Решение дифференциальных уравнений. Решение дифференциальных уравнений Метод ромберга интегрирование

Данный метод позволяет получить более высокий порядок точности, нс прибегая к более сложным формулам типа (3.14), (3.15), в которых учитывается дополнительное по сравнению с минимальным количество узлов аппроксимации. Повышение точности достигается путем комбинирования пары расчетов на разных сетках с разным количеством узлов.

Пример расчета аппроксимации второй производной в (3.17) позволяет предположить, что и в общем случае, если сеть некоторая формула g(x,h) для приближенного вычисления величины д(х), то ошибку аппроксимации можно представить в виде:

Осуществим еще один расчет по схеме фхф) для той же точки с помощью равномерной сетки, но с шагом rh. Для новой сетки ошибка аппроксимации будет иметь вид, аналогичный формуле (27), т. е.

Имея два расчета (3.27), (3.28) для двух сеток, можно оценить погрешность R. Она может быть получена после вычитания уравнения (3.27) из (3.28):

где считается, что 0((r/i) pi1) a0(h pi1). Формулу (3.29) принято именовать первой формулой Рунге.

Первая формула Рунге позволяет уточнить погрешность в исходной схеме (3.27), а именно, подставляя погрешность из (3.29) в (3.27), находим

Формула (3.30) именуется второй формулой Рунге, и она позволяет получить численный результат с более высоким порядком точности.

Метод Рунге обобщается на случай произвольного количества сеток q. В этом случае, соответствующим образом модифицировав схему расчетов, можно повысить точность аппроксимации до уровня 0(h p + схемой Ромберга. Более подробно эта схема изложена в учебнике .

Рассмотрим пример, иллюстрирующий работу метода Рунге. Выберем для тестирования схему численного дифференцирования (3.18), т. е. правую конечную разность, которая, как было установлено выше, имеет первый порядок аппроксимации, т. е. р = 1. Уточнение по Рунге должно повысить точность до 2-го порядка по шагу сетки. Как и выше, тестируемой функцией будет выступать у = sin(x).

На рис. 3.4 приведена схема позиционирования двух сеток по методу Рун- ге, когда одна из них вдвое более подробная, чем другая.

Рис. 3.4.

В листинге 3.4 приведен код программы, которая уточняет производную синуса по методу Рунге после пары расчетов на исходной сетке и на сетке с удвоенным количеством узлов. Итог работы программы сконцентрирован в графиках рис. 3.5.

Листинг ЗА

%Программа, иллюстрирующая метод Рунге по повышению %точности численного дифференцирования путем %комбинирования пары расчетов на двух равномерных %сетках, причем вторая содержит вдвое большее %количество узлов %очищаем рабочее пространство clear all

%определяем шаг исходной сетки

^сформируем исходную сетку

%определяем число узлов, входящих в исходную %сетку

%определяем шаг более подробной сетки

%создаем сетку вдвое более подробную

%определяем число узлов, входящих в более %подробную сетку m= I е n g t h (х т) ;

%рассчитываем производную с помощью правой %разности на исходной сетке и оцениваем %соответствующую абсолютную ошибку

for i =1:(П-1) dу(i) =(si n(x(i +1)) - si n(x(i)))/h;

erl(i)=abs(cos(x(i))-dy(j)); end

"/«рассчитываем производную с помощью правой %разности на более частой сетке и оцениваем "/«соответствующую абсолютную ошибку for i =1: (m- 1)

dym(i)=(si n(xm(i +l))-si n(xm(i)))/hm; er 2(i) =abs(cos(xm(i)) - dym(i)); end

%уточняем значение производной с помощью %метода Рунге for i =1:(П-1)

dyrungefi)=dy(i) - 2 * (d у (i) - d у m(2 * i -1)); e r 3 (i)=abs(cos(x(i))-dyrunge(i)); end

"/встроим общий график со всеми тремя кривыми %ошибок

pi ot(х([ 1: (n-1) ]), ег1([ 1: (n- 1)]), 1 - о"----

х m([ 1: 2: (m- 1) ]), е г 2 ([ 1: 2: (m-1) ]), " - р 1 , . . . х(), ег 3([ 1: (n-1) ]), 1 -h‘);

Сравнение графиков на рис. 3.5 подтверждает теоретические выводы. Процедура Рунге действительно резко повышает точность численной оценки производной в нашем примере.

Рис. 3.5. Ошибки двух схем численного дифференцирования: для исходной схемы и для схемы с удвоенным количеством узлов, а также ошибка уточняющей процедуры Рунге

Рассмотрим еще одну задачу, иллюстрирующую методы численного дифференцирования. Требуется изучить скорость и ускорение динамики народонаселения в Российской Федерации. Данные возьмем из российского статистического ежегодника . Это типичный пример, когда функция задана таблично и требуется найти первую и вторую производные. Эту задачу естественно решать в среднем, поскольку значения функции определены с ошибками. Согласно процедуре решения в среднем неизвестная функция аппроксимируется некоторым полиномом, коэффициенты которого определяются методом наименьших квадратов. Дифференцируя полученный полином 1 и 2 раза, находим соответственно скорость и ускорение демографической динамики в РФ.

В листинге 3.5 приведен код соответствующей программы.

Листинг 35

%Программа анализа демографической динамики в РФ Уоочищаем рабочее пространство clear all

Уовводим данные: год проведения переписи населения, Уоподеленный для улучшения работы алгоритма на 10 0 0 х =[ 1. 9 5 9 1.9 7 0 1.9 7 9 1.9 8 9 1.9 9 2 1.9 9 3 * 1.9 94 1.9 9 5 2. 0 0 2 ] ;

Уовводим данные: количество народонаселения в млн. чел. %на соответствующий год переписи населения

у =[ 1 1 7. 5 1 2 9.9 1 3 7.4 1 4 7 1 4 8.3 1 4 8.3 1 4 8 1 4 7.9 1 4 5.2];

Уозадаем степень аппроксимирующего полинома

Уообращаемся к стандартной программе, вычисляющей Уокоэффициенты полинома, аппроксимирующего данные %в среднем p=polyfit(x,y,nm);

Уоопределяем значения аппроксимирующего полинома %в отчетные моменты времени

phi =polyval(р,х) ;

Уорисуем исходные данные совместно с аппроксимирующим Усполиномом

pi ot(1000*х,у,’*’,1000*х, phi);

Уоопределяем коэффициенты полинома, описывающего %скорость демографической динамики

for i =1:П m dpl(i)=(nm-i +l)*p(i); end

Уоопределяем значения аппроксимирующего полинома Уоскорости демографической динамики в отчетные Уомоменты времени

dphi 1=роI уvаI(dpi, х);

%рисуем график скорости демографической динамики

%pl ot (1 0 0 0* х, dphi 1/ 1 0 00);

%определяем значения аппроксимирующего полинома %ускорения демографической динамики в отчетные %моменты времени

for i =1: (nm-1) dp2(i)=(nm-i +l)*(nm-i)*p(i); end

%определяем значения аппроксимирующего полинома %ускорения демографической динамики в отчетные Уомоменты времени dphi 2 =роI уvаI (dр2, х) ;

Уорисуем график ускорения демографической динамики

%pl ot(1000*х,dphi 2 / 1еб); grid on

На рис. 3.6 приведен график демографической динамики в РФ. Маркерами отмечены табличные значения, линия соответствует кубической параболе наилучшим образом аппроксимирующей наши данные в смысле метода наименьших квадратов. Из графика на рис. 3.6 видно, что народонаселение в РФ, начиная с середины 1990-х гг., неуклонно сокращается.

Рис. 3.6.

На рис. 3.7, а приведен график скорости демографической динамики, а на рис. 3.7, б - график ускорения.

Рис. 3.7. Демографическая динамика в РФ: а - скорость; б - ускорение

Согласно графику на рис. 3.7, а скорость демографической динамики сменила знак и стала отрицательной в середине 1990-х гг., что согласуется с графиком демографической динамики на рис. 3.6. Ускорение демографической динамики сменило знак и стало отрицательным в начале 1970-х гг., что также согласуется с графиком демографической динамики, где на начало 1970-х гг. приходится пик скорости прироста населения.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл на интервале .

Далеко не всегда задача может быть решена аналитически. В частности, численное решение требуется в том случае, когда подынтегральная функция задана таблично. Для численного интегрирования подынтегральную функцию аппроксимируют какой-либо более простой функцией, интеграл от которой может быть вычислен. Обычно в качестве аппроксимирующей функции используют полином. В случае полинома нулевой степени метод численного интегрирования называют методом прямоугольников , в случае полинома первой степени – методом трапеций , в случае полинома второй степени – методом Симпсона . Все эти методы являются частными случаями квадратурных формул Ньютона-Котеса .

Итак, в методе трапеций подынтегральную функцию аппроксимируют полиномом первой степени, то есть прямой линией. Это значит, что вместо площади криволинейной трапеции мы будем искать площадь прямоугольной трапеции. Приближенное значение интеграла равно

Погрешность этой формулы равна .

Обозначим , где . Смысл введенного обозначения станет ясен несколько позже.

Оценку значения интеграла можно сделать более точной, если разбить интервал на n частей и применить формулу трапеций для каждого такого интервала

Если разбить интервал на две части, то есть уменьшит шаг в два раза , то оценка для величины интеграла будет иметь вид

В данном случае суммирование включает только один элемент. Обратите внимание, в новую оценку вошла старая оценка. Нам потребовалось определять значение функции только в новых узлах.

Если имеется 2 n подынтервалов, то

Если n=0, то

Если n=1, то

Если n=2, то

Вообще, справедливо рекуррентное соотношение

Полученное соотношение называют рекурсивной формулой трапеций и часто применяют для вычисления определенных интегралов. Преимущество этой формулы состоит в том, что при увеличении числа подынтервалов функцию нужно вычислять только во вновь добавленных точках. К сожалению, с помощью этой формулы нельзя получить сколь угодно точное значение интеграла. Во-первых, при увеличении числа разбиений объем вычислений стремительно возрастает; во-вторых, на каждом шаге накапливается ошибка округлений. Для дальнейшего уточнения значения интеграла можно сделать следующий шаг – экстраполировать полученную последовательность значений на случай бесконечного числа точек или что то же самое, на случай нулевого шага. Такой подход называется методом Ромберга .

Метод Ромберга заключается в том, что полученные оценки значения интеграла экстраполируют на случай бесконечного числа разбиений (величины шага равной нулю) по рекуррентной формуле

То есть строится следующий треугольник

R (2,1) R (2,2)

R (3,1) R (3,2) R (3,3)

R (4,1) R (4,2) R (4,3) R (4,4)

R (5,1) R (5,2) R (5,3) R (5,4) R (5,5) ,

в котором первый столбец состоит из значений интеграла, полученных при последовательном удвоении числа интервалов. Второй столбец – результат уточнения значений первого столбца по рекуррентной формуле. Третий столбец – уточненные значения интеграла на основе второго столбца и т.д. .

При вычислении одной и той же величины формулы с большим числом узлов дают более высокий порядок точности, но они более громоздки. Для оценки их точности надо привлекать дополнительный узел, что требует еще более сложных вычислений. Рассмотрим более простой способ получения высокого порядка точности.

Из формулы (12) видно, что погрешность простейшей формулы (7) для четырежды дифференцируемой функции имеет вид , где - некоторая точка вблизи узла Если липшиц-непрерывна, то оценку нетрудно уточнить:

Пусть в общем случае имеется некоторая приближенная формула для вычисления величины по значениям на равномерной сетке с шагом h, а остаточный член этой формулы имеет следующую структуру:

Произведем теперь расчет по той же приближенной формуле для той же точки но используя равномерную сетку с другим шагом Тогда получим значение связанное с точным значением соотношением

Заметим, что Имея два расчета на разных сетках, нетрудно оценить величину погрешности. Для этого вычтем (13) из (14) и получим первую формулу Рунге:

Первое слагаемое справа есть главный член погрешности. Таким образом, расчет по второй сетке позволяет оценить погрешность расчета на первой сетке (с точностью до членов более высокого порядка).

Можно исключить найденную погрешность (15) из формулы (13) и получить результат с более высокой точностью по второй формуле Рунге:

Этот метод оценки погрешности и повышения точности результата очень прост, применим в большом числе случаев и исключительно эффективен. Рассмотрим два примера его применения к численному дифференцированию.

Таблица 7

Пример 1. Пусть функция задана таблицей 7 и требуется вычислить Выберем для вычислений простейшую формулу (6). Полагая , т. е. производя вычисления по точкам получим . Увеличивая шаг вдвое , т. е. вычисляя производную по точкам получим . Проводя вычисления по формуле Рунге (16), где согласно оценке (6) берется получим уточненное значение ; это всего 2% отличается от искомого значения .

Пример 2. Выведем формулу высокой точности из формулы низкой точности.

Возьмем простейшую формулу для вычисления первой производной в середине интервала (8) и запишем ее, выбирая сначала соседние узлы, а затем более удаленные:

Порядок точности формулы , а коэффициент увеличения шага , поэтому уточнение методом Рунге дает формулу (9):

Отсюда видно, что для получения высокого порядка точности не обязательно производить вычисления непосредственно по формулам высокого порядка точности; можно произвести вычисления по простым формулам низкой точности на разных сетках и затем уточнить результат методом Рунге. Последний способ предпочтительней еще потому, что величина поправки (15) дает апостериорную оценку точности.

Метод Рунге обобщается на случай произвольного числа . Пусть функция имеет достаточно высокие непрерывные производные. Тогда в разложениях Тейлора типа (11) можно удерживать большое число членов и подстановка их в формулы типа приводит к представлению остаточного члена в виде ряда

Пусть расчет проведен на q различных сетках с шагами . Тогда из остаточного члена можно исключить первые слагаемых. Для этого перепишем соотношение (17), оставляя первые члены погрешности:

Это система линейных уравнений относительно величии Решая ее по правилу Крамера, получим уточненное значение по формуле Ромберга

Эта формула приводит к повышению порядка точности результата на по сравнению с исходной формулой , т. е. каждая лишняя сетка позволяет повысить порядок точности на единицу.

Формула Ромберга удобна тем, что ее можно применять при любом числе равномерных сеток и любом соотношении их шагов. Ее недостатками являются сравнительная громоздкость и отсутствие в промежуточных выкладках апостериорных оценок точности. Если сетки выбраны так, что сгущение сеток происходит всегда в одно и то же число раз (т. е. ), то вместо формулы Ромберга удобнее рекуррентно применять метод Рунге.

Для этого берут последовательные пары сеток и т. д. По каждой паре производят уточнение методом Рунге, исключая тем самым главный член погрешности . Поэтому в уточненных величинах главный член погрешности будет иметь вид , где шаг можно условно принять для первой пары сеток за для второй - за и т. д. (это верно, только если одинаково для всех пар сеток). Уточненные значения таким же образом группируют в пары и исключают ошибку следующего порядка Всего можно произвести уточнение, на единицу меньше числа сеток. При каждом уточнении вычисляется погрешность (15), дающая апостериорную оценку точности на данном этапе вычислений. Пример такого вычисления будет дан в главе IV.

Замечание 1. Если исходная формула для вычисления имеет симметричный вид, то на равномерной сетке обычно все нечетные члены ряда (17) обращаются в нуль. При этом пользоваться общей формулой (18) можно, но невыгодно, ибо она не учитывает дополнительной информации о нулевых коэффициентах. Следует оставить в сумме (17) только степени и соответственно изменить формулу Ромберга. Аналогично изменяется рекуррентная процедура Рунге: при очередном исключении ошибки порядок точности повышается не на 1, а на 2. Примером может служить данный выше вывод формулы (9) из формулы (8), когда после первого уточнения погрешность уменьшилась с сразу до

Замечание 2. Допустимое число членов суммы (17) связано с количеством существующих у функции непрерывных производных. Поэтому для недостаточно гладких функций бессмысленно брать большое число сеток. Практически даже для «хороших» функций используют не более 3 - 5 сеток; обычно отношение их шагов стараются выбрать равным 2.

Замечание 3. Метод Рунге-Ромберга можно применять только в том случае, если ошибка представима в виде (17), где коэффициенты одинаковы для всех сеток. Строго говоря, при численном дифференцировании эти коэффициенты зависят от положения узлов сетки.

Но если выбранные конфигурации узлов на всех сетках подобны относительно точки (рис. 14, а), то зависимость от узлов одинакова для всех сеток и сводится к величине шага. Тогда метод Рунге - Ромберга применим. Если же правило подобия нарушено (рис. 14, б, в), то метод применять нельзя.

Поэтому при численном дифференцировании метод Рунге-Ромберга удается применять только для нахождения производных в узлах или серединах интервалов равномерных (или описанных далее квазиравномерных) сеток. Но эти случаи являются достаточно важными в практических приложениях. Особенно широко применяется описанный метод при численном интегрировании и разностных методах решения задач для дифференциальных и интегральных уравнений.

п р а в и л о Р о м б е р г а,- метод вычисления определенного интеграла, основанный на Ричардсона экстраполяции. Пусть вычисляется значение I нек-рого функционала, при этом вычисляемое приближенное значение Т(h)зависит от параметра h, так что в результате вычисления получается приближенное равенство. Пусть известна информация о поведении разности I - Т(h). как функции от h, а именно: (1) где т - натуральное число и a зависит от приближаемого функционала и той функции, на к-рой он вычисляется, от способа приближения и (слабо) от h. Если наряду с Т(h)вычислено Т(2h),то способ Ричардсона дает для Iприближение (2) Это приближение тем лучше, чем слабее a из равенства (1) зависит от h. В частности, если a от h не зависит, то и (2) имеет место точное равенство. Р. м. применяется к вычислению интеграла Промежуток взят для простоты записи, он может быть любым конечным. Пусть (3) Вычисления в Р. м. сводятся к составлению следующей таблицы: где первый столбец состоят из квадратурных сумм (3) формулы трапеций. Элементы (l+2)-го столбца получаются из элементов (l+l)-гo столбца по формуле (4) При составлении таблицы главная часть вычислительного труда затрачивается на вычисление элементов первого столбца. Элементы следующих столбцов вычисляются чуть сложнее конечных разностей. Каждый элемент таблицы есть квадратурная сумма, приближающая интеграл (5) Узлами квадратурной суммы являются точки, а ее коэффициенты - положительные числа. Квадратурная формула (5) точна для всех многочленов степени не выше 2l+1.
В предположении, что подинтегральная функция f(x)имеет непрерывную производную порядка 2l+2на , разность имеет представление вида (1), в к-ром т=2l+2. Отсюда следует, что элементы (l+2)-гo столбца, вычисляемые по формуле (4), являются улучшениями по Ричардсону элементов (l+l)-гo столбца. В частности, для погрешности квадратурной формулы трапеций справедливо представление и способ Ричардсона дает более точное приближение к I: оказывается квадратурной суммой формулы Симпсона, и т. к. для погрешности этой формулы справедливо представление то снова можно воспользоваться способом Ричардсона и т. д. В Р. м. в качестве приближения к I берется Т 0п, при этом предполагается, что существует непрерывная производная f(2n) (х)на . Ориентировочное представление о точности приближения Т 0п можно получить, сравнивая T0n и T1, n_1. Впервые метод изложен В. Ромбергом . Лит.:[l] R o m b e r g W., "Kgl. norske vid. selskabs forhandl.", 1955, Bd 28, № 7, s. 30-36; В a u e r F. L., R u t i s h a u s e r H., Stief1 E, "Proq. Symp. Appl. Math.", 1963, v. 15, p. 199-218. И. П. Мысовских.

Смотреть значение Ромберга Метод в других словарях

Метод — м. и метода ж. способ, порядок, основания; принятый путь для хода, достижения чего-либо, в виде общих правил. -дический, порядочный, правильный, основательный, постепенный;........
Толковый словарь Даля

Метод — (нов. офиц.). Сокращение, употр. в новых сложных словах в знач. методический, напр. методбюро.
Толковый словарь Ушакова

Метод М. И Устар. Метода Ж. — 1. Способ познания, подход к изучению явлений природы и общественной жизни. 2. Прием, система приемов в какой-л. области деятельности.
Толковый словарь Ефремовой

Метод... — 1. Начальная часть сложных слов, вносящая значение сл.: методический (методбюро, методкабинет, методобъединение и т.п.).
Толковый словарь Ефремовой

Аналитический Метод Прогнозирования — Метод прогнозирования, основанный на получении экспертных оценок путем логического анализа прогнозной модели.
Политический словарь

Бихевиоральный Метод — (от англ. "бихевиор" - поведение) - в политологии предполагает исследование политических явлений и процессов через анализ поведения индивидов и групп при исполнении........
Политический словарь

Дельфийский Метод, Метод Делфи — Метод коллективной экспертной оценки, основанный на выявлении согласованной оценки экспертной группы путем их автономного опроса в несколько туров, предусматривающего........
Политический словарь

Матричный Метод Прогнозирования — Метод прогнозирования, основанный на использовании матриц, отражающих значения (веса) вершин граф-модели объекта прогнозирования, с последующим преобразованием матриц........
Политический словарь

Метод — - средство анализа, способ проверки и оценки знания.
Политический словарь

Метод Деструктивной Отнесенной Оценки — Метод коллективной генерации идей, реализуемый посредством двух разнесенных во время сессий, первая из которых полностью подчиняется правилам коллективной генерации........
Политический словарь

Метод Индивидуальной Экспертной Оценки — Метод прогнозирования, основанный на использовании в качестве источника информации одного эксперта.
Политический словарь

Метод Интервью — Метод индивидуальной экспертной оценки, основанный на беседе эксперта с прогнозистом по схеме "вопрос -- ответ".
Политический словарь

Метод Исторической Аналогии — Метод прогнозирования, основанный на установлении и использовании аналогии объекта прогнозирования с одинаковым по природе объектом, опережающим первый в своем развитии.
Политический словарь

Метод Коллективной Генерации Идей — Метод коллективной экспертной оценки, основанный на стимулировании творческой деятельности экспертов путем совместного обсуждения конкретной проблемы, регламентированного........
Политический словарь

Метод Коллективной Экспертной Оценки — Метод прогнозирования, основанный на выявлении обобщенной объективированной оценки экспертной группы путем обработки индивидуальных, независимых оценок, вынесенных........
Политический словарь

Метод Математической Аналогии — Метод прогнозирования, основанный на установлении аналогии математических описаний процессов развития различных по природе объектов с последующим использованием........
Политический словарь

Метод Построения Прогнозного Сценария — Аналитический метод прогнозирования, основанный на установлении логической последовательности состояний объекта прогнозирования и прогнозного фона во времени при........
Политический словарь

Метод Прогнозирования — Способ исследования объекта прогнозирования, направленный на разработку прогнозов. Примечание. Методы прогнозирования являются основанием для методик прогнозирования.
Политический словарь

Метод Психо-интеллектуальной Генерации Идей — Метод индивидуальной экспертной оценки, при котором выявление экспертной оценки осуществляется с помощью программированного управления, включающего обращение к........
Политический словарь

Метод Управляемой Генерации Идей — Метод коллективной генерации идей с использованием целенаправленного интеллектуального воздействия (усиливающего или подавляющего) на процесс генерации идей.
Политический словарь

Метод Эвристического Прогнозирования — Аналитический метод прогнозирования, состоящий в построении и последующем усечении дерева поиска экспертной оценки с использованием какой-либо эвристики.
Политический словарь

Метод Экспертных Комиссий — Метод коллективной экспертной оценки, состоящий в совместной работе объединенных в комиссию экспертов, разрабатывающих документ о перспективах развития объекта прогнозирования.
Политический словарь

Опережающий Метод Прогнозирования — Метод прогнозирования, основанный на использовании свойства научно-технической информации опережать реализацию научно-технических достижений в общественной практике.
Политический словарь

Патентный Метод Прогнозирования — Опережающий метод прогнозирования, основанный на оценке (по принятой системе критериев) изобретений и исследовании динамики их патентования.
Политический словарь

Публикационный Метод Прогнозирования — Опережающий метод прогнозирования, основанный на оценке публикаций об объекте прогнозирования (по принятой системе критериев) и исследовании динамики их публикования.
Политический словарь

Синоптический Метод — Метод прогнозирования, основанный на анализе экспертами известного множества прогнозов объекта прогнозирования и прогнозного фона с последующим их синтезом.
Политический словарь

Системный Метод В Политологии — - рассмотрение политики как целостного, сложно организованного, саморегулирующегося механизма, находящегося в непрерывном взаимодействии с окружающей средой.
Политический словарь

Сравнительный Метод В Политологии — - сопоставление однотипных политических явлений и процессов и выявление их общих черт и специфики с целью нахождения оптимальных форм политической организации или путем решения задач.
Политический словарь

Статистический Метод Прогнозирования — Фактографический метод прогнозирования, основанный на построении и анализе динамических рядов характеристик объекта прогнозирования.
Политический словарь

Фактографический Метод Прогнозирования — Метод прогнозирования, базирующийся на использовании источников фактографической информации.
Политический словарь