных форм. Эти попытки привели к созданию целых теорий, среди которых можно отметить классическую теорию инвариантов, алгебраическую геометрию и теорию (ги-пер)эллиптических кривых.

Тем не менее, несмотря на значительные усилия замечательных математиков (Буля, Кэли, Эйзенштейна, Вейерштрасса, Гордана, Гильберта и др.), проблема классификации SL2-op6nT бинарных форм степени п в общем случае осталась нерешенной.

Наряду с проблемой классификации бинарных форм естественно сформулировать и проблему классификации тернарных форм.

Напомним, что тернарной формой степени п называется однородный многочлен от трех переменных ж, у, z степени п

f(x,y,z) = ^2 c ^ 3 kX l y J z k .

i-\-j-\-k=n

На пространстве тернарных форм степени п линейными заменами координат действует группа SL3.

Проблема классификации тернарных форм также была поставлена в середине XIX века. Эта проблема, возможно, даже более интересна, нежели

проблема классификации бинарных форм, из-за следующей геометрической интерпретации.

Каждой неприводимой тернарной форме / поставим в соответствие неприводимую алгебраическую проективную кривую {/ = 0} на проективной плоскости. Тогда проблему классификации (правда, с точностью до множителя) неприводимых тернарных форм можно сформулировать в геометрических терминах: классифицировать неприводимые алгебраические проективные кривые с точностью до проективных преобразований.

В 2006 году Лычагин и Кругликов 1 предложили новый подход к исследованию проблем описания орбит. Суть этого метода заключается в использовании дифференциальных уравнений и дифференциальных инвариантов, что дает возможность соединить алгебраические и дифференциально-геометрические подходы.

Преимущество такого подхода заключается в существовании мощных классификационных теорем, полученных Ли, Трессе и Картаном.

Степень разработанности проблемы. К настоящему времени получена классификация бинарных форм лишь степени п ^ 10.

Случай п = 3 был решен Булем в 1841 г.

Первый нетривиальный случай п = 4 был решен Булем 2 , Кэли и Эйзенштейном в 1841-1850 гг. и положил начало классической теории инвариантов. Отметим, что классификация бинарных форм степени 4 тесно связана с двойным отношением четырех точек на проективной прямой, а также с j-инвариантом эллиптической кривой.

Случаи п = 5, 6, 7, 8 были решены Кэли, Эрмитом 3 , Горданом, Шиодой 4 , Дикмиером и Лазардом 5 . Заметим, что самый сложный случай п = 7 был окончательно решен Бедратюком 6 лишь в 2007 г. с помощью компьютерной системы Maple.

Случаи п = 9 и 10 были решены Брауэром и Поповичев 7 8 в 2010 г. также

1 Kruglikov, В., Lychagin, V.: Invariants of pseudogroup actions: homological methods and finiteness theorem // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. - 3(5-6). - P. 1131-1165 (2006).

2 Boole, G.: Exposition of a general theory of linear transformations // Camb. Math. J. - 3. - P. 1-20, 106-119 (1841-1842).

3 Hermite, Ch.: Sur la theorie des fonctions homogenes a deux indeterminees. Cambridge and Dublin Math. J. (1854).

4 Shioda, Т.: On the graded ring of invariants of binary octavics // Amer. J. Math. - 89. - P. 1022-1046 (1967).

5 Dixmier, J., Lazard, D.: Le nombre minimum d"invarients fondamentaux pour les formes binaires de degree 7 // Potrigaliae Math. - 43(3). - P. 377-392 (1985-1986).

e Bedratyuk, L. On complete system of invariants for the binary form of degree 7 // Journal of Symbolic Computation. -42. - P. 935-947 (2007).

7 Brouwer, A.E., Popovich, M.: The invariants of the binary nonic // Journal of Symbolic Computation. - 45. - P. 709-720 (2010).

8 Brouwer, A.E., Popovich, M.: The invariants of the binary decimic // Journal of Symbolic Computation. - 45. - P. 837-843 (2010).

с помощью компьютера.

Отметим, что существующие на сегодняшний день методы в принципе не позволяют получить единой классификации бинарных форм произвольной степени п. Все указанные выше классификации были проведены для конкретного (и весьма небольшого) п, в то время как результаты и методы, используемые для разных п, принципиально отличаются друг от друга.

Еще один существенный недостаток этих классификаций заключается в невозможности их применения к алгебраически незамкнутому полю Ш.

Ситуация с классификацией тернарных форм еще более плачевна, нежели в случае форм бинарных.

Случай п = 2 является классическим результатом из курса линейной алгебры и был известен (в том или ином виде) еще древним грекам.

Случай п = 3 был исследован Вейерштрассом. Им было доказано, что каждая неособая тернарная форма приводится к так называемой нормальной форме Вейерштрасса

y 2 z + X і + pxz 2 + qz A .

Оказывается, что две тернарные формы эквивалентны если и только если коэффициенты их нормальных форм Вейерштрасса совпадают.

Из коэффициентов р и q нормальной формы Вейерштрасса можно составить j-инвариант тернарной формы j = p^/q 2 . Оказывается, что две кривые {/ = 0} и {/ = 0} проективно эквивалентны если и только если j-инварианты форм / и / совпадают.

Случай п = 4 был решен совсем недавно усилиями многих математиков. Окончательный ответ был получен усилиями Диксмиера, Шиоды и Брауэра 9 .

Таким образом, к сегодняшнему дню неизвестна даже классификация квантик (то есть тернарных форм пятой степени), не говоря уже об общем случае п.

Цель и задачи диссертационного исследования. В настоящей работе рассматриваются задачи классификации орбит бинарных и тернарных форм относительно действия групп GL2 и GL3 соответственно. Перечислим основные задачи исследования:

9 Brouwer, А.Е.: Invariants of the ternary quartic //

Найти алгебру дифференциальных инвариантов действия групп GL2 и SL2 на пространстве бесконечных джетов J(2).

В терминах построенных алгебр найти необходимое и достаточное условие локальной GL2- и ЭИ^-эквивалентности гладких функций на плоскости.

Явно найти алгебры дифференциальных инвариантов действия групп GL2 и GL3 на пространствах бинарных и тернарных форм соответственно.

В терминах найденных алгебр инвариантов найти критерий глобальной GL2- и СЬз-эквивалентности бинарных и тернарных форм соответственно.

Явно найти алгебру дифференциальных инвариантов действия группы SO3 на пространстве тернарных форм и в терминах этой алгебры найти критерий глобальной 80з-эквивалентности тернарных форм.

Объектом исследования являются бинарные и тернарные формы, а также дифференциальные уравнения Эйлера и алгебры дифференциальных инвариантов.

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют с одной стороны методы современной дифференциальной геометрии и геометрии дифференциальных уравнений, а с другой - методы алгебраической геометрии и классической теории инвариантов.

Научная новизна исследования. Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты.

1) Для действия групп GL2 и SL2 на пространстве бесконечных джетов J(2) найдены алгебры дифференциальных инвариантов. А именно, указаны базисные дифференциальные инварианты, инвариантные дифференцирования и сизигии.

В терминах найденных алгебр дифференциальных инвариантов найдены условия локальной GL2 и ЭИ^-эквивалентности регулярных гладких функций от двух переменных.

Для действия групп GL2 и SL2 на двумерном дифференциальном уравнении Эйлера xf x + yf y = nf найдены алгебры дифференциальных инвариантов.

В терминах найденных алгебр дифференциальных инвариантов найдены условия глобальной GL2 и ЭИ^-эквивалентности бинарных форм

над полями Си 1.

Для действия групп GL3, SL3 и SO3 на трехмерном дифференциальном уравнении Эйлера xf x + yf y + zf z = nf найдены поля дифференциальных инвариантов.

В терминах найденных полей дифференциальных инвариантов найдены условия глобальной GL3-, SL3- и 80з-эквивалентности тернарных форм.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы для изучения других действий алгебраических групп на аффинных многообразиях, а также для изучения различных проблем, связанных с классификацией орбит бинарных и тернарных форм. В диссертационной работе приведены примеры применения полученных результатов к классификации алгебраических проективных кривых, однородных функций, а также к нахождению полиномиальных инвариантов бинарных и тернарных форм. На основе этих результатов составлены спецкурсы для студентов и аспирантов, которые читаются в Институте проблем управления РАН. Результаты диссертационного исследования применяются в научных разработках лаборатории №6, что подтверждается актом внедрения.

Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертации были представлены на следующих семинарах и конференциях:

На семинаре "Группы Ли и теория инвариантов" под руководством профессора Э. Б. Винберга и профессора А. Л. Онищика (Москва, МГУ им.

М.В. Ломоносова, апрель 2010 г.)

на семинаре по геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора И. С. Красильщика (Москва, Независимый московский университет, май, декабрь 2010 г. и октябрь 2011 г.);

на Международной конференции «Метрическая геометрия поверхностей и многогранников», посвященной 100-летию со дня рождения Н.В. Ефимова (Москва, Россия, 18-21 августа 2010 г.);

на Международной конференции «Геометрия в Кисловодске» (Кисловодск, Россия, 13-20 сентября 2010 г.);

на IX Всероссийской молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, Россия, 1-6 октября 2010 г.);

на Второй Российской школе-конференции для молодых ученых с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, Россия, 8-12 декабря 2010 г.);

на семинаре отдела геометрии и топологии МИАН "Геометрия, топология и математическая физика" под руководством академика РАН С. П. Новикова и член-корреспондента РАН В. М. Бухштабера (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, апрель 2011 г.);

на XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, Россия, 11-15 апреля 2011 г.); работа отмечена грамотой за лучший доклад на секции «Математика и механика»;

на семинаре кафедры дифференциальных уравнений под руководством д.ф.-м.н. профессора Ю.В. Обносова (Казань, Казанский государственный университет, май 2011 г.);

на Международной конференции «Геометрия. Управление. Экономика» (Астрахань, Россия, 18-23 августа 2011 г.);

на семинаре отдела кафедры дифференциальной геометрии и приложений "Дифференциальная геометрия и приложения" под руководством

академика РАН А. Т. Фоменко (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, октябрь, ноябрь 2011 г.);

На семинарах лаборатории №6 ИПУ РАН под руководством д.ф.-м.н. профессоров В. В. Лычагина и А. Г. Кушнера (Москва, ИПУ РАН, 2010-2011 гг.).

Публикации. Результаты, основные положения и выводы диссертационного исследования отражены в 13 публикациях в периодических изданиях и тематических сборниках общим объемом 3,60 п. л. В том числе 5 статей опубликованы в журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. 6 опубликованных научных работ по теме исследования выполнены без соавторов, 7 работ написаны совместно, при этом вклад автора составляет от 40% до 75%.

24 Февраля 2016 0:00

Как преподавателю организовать работу будущих ученых и что будет, если задавать ученикам вопросы, ответов на которые не знает никто? Опытом делится Павел Бибиков, учитель математики московского лицея «Вторая школа» и научный руководитель лауреата ISEF Данилы Байгушева.

Я занимаюсь с учениками на базе московского лицея «Вторая школа». Это очень индивидуальная работа, в отличие от олимпиадного движения, которое носит массовый характер. Многие олимпиадники нацелены на решение за несколько часов: они его получают, становятся победителями, но для серьезных результатов в науке такие способности не подходят. Когда мы имеем дело с задачей научного характера, то не можем получить мгновенного результата. Ученые трудятся годами. А в школе ученик получает стандартное домашнее задание и стремится в короткий срок найти решение. Так он привыкает к быстрым результатам. Когда такой школьник берется за научную задачу, то, в скором времени, может почувствовать непреодолимое желание просто бросить. Он не привык к неудачам (причем, именно самые сильные ребята не могут привыкнуть к неудачам). И здесь важна настоящая психологическая поддержка со стороны руководителя.

Многие олимпиадники нацелены на решение за несколько часов: они его получают, становятся победителями, но для серьезных результатов в науке такие способности не подходят.

Я стараюсь дать ученикам несколько задач сразу и, если нужно, помогаю сделать первый шаг – так поиск сразу идет веселее. Математическая задача должна быть чёткой, близкой к жизни и естественной, чтобы у школьника возник интерес найти ответ. А не фантастической: «Незнайки гуляли по луне и считали светофоры по дороге…» В обычных классах ученики решают задачи из учебника. Да, важно отработать какие-то действия, но неужели на этом все обучение заканчивается? На своих уроках я ставлю школьникам открытые вопросы, ответы на которые не знаю и я сам. Если вопросы возникают в ходе освоения нового материала, и оказывается, что дать ответ непросто, то дети сами пытаются это сделать. Это очень ценно, поскольку они сами начинают осваивать материал гораздо глубже.

Ребята еще в юном возрасте способны делать серьёзные открытия. Мой ученик Данила Байгушев в течение нескольких лет становился победителем международного конкурса ISEF. Будучи еще школьником, он смог найти способ перевода программ с одного языка на другой с сохранением «читаемости» кода, а также решить некоторые проблемы современного олимпиадного программирования. На международном конкурсе Intel ISEF он стал не просто одним из лучших в секции «Программное обеспечение», а представил гибкую систему, позволяющую поддерживать даже эзотерические языки. Это уникальное решение в данной области.

Обычно разработка хорошего проекта занимает не менее года, как правило – даже несколько лет. Так происходит потому, что область исследований шире, чем круг вопросов, рассматриваемый школьной программой. Более того, задачи, которые ставятся перед юными исследователями, не могут быть решены в одночасье – к ним нужно регулярно возвращаться, продумывать, проговаривать. После того как получен результат, необходимо оформить решение: написать статью, публично рассказать о результатах. У выпускника, который начал работу еще в 8-9 классе, времени хватает лишь на один проект.

У выпускника, который начал работу еще в 8-9 классе, времени хватает лишь на один проект.

Одарённости нет, гениальности также не существует. Есть трудолюбие, прилежание и упорство – три важнейших качества, без которых немыслима работа математика. Ни школьнику, ни взрослому человеку не под силу совершить открытие без глубокой предварительной работы, которая требует времени, сил и терпения.

О работе над проектами

Любой проект сложен для школьника психологически: во-первых, ему предстоит создать что-то совершенно новое; во-вторых, общаться с учителем в непривычном формате. На уроках учитель определяет ход занятия, ученик делает только то, что говорит учитель. Проектная работа строится совершенно по-другому: инициатива должна исходить от ученика. Но дети часто стесняются – не потому что глупые и ничего не могут, а потому что школьная система их к такому не готовила. При этом, как правило, задачи придумывает учитель. Откуда они берутся конкретно у меня – я много читаю. Например, труды различных математиков, среди которых Владимир Игоревич Арнольд – его работы я советую читать всем, кто хотел бы взяться за нестандартные интересные задачи.

Любой проект сложен для школьника психологически: инициатива должна исходить от него.

Решение каждой задачи требует индивидуального подхода. Иногда, чтобы понять формулировку задачи, необходимо освоить теоретический материал – например, геометрию Лобачевского, которую не проходят в школе. Когда вопрос изучен, можно начинать думать о поиске решения. Один из способов – навести школьника на мысль, разбив весь путь на простые участки. Каждый маленький шаг школьник должен уметь делать сам. Как он будет это делать – зависит от него. После того как первый этап пройден, ребенка можно попросить поставить ключевые промежуточные цели, и идти через них к окончательному решению задачи. Если школьник справляется с задачей – для него это, конечно, стимул двигаться дальше. Никаких баллов не я выставляю, так как психологически исследовательский процесс и так тяжел для школьника. Балльная система в данной ситуации – скорее негативная составляющая. Стимулом для школьника будет скорее возможность выступить перед одноклассниками с некоторыми результатами, пусть и промежуточными.

Оценки в работе над проектом – плохой стимул.

О методике и материалах

Когда педагогу сложно освоить совершенно иную область науки, можно позвать на помощь другого специалиста и руководить проектом вдвоем. Но если человек не занимался научной работой самостоятельно, то ему будет крайне тяжело работать со школьником. Безусловно, материалы и методики научной работы у разных людей разные, поэтому, на мой взгляд, универсального пути нет. Каждый должен выработать его сам. Начинать можно с того, чтобы учиться видеть вопросы и представлять, как искать на них ответы и строить научное исследование.

Но если учитель не занимался научной работой самостоятельно, ему будет крайне тяжело работать со школьником.

Конкретные материалы и методические работы зависят непосредственно от направления исследования: в математике их очень много. Некоторые материалы мне приходится писать самостоятельно, потому что для школьника не написано ничего – слишком сложный стиль и терминология. У меня есть одна книга по геометрии Лобачевского, по которой я готовил свой первый выпуск, планирую написать еще что-то в области теории чисел и комбинаторики.

О пути к открытию

Среди математиков есть поговорка: не бойся куда-то идти, бойся никуда не идти. Потому что любое открытие – это действие. Некоторые думают, что математики ничего не делают – сидят, глядя в потолок, и грызут карандаши. А, спустя несколько месяцев, приходит озарение и у них рождается формула или они её во сне видят. Но озарение не приходит, если только «смотреть в потолок». Чтобы получить результат, очень важно проделать огромную работу, даже если иногда будет казаться, что вы идете в ложном направлении.

Некоторые думают, что математики ничего не делают – сидят, глядя в потолок, и грызут карандаши. А, спустя несколько месяцев, видят формулу во сне.

Дневники проектов представляют собой некий конспект или лабораторную тетрадь, которая фиксирует промежуточные действия, шаги, достижения исследователя. На конкурсе ISEF все физики и химики должны обязательно вести такие тетради, но на математику это не распространяется. Возможно, для школьника или научного руководителя – это очень полезный прием – фиксировать вехи и достижения, отмечать результаты и планы на будущее. Ведь школьники, конечно, кое-что забывают… А вообще, я, пожалуй, соглашусь с математиком, сказавшим, что написание статей – это наказание за триумф мысли, который испытал, когда нашел решение.

О том, как воспитывать будущих ученых

O трудолюбивых детях и взрослых задачах

О работе над проектами

О методике и материалах

О пути к открытию