Стоячие волны. Колебания струны

Лабораторная работа

Исследование зависимости частоты колебаний струны от силы натяжения длины и линейной плотности материала струны. Оборудование: Установка включающая в себя устройство для натяжения струны с динамометром измерительную линейку с подвижными порожками электрическую лампочку с держателем фотоэлемент низкочастотный усилитель осциллограф и универсальный счетчик; резиновый молоток; набор струн. Колебания струны как пример стоячей волны На практике стоячие волны возникают при отражении волн от преград: падающая на преграду волна и бегущая ей...

Лабораторная работа № 25

КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

Цель работы:

Изучение колебательного движения струны. Исследование зависимости частоты колебаний струны от силы натяжения, длины и линейной плотности материала струны.

Оборудование:

Установка, включающая в себя устройство для натяжения струны с динамометром, измерительную линейку с подвижными порожками, электрическую лампочку с держателем, фотоэлемент, низкочастотный усилитель, осциллограф и универсальный счетчик; резиновый молоток; набор струн.

Продолжительность работы 4 часа.

Теоретическая часть.

1. Упругие волны

Упругой волной называется процесс распространения возмущения в упругой среде, сопровождающийся переносом энергии. Особую роль в теории волн играют гармонические волны , в которых изменение состояния среды происходит по закону синуса или косинуса.

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей.

Рассмотрим гармоническую плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x . Введём обозначение: отклонение от положения равновесия точки среды с координатой x в момент времени t . На Рис.1 показан график функции для некоторого фиксированного момента t .

Рис.1 Вид функции для фиксированного момента t .

Длиной волны λ называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний:

где V скорость распространения волны, а T период колебаний. Как видно на Рис.1, длину волны можно также определить как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз 2 π . Учитывая соотношение между периодом и частотой, получим:

(1)

Пусть источник колебаний, находящийся в точке x =0 колеблется по закону, где a амплитуда смещения; ω циклическая частота. Тогда колебания в точке с координатой x будут запаздывать на время, необходимое для прохождения волны от источника до данной точки:

Учитывая соотношение (1), получим:

Величина называется волновым числом . С учетом этого обозначения:

(2)

Это выражение называется уравнением плоской волны . Если волна распространяется в направлении отрицательных значений оси x , то её уравнение примет вид:

(3)

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым уравнением . Для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси x , волновое уравнение имеет вид:

(4)

В справедливости этого утверждения легко убедиться путём простой подстановки в волновое уравнение (4) уравнения плоской волны (2).

2. Стоячие волны

Стоячей волной называется колебательный процесс, возникающий в результате наложения двух встречных плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой.

Пользуясь этим определением, выведем уравнение стоячей волны. Уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси x в противоположных направлениях:

При наложении этих волн возникает колебательный процесс:

Преобразовав это выражение по формуле для суммы косинусов, получим:

(5)

Это и есть уравнение стоячей волны . Сомножитель описывает гармонические колебания. Однако, как видно из формулы (5), амплитуда этих колебаний зависит от координаты x по закону. На Рис.2 (а) приведен вид функции стоячей волны для нескольких фиксированных последовательных моментов времени t . На Рис.2 (б) также показан вид аналогичной функции для обычной бегущей волны. Сравнив эти рисунки, можно заключить, что стоячая волна представляет собой особый вид колебательного движения и, несмотря на название, в строгом смысле слова волной не является, так как стоячая волна не переносит энергию в пространстве.

Рис. 2 Вид функции стоячей (а) и бегущей (б) волн для нескольких фиксированных последовательных моментов времени t .

Точки, в которых амплитуда колебаний стоячей волны обращается в ноль, называются узлами . В узлах точки среды колебаний не совершают (см. Рис. 2, а). Координаты узлов должны удовлетворять условию:

(6)

Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (см. Рис. 2, а) называются пучностями . Соответственно, координаты пучностей удовлетворяют условию:

(7)

3. Колебания струны как пример стоячей волны

На практике стоячие волны возникают при отражении волн от преград: падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отражённая волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Ещё одним примером стоячих волн являются колебания закреплённой с обоих концов натянутой струны. Концы струны колебаться не могут, а значит, в этих точках стоячая волна должна иметь узлы. Следовательно, возбуждаться могут только такие колебания, длина волны которых позволяет реализовать это условие. Другими словами, половина длины волны должна укладываться на длине струны целое число раз, как это показано на Рис. 3. Пронумеруем эти колебания, начиная с самой большой длины волны, и запишем соотношение между длиной струны и длиной волны колебания с номером n (см. Рис. 3). В общем виде это соотношение имеет вид:

Или (8)

Длинам волн (8) соответствуют частоты:

где V фазовая скорость волны скорость, с которой колебания распространяются вдоль струны. Эти частоты называют собственными частотами . Гармонические колебания с собственными частотами это собственные (нормальные) колебания или гармоники . Частота ν , соответствующая n =1 называется основной частотой :

(9)

Рис. 3 Собственные колебания струны

Фазовая скорость волны постоянна во времени и определяется плотностью ρ материала струны и силой её натяжения F (см. Приложение):

(10)

Подставим в выражение для основной частоты (9):

(11)

Экспериментальная проверка этого соотношения и является основным содержанием данной лабораторной работы.

Описание установки

Внешний вид и схема установки показаны на Рис. 4.

Струна (1) натягивается между колком (2), регулирующим силу натяжения, и измеряющим её пружинным динамометром (3). Струна опирается на два подвижных треугольных порожка (4). Её длина регулируется перемещением этих порожков по измерительной линейке (5). Струна располагается между лампочкой (6) и фотоэлементом со щелевой апертурой (7).

Колебания струны возбуждаются легким ударом резинового молоточка. В результате освещенность фотоэлемента и генерируемый им сигнал изменяются с той же частотой, с которой колеблется струна. Сигнал от фотоэлемента через усилитель (8) поступает на осциллограф (9) и универсальный счётчик (10), измеряющий частоту сигнала.

Рис. 4 Внешний вид (а) и схема (б) установки для измерения частоты колебаний струны

Экспериментальная часть

Упражнение 1. Измерение зависимости частоты колебаний струны от силы натяжения.

Прежде чем натягивать струну, необходимо произвести установку нуля динамометра. Если струна уже натянута, вращая колок, сбросьте натяжение до его полного отсутствия. Ослабив фиксирующий винт на боковой поверхности цилиндрического корпуса динамометра, добейтесь, чтобы край корпуса совпадал с нулевым делением шкалы динамометра. Закрепите фиксирующий винт.
Для экспериментальной проверки соотношения (17) между частотой колебаний струны и силой натяжения используется константановая проволока с диаметром поперечного сечения d =0,4 мм (проволока №1). Установите её между крючком динамометра и крюком с нитью, закреплённой на колке. Струна при этом должна лежать на треугольных порожках. Медленно вращая колок, установите силу натяжения струны F =10 Н.
Перемещая порожки вдоль линейки, установите длину струны l =50 см. Здесь и далее под длиной струны будем понимать расстояние между верхними углами порожков. Его можно измерять как по положению порожков на линейке (поз. 5 Рис. 4), так и непосредственно с помощью металлической линейки.

Включите осциллограф. Регулировку « VOLTS/DIV » соответствующего канала установите в положение « 1 » (см. Рис. 5). Регулировку « TIME /DIV » установите в положение « 2 ms ».
Включите усилитель (выключатель находится на задней панели прибора). Установите регулировку « Amplification » в положение « 10 2 » (см. Рис. 6). Кнопка « AC/DC » должна быть отжата, что соответствует переменному входному сигналу. Регулировку амплитуды установите в среднее положение.
Включите универсальный счетчик (выключатель находится на задней панели прибора). С помощью кнопки « Mode » переведите его в режим « Analog » (см. Рис. 7). С помощью кнопки « Function » установите режим измерения частоты « Freq ». Кнопкой « Set » установите режим « Digits ». Нажмите кнопку « Start ». Загорится лампочка над этой кнопкой, свидетельствующая о том, что счетчик готов к измерению частоты.

Рис. 5 Внешний вид экрана осциллографа.

Рис. 6 Внешний вид лицевой панели усилителя.

Рис. 7 Внешний вид лицевой панели универсального счетчика.

Непосредственно перед измерением частоты, необходимо убедиться, что:

Длина струны соответствует нужной величине (порожки могут немного сместиться при изменении натяжения струны);
Натяжение соответствует нужной величине (натяжение может измениться при передвижении порожков);
Тень от струны совпадает с прорезью щели фотоприемника. Для этого нужно либо посмотреть на фотоприемник снизу, либо использовать зеркало.

Данные проверки необходимо повторять перед каждым последующим измерением.

Возбудите колебания струны лёгким ударом резинового молоточка. Счетчик начинает измерение частоты не сразу, а после затухания высоких гармоник. Этот процесс можно контролировать с помощью осциллографа: на его экране в момент измерения должны наблюдаться колебания, близкие к синусоидальным (см. Рис. 5).
Повторите измерения, постепенно увеличивая силу натяжения до F =40 Н, с шагом 5 Н.

Не пытайтесь установить силу натяжения константановой струны с диаметром 0,4 мм больше 40 Н! Это может привести к её разрыву.

Результаты измерений занесите в таблицу:

Таблица 1.

F , Н	ν , Гц	ν 2 , Гц 2	Гц 2

Заполните остальные клетки Таблицы 1. Погрешность измерения частоты принять равной, а погрешность измерения силы натяжения . Постройте график зависимости квадрата частоты от силы натяжения. Согласно (11) эта зависимость линейна:

(12)

Определите по графику угловой коэффициент прямой. Используя эту величину, рассчитайте линейную плотность проволоки ρ л и её погрешность.

Линейная и объёмная плотности связаны соотношением:

, (13)

где S и d соответственно площадь и диаметр поперечного сечения проволоки. Используя эту формулу, определите объёмную плотность константана ρ и погрешность этой величины. Погрешность измерения длины струны принять равной, а погрешность измерения диаметра струны .

Упражнение 2. Измерение зависимости частоты колебаний струны от её длины.

Для экспериментальной проверки соотношения (11) между частотой колебаний струны и её длиной, как и в первом упражнении, используется константановая проволока с диаметром поперечного сечения d =0,4 мм (проволока №1).
Установите длину струны l =30 см и силу натяжения струны F =30 Н.
Измерьте частоту колебаний струны.
Постепенно увеличивая длину струны до l =60 см с шагом 5 см, измерьте зависимость частоты колебаний струны от её длины. Результаты занесите в таблицу:

Таблица 2.

l , см	ν , Гц	Мс	Мс

Заполнив остальные клетки Таблицы 2, постройте график зависимости периода колебаний струны от её длины. Согласно (17) эта зависимость должна быть линейной:

(14)

Определите по графику угловой коэффициент прямой. Используя эту величину, рассчитайте линейную плотность проволоки, объёмную плотность константана и погрешности этих величин.

Упражнение 3. Измерение зависимости частоты колебаний струны от линейной плотности материала.

Данные о проволоках, используемых для экспериментальной проверки соотношения (11) между частотой колебаний струны и линейной плотностью материала, приведены в Таблице 3.

Таблица 3.

Материал	Диаметр поперечного сечения d , мм	Объёмная плотность ρ , г/см 3	Линейная плотность ρ л , г/м
Тантал			0,471±0,002
Константан			0,620±0,002
Никель			0,647±0,002
Медь			1,110±0,002
Медь			1,794±0,003

Эти проволоки не выдерживают больших натяжений. Поэтому не пытайтесь установить силу натяжения более 20 Н!

Установив попеременно для каждой струны длину l =50 см и силу натяжения струны F =20 Н, измерьте частоты их колебаний. Результаты занесите в таблицу.
Нанесите экспериментальные точки на теоретический график зависимости частоты колебаний струны от линейной плотности, построенный в ходе выполнения расчетного задания. Сделайте вывод.

Подготовка к работе.

1. Физические понятия, величины, законы, знание которых необходимо для успешного выполнения работы:

гармонические колебания, амплитуда, фаза, частота;
волны в упругой среде;
скорость волны, частота, длина волны;
уравнение плоской волны;
волновое уравнение;
стоячие волны, узлы и пучности;
колебания струны, гармоники;

2. Выведите формулу (11)

3. Расчетное задание. Пользуясь формулой (11), для струны длиной l =50 см, натянутой с силой F =20 Н, постройте на миллиметровой бумаге график зависимости частоты колебаний от линейной плотности в диапазоне ρ л от 0 до 2 г/м с шагом 0,2 г/м.

4. Сформулируйте основную цель работы и порядок ее выполнения.

Приложение 1. Вывод формулы для скорости волны в струне.

На Рис. 1-1 схематически показана натянутая струна. Выделим малый её фрагмент и запишем для него второй закон Ньютона:

где и силы, действующие на левый и правый концы струны соответственно.

Рис. 1-1 К выводу волнового уравнения колебаний струны.

В проекциях на вертикальную ось ξ :

При малых смещениях, а тангенс угла наклона кривой в свою очередь равен производной функции: . Таким образом, .

Массу, приходящуюся на единицу длины струны, принято называть линейной плотностью. Тогда массу фрагмента можно выразить через его длину: . При малых колебаниях длину фрагмента струны можно принять равной его проекции на ось X : . В результате получим:

Пренебрегая изменением силы F вдоль шнура, получим:

Это не что иное, как волновое уравнение, описывающее распространение волны со скоростью

Литература

1. Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы. М.: БИНОМ. Лаборатория базовых знаний, 2004, §§1.1 1.6.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Волны. Оптика М.: Астрель  АСТ, 2003; §§1.1, 1.4, 1.5, 1.7, 1.8.

PAGE 5

EMBED Equation.3

α 2

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

α 1

λ= VT

260.5 Hz

Счетчик

Усилитель

Осциллограф

б) Бегущая волна

а) Стоячая волна

Пучности

Узлы

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать
38790.		ДИНАМИКА ЦЕННОСТНЫХ ОРИЕНТАЦИЙ МОЛОДЕЖИ В ОТНОШЕНИИ СЕМЬИ И БРАКА В УСЛОВИЯХ МОДЕРНИЗАЦИИ РОССИЙСКОГО СОЦИУМА	758 KB
	Теоретикометодологические основы исследования и ценностных ориентаций молодежи в отношении семьи и брака. Некоторые теоретические подходы к изучению ценностных ориентаций молодежи в отношении семьи и брака. Факторы формирования и тенденции развития ценностных ориентаций современной российской молодежи в отношении семьи и брака.
38791.		Влияние восстановленного глутатиона и ингибитора каталазы на пероксидную резистентность и скорость лизиса эритроцитов при действии хлорида железа	650 KB
	Установлено, что при ингибировании каталазной активности азидом натрия, в том числе при действии хлорида железа скорость гемолиза эритроцитов возрастает. Хлорид железа (III) в концентрации 0,5% вызывал полный лизис эритроцитов человека за 5 мин инкубации с максимумом лизиса от 1,5 до 3,5 минут инкубации вне зависимости от предварительной обработки эритроцитов
38792.		Методы оценки кредитоспособности ссудозаемщика коммерческого банка	1.08 MB
	Кредит выступает опорой современной экономики, неотъемлемым элементом экономического развития. Его используют как крупные предприятия и объединения, так и малые производственные, сельскохозяйственные и торговые структуры; как государства, правительства, так и отдельные граждане. Он становится неизбежным атрибутом товарного хозяйства.
38793.		Лісові природно-заповідні території як осередки еволюційного збереження лісового дендрофіторізноманіття	403 KB
	Сучасний стан лісових генетичних ресурсів та стратегії їх збереження. Стратегії збереження генетичної мінливості лісової дендрофлори. Підходи до збереження генетичної мінливості лісового генофонду. Збереження видів деревних рослин іn situ.
38794.		ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ В РЫНОЧНЫХ УСЛОВИЯХ (НА ПРИМЕРЕ ООО «ДАБАН»)	856.5 KB
	Анализ объема и ассортимента продукции. Анализ структуры продукции и влияние структурных сдвигов на изменение стоимости продукции. Понятие эффективности Целью деятельности любого промышленного предприятия является выпуск определенной продукции выполнение работ оказание услуг установленного объема и качества в определенные сроки. Но при установлении масштабов производства следует исходить не только из народнохозяйственных и индивидуальных потребностей в данной продукции но и в необходимости учитывать достижение максимального...
38795.		ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ И ПУТИ ЕЕ ПОВЫШЕНИЯ НА ПРИМЕРЕ РУП «КЛИМОВИЧСКОГО ЛИКЕРО-ВОДОЧНОГО ЗАВОДА»	742 KB
	К ним в частности относятся: увеличение реализации остатков готовой продукции на складах продажа неиспользуемого оборудования снижение себестоимости продукции в результате приобретения нового оборудования. Для успешного функционирования каждый хозяйствующий субъект должен стремиться к повышению эффективности своей деятельности на основе рационального использования ресурсного потенциала увеличения прибыльности производства улучшения качества реализуемой продукции. В основе этого понятия лежит ограниченность ресурсов желание экономить...
38796.		Исследование учета и анализа денежных средств на примере коммерческой организации ВООИ «Синтез»	555.5 KB
	Теоретические и организационные основы учета и анализа денежных средств. Виды денежных средств организации.Классификация денежных потоков. Нормативная база учета и анализа денежных средств.
38797.		Уголовно - правовая квалификация мошенничества	325 KB
	Актуальность темы исследования состоит в том что в ней существует ряд дискуссионных проблем в частности относительно объективной и субъективной природы признаков мошенничества. В условиях недостаточно глубокого исследования признаков и специфики мошенничества наличия в теории уголовного права многих спорных вопросов по этой проблеме нередко возникают затруднения и ошибки при квалификации...
38798.		Расчет автоматизированного электропривода поперечной подачи плоскошлифовального станка 3Е711	3.36 MB
	Для увеличения точности шлифования в данном курсовом проекте необходимо уделить особое внимание приводу вертикальной подачи поэтому рассмотрим несколько вариантов его реализации: На основе применения вентильного двигателя: Подключение вентильного двигателя можно реализовать с помощью микросхемы MC 33033 и MC 33039 рис.1 Схема привода на основе БДПТ На основе шагового двигателя: Основные функциональные узлы разомкнутого шагового электропривода приведены на рис. Принцип его работы заключается в том что при изменении частоты...

ВЫ НЕ ПОВЕРИТЕ, что вытворяет ваша струна!
В этом посте я попробую изложить 3 взаимосвязанные темы: как происходят колебания гитарной струны, как работают флажолеты и почему звук электрогитарного датчика меняется в зависимости от его местоположения относительно струны.

Я сделал для примеров несколько видео со спектрограммами. Это простая штука. По горизонтали время, по вертикали частота, яркость линии означает интенсивность частот. Спектрограмма многое говорит о звуке.

Все музыкальные ноты выглядят на спектрограмме как ряд параллельных линий:

Видео 1: спектрограмма мелодии, сыгранной на электрогитаре

Всё потому, что любое сложное периодическое колебание (а значит - любая музыкальная нота) состоит из ряда колебаний кратных частот или может быть представлено в виде такой суммы. Они называются гармониками - первая, вторая, третья и так далее. Частота второй гармоники в два раза выше, чем у первой, третей гармоники - втрое выше, чем у первой, и так далее. Так что спектр ноты с частотой 100 Гц состоит из частоты 100 Гц и кратных ей частот. У гитарной струны может быть от нескольких до нескольких десятков гармоник. Точное их количество назвать затруднительно - как правило, чем выше гармоника, тем она слабее и тем быстрее затухает. Поэтому я буду описывать эти ряды вот так: {100, 200, 300, 400, 500, ...} Гц. В ряду может недоставать каких-то гармоник (присмотритесь к видео 1), что не мешает ноте быть нотой.

Когда пишут что «нота имеет такую-то частоту» , имеется в виду именно частота первой гармоники.

«Расклад» гармоник по уровням может быть разным - одни сильнее, другие слабее. От этого зависит тембр звука: много верхних гармоник - звук яркий, пронзительный, мало - звук мягкий, глухой. Вот одна нота (Ля 110 Гц) на разных инструментах:

Видео 2: нота Ля (110 Гц), сыгранная разными инструментами

Движения

Для примера возьмём открытую пятую струну Ля. Частота её первой гармоники - 110 Гц.

Почему именно пятую? Вот частоты всех открытых струн в стандартном строе:
E: примерно 329,63 Гц
B: примерно 246,94 Гц
G: примерно 196 Гц
D: примерно 146.83 Гц
A: ровно 110 Гц
E: примерно 82.4 Гц
Понятно, почему пятую.

Важный момент: в этом посте говоря о «струне», о «длине струны», о картине колебаний и т.д., я буду иметь в виду именно ту часть струны, которая вибрирует - от порожка до бриджа или от лада до бриджа, если струна прижата. Не буду каждый раз это обговаривать.

Струна одновременно совершает множество разных видов колебаний.

Первое колебание - самое простое:

Колебание первой гармоники струны (по клику откроется анимированная картинка)

Струна колеблется одной «дугой», с частотой первой гармоники (в нашем примере - 110 Гц). В центре струны амплитуда колебания больше всего, а чем ближе к краям, тем оно слабее.

Может показаться, что вот так то струна и колеблется, но это лишь часть картины.

Второе колебание:

Колебание второй гармоники струны (кликабельно)

Струна колеблется как бы отдельными половинками, в противоположных направлениях. Половинка колеблется вдвое чаще, чем целая струна, поэтому у второго колебания частота вдвое выше, чем у первого. В нашем случае получается частота второй гармоники - 220 Гц.

В середине каждой из «половинок» колебание максимально. Чем ближе к краям или середине струны, тем колебание слабее. В середине струны получается любопытная штука - так называемый узел колебания . Это место, расположенное как раз между половинками, в котором колебание второй гармоники отсутствует. Здесь могут быть другие колебания, но второй гармоники тут точно не будет.

Третье колебание:

Колебание третьей гармоники струны (кликабельно)

Здесь струна колеблется уже «третями» - внешние трети идут в одном направлении, средняя в обратном. А частота этого колебания втрое выше, чем у первой гармоники (в нашем случае - 330 Гц). Здесь уже два узла колебания - в точках, делящих струну на три равные части.

Остальные колебания устроены по тому же принципу. Чем дальше, тем больше частота колебания, количество частей и «узлов» между ними:

Амплитуда колебаний первых десяти гармоник струны в разных её участках

Подытожим: в разных точках струны происходят разные картины колебаний, с различными соотношениями гармоник. Например, в середине струны вторая гармоника отсутствует, а первой или третьей тут полно. Например, если взять точку струны совсем рядом с краем струны, то первой гармоники там будет мало, а четвёртой - заметно больше, чем первой. И у каждой гармоники своё «распределение по струне».

Флажолеты

Посмотрим теперь на самый простой натуральный флажолет: прикасаемся к струне пальцем левой руки над 12 ладом, а правой рукой дёргаем струну и получаем ноту на октаву выше.

Что за магия? Как так получается? Сейчас разберёмся.

Вернёмся опять к пятой струне с рядом гармоник {110, 220, 330, 440, 550, ...} герц.

Когда струну просто дёргают, в её колебании есть все возможные гармоники. А вот при извлечении флажолета палец, который прикоснулся к струне, убирает часть гармоник. Если палец находится над узлом колебания какой-то гармоники, он не мешает этому колебанию (примерно так). В остальных случаях - мешает, и колебание гаснет.

В нашем примере палец находится на середине струны: в этом месте у всех чётных гармоник находится узел колебания, а у всех нечётных - максимум колебания. Поэтому палец оставляет только чётные гармоники, а все нечётные «вырубает». И струна, вместо того, чтобы выдать свой полный ряд гармоник {110, 220, 330, 440, 550, ...} герц, теперь выдаёт ряд {220, 440, 660, 880, 1100, ...} герц. А значит, вместо ноты с частотой 110 Гц теперь звучит нота с частотой 220 Гц (гармоники - частота 220 Гц и кратные ей). А это - нота на октаву выше.

Повышение частоты ноты в 2 раза всегда делает эту ноту на октаву выше. Например, нота с частотой 220 Гц на октаву выше ноты с частотой 110 Гц.
Соотношение частот 3:2 даёт квинту. Например, нота с частотой 660 Гц на квинту выше ноты с частотой 440 Гц.
Соотношение 4:3 - даёт кварту.
Соотношение 5:4 - большую терцию.
Соотношение 6:5 - малую терцию.
На самом деле всё немножко сложнее, но об этом - в другой раз.

Палец, стоящий над 7-м или 19-м ладом, находится над узлом колебания третьей гармоники. Поэтому он глушит всё кроме третьей гармоники и кратных ей (3-я, 6-я, 9-я,..). Частота ноты от такого флажолета увеличится в 3 раза и вместо ноты на открытой струне получится нота на октаву+квинту выше её.

Палец над 5-м или 24-м ладом оставляет только четвёртую гармонику и кратные ей и повышает частоту ноты в 4 раза (плюс 2 октавы).

Палец над 4-м ладом, 9-м или 16-м ладом оказывается над узлом пятой гармоники и повышает частоту ноты в 5 раз (плюс 2 октавы и большая терция).

Видео 3: Флажолеты на открытой третьей струне в сравнении с обычной открытой струной. 12-й лад, 7-й, 5-й, и 4-й

У искусственных флажолетов (классический двухпальцевый, рокерский медиаторный, или тэповый флажолет) техника исполнения другая, но принцип действия тот же: мы заставляем струну колебаться и в то же время запрещаем ей колебаться в какой-то конкретной точке, «выключая» таким образом часть гармоник.

Один нюанс: искусственные флажолеты обычно играются на прижатых струнах. А у прижатой струны точки, где нужно делать флажолеты, сдвигаются. Например, если прижать ноту на 2 ладу, все флажолетные точки сдвинутся на 2 лада ближе к бриджу: середина струны теперь на 14-м ладу, точки, которые делят струну на трети - на 9-м или 21-м, и так далее.

Звукосниматель и струна

Теперь вернёмся от флажолетов к обычному звукоизвлечению и посмотрим, что происходит при съёме струны звукоснимателем.

У каждой гармоники амплитуда колебания варьируется в зависимости от того, какую точку струны мы рассматриваем. Эта зависимость у разных гармоник разная, так что в каждой точке струны своя картина гармоник. Магнитный звукосниматель электрогитары или баса снимает колебания не всей струны, а только её небольшой части, которая находится под ним. Попробуем разобраться, как зависит картина колебаний от того, какую точку струны мы снимаем.

Если звукосниматель стоит над узлом колебаний какой-то гармоники, то он её не снимет. Если рядом с узлом - снимет, но слабо. Чем дальше от узлов, тем больше этой гармоники попадёт в звукосниматель.

Если у вас под рукой есть стратокастер, можно проделать простой эксперимент: воткнуться в комбик, или во что угодно, главное - на чистом звуке, никакого подгруза. Переключиться на бриджевый звучок. Взять на любой струне открытый флажолет на 5-м ладу. Переключиться на нэковый звучок. Взять такой же флажолет. Разница будет радикальной - во втором случае звука практически нет.
А всё потому, что нэковый звукосниматель на стратокастере расположен практически на 1/4 длины открытой струны. Поэтому 4-ю гармонику открытой струны (и кратные ей) он практически не улавливает. А извлекая открытый флажолет на 5-м ладу, мы как раз оставляем только эти гармоники.

Допустим, звукосниматель стоит ровно под серединой струны (серая линия на картинке ниже). В этом месте у всех нечётных гармоник максимум колебания, а у всех чётных - «узел». Поэтому на выходе этого звукоснимателя будут только нечётные гармоники, а чётных не будет. Например, если взять всё ту же струну Ля, то вместо ряда {110, 220, 330, 440, 550, ...} Гц датчик выдаст ряд {110, 330, 550, 770, 990, ...} Гц. Заметим, в отличие от флажолетов это не даст другую ноту - у нас все гармоники по прежнему кратны 110 герцам, а не чему-то другому.

Теперь более реалистичный пример. Возьмём три звукоснимателя:
«нэковый» - на расстоянии 1/4 длины струны от бриджа,
«бриджевый» - на 1/20 длины струны от бриджа,
и «средний» - между ними, примерно на 1/7 длины струны от бриджа
(приблизительно так расположены три сингла на стратокастере)...

И посмотрим, какие гармоники открытой струны и в каких количествах в эти датчики попадут.

Например, из картинки выше понятно, что «нэковый» звукосниматель (синяя линия) не будет «слышать» четвёртую гармонику (а так же восьмую и все остальные гармоники, кратные четвёртой). Вторую, шестую и десятую он «услышит» максимально. Первую - процентов на 70. И так далее. Пройдёмся по всем 10 гармоникам во всех четырёх положениях и увидим такие картины гармоник:

Амплитуда колебаний первых десяти гармоник струны в четырёх точках (по клику откроется в полном размере)

Уже видно, почему нэковый датчик звучит «глубже» бриджевого - он получает гораздо больше нижних гармоник.

Обнаружилось интересное: звукосниматель работает как фильтр - в каждом случае имеется характерный ряд провалов в картине гармоник. Чем ближе к бриджу, тем эти провалы выше и реже (у «красного датчика» первый провал придётся на 20-ю гармонику). Если датчик стоит над узлом какой-то гармоники - он полностью теряет эту гармонику и все кратные ей. Если нет - провал попадёт куда-то между гармониками, как у нашего «зелёного датчика». Положение провала относительно гармоник изменяется РОВНО во столько же раз, во сколько датчик стал ближе или дальше от бриджа.

С открытой струной мы разобрались. Когда мы прижимаем струну на любом ладу, её вибрирующая часть укорачивается и вся картина колебаний сжимается по направлению к бриджу - все точки и участки (максимумы, узлы гармоник и всё остальное) сдвигаются на новое место. Звукосниматель, конечно же, остался там же где и был, поэтому теперь он «слышит» другую картину гармоник.

И частоты этих гармоник тоже получатся другие - ведь струну укоротили и увеличили этим частоту её колебаний. Поэтому происходят две штуки:

1. Вся картина колебаний струны «ужимается»: все точки (середина, треть струны и так далее) сдвигаются и становятся в N раз ближе к бриджу. Так как звукосниматель никуда не двигался, то его положение относительно струны теперь в N раз «дальше» от бриджа. А от этого положение «провалов» относительно гармоник понижается в N раз.
2. Частота колебания струны и частоты всех гармоник становятся выше в ТЕ ЖЕ N раз.

Эти два явления полностью уравновешивают друг друга - во сколько раз увеличивается частота гармоник, во столько же падает положение «провалов» относительно гармоник. В итоге частоты «провалов» в герцах у нашей струны не меняются!

Я это подробно расписывать не буду, только проиллюстрирую «на пальцах».
Рассмотрим «синий» звукосниматель, стоящий в 1/4 длины струны от бриджа. Берём открытую пятую струну. Она издаёт колебания с частотами {110, 220, 330, 440, 550, ...} Гц, а звучок из-за своего расположения «проваливает» 4-ю гармонику и кратные ей - то есть, частоты 440, 880, 1320 Гц и т.д.
Прижмём эту же струну на 12 ладу. Теперь струна колеблется с частотами {220, 440, 660, 880, 1100, ...} Гц, а звукосниматель находится на её середине и «теряет» все чётные гармоники - то есть всё те же 440, 880, 1320 Гц и т.д. Теперь это не каждая четвёртая, а каждая вторая гармоника, но частоты то те же.

Это легко проверить: подключаем гитару, включаем спектроанализатор, выбираем один из звукоснимателей и делаем слайд по всей струне. Будут видны характерные частотные провалы, которые НЕ ЗАВИСЯТ от того, на каком ладу нота:

Видео 4: частотные провалы на одной и той же струне, снятой сначала бриджевым, потом нэковым синглом.

Чем ближе к бриджу расположен звукосниматель, тем провалы реже и выше.

Положение «провалов» зависит только от двух вещей:
1. Частота колебания открытой струны.
2. Положение звукоснимателя относительно струны.
Поэтому «фильтр» на каждой струне будет свой - чем выше настроена струна, тем провалы выше и реже. Это хорошо видно при игре чистых переборов, например:

Видео 4: частотные провалы всех шести струнах, снятых нэковым синглом. Аккордовый перебор, снятый им же.

Основная причина, по которой различается звук датчиков, расположенных под разными участками струны - это «фильтр», который получается из-за того, что гармоники определённым образом распределены по струне. Этот фильтр существует всегда, где бы ни находился датчик. Структура его одинакова, меняется лишь масштаб.

Одно из следствий всего этого - чем ближе к бриджу, тем больше изменение положения звукоснимателя сказывается на звуке. Если сдвинуть нэковый звукосниматель на пару сантиметров в сторону - частоты «фильтра» сместятся на несколько процентов. Если на столько же сдвинуть бриджевый датчик - частоты сдвинутся на несколько десятков процентов. Потому что вопрос не в том, насколько сдвинулся датчик, а во сколько раз он ближе/дальше к бриджу. Надо воспринимать всё логарифмически.

В частности, иногда встаёт вопрос - какую из катушек оставлять рабочей при отсечке хамбакера? Так вот у нэкового хамбакера разница между катушками получится совсем небольшая, а у бриджевого - радикальная.

Недавно вконтакте

На рис.3 представлены типичные зависимости квадрата частот колебаний струны от силы натяжения для различных гармоник n . Наблюдение cобcтвенныx колебаний cтpуны затpуднено, так как они отноcительно быcтpо затуxают. Поэтому в pаботе pаccматpиваютcя колебания, возбуждаемые поcтоянно дейcтвующей пеpиодичеcкой вынуждающей cилой.

Экспериментальная установка

Уcтановка (pиc. 4) состоит из металличеcкой рамы, состоящей из двух направляющих труб (1) , закрепленных на определенных расстояниях с помощью брусков (2) . На одном из брусков (2) установлена стойка (3) предназначенная для закрепления одного конца струны (4). На другом бруске (2) установлено устройство А , служащее для изменения натяжения струны и состоящее из пружинного динамометра (5) и узла его перемещения (6) . К пружине динамометра закреплен другой конец струны (4) . Сила натяжения изменяется ручкой (7) , а измеряется пружинным динамометром (5) . На направляющих трубах (2) укрепляются на определенных расстояниях бруски с установленными на них элементами. Стойками (8) устанавливается рабочая длина струны (4) . Длина струны между двумя закрепленными ее концами, равная расстоянию между стойками (8) измеряется линейкой (9) , находящейся на одной из труб. Колебания струны возбуждаются с помощью электромагнитного вибратора (10) , питаемого переменным током от генератора (11) , который имеет встроенный частотометр. Эле ктромагнитный вибратор (10) заставляет струну совершать вынужденные колебания с частотой генератора (11) . Амплитуда колебаний регистрируется электромагнитным датчиком (12) , соединенным с вольтметром (13) . Величина сигнала, выдаваемого электромагнитным датчиком, зависит от его расстояния до струны. Это изменение осуществляется с помощью винта (14) . Аналогичное устройство используется для регулировки расстояния между вибратором и струной. Расстояние между струной и вибратором меняется с помощью винта (15) , при этом изменяется амплитуда вынужденных колебаний струны.

Проведение эксперимента
Упражнение 1. Установление зависимости частот собственных колебаний от силы натяжения струны.
Cила натяжения P опpеделяет cкоpоcть pаcпpоcтpанения возмущения вдоль cтpуны (2) и, cледовательно, чаcтоту cобcтвенныx колебаний (19). В этом упpажнении экcпеpиментально опpеделяетcя xаpактеp завиcимоcти v n от cилы натяжения cтpуны P .

Измерения

Стойками (8) установите максимальную кратную 10 см длину струны. Натяните струну с силой 2 кГс (1 кГс=9.8 Н). Вибратор установите в положение, отстоящее на 10 см от закрепленного конца струны. Установите датчик приблизительно в 10 см от середины струны.

Изменяя частоту генератора ручкой "грубо" (начиная от нулевого значения по его школе) зафиксируйте максимальное отклонение стрелки вольтметра, регистрирующего амплитуду колебаний струны. При этом частота колебаний струны, установленная по шкале встроенного в генератор есть "грубое" значение экспериментально установленной резонансной частоты. Для определения точного значения величины v эксп воспользуйтесь шкалой "плавно" генератора. Поворачивая вправо или влево ручку генератора "плавно" добейтесь максимального отклонения стрелки (если при этом стрелка выходит за предел шкалы, увеличивайте диапазон измерений вольтметра ручкой "диапазон"). Запишите показание встроенного частотомера. Это значение резонансной частоты.

Установите, какой из гармоник соответствует данное колебание. Для этого не изменяя частоту генератора, перемещая датчик вдоль струны, определите количество узловых точек (при нахождении датчика под узловой точкой его сигнал равен нулю). Номер гармоники n колебания опpеделяетcя по фоpмуле n = N + 1 , где N - число узлов (не считая точки закрепления).

Увеличивая частоту колебаний, описанным выше образом, чтобы установите резонансные частоты для последующих четырех гармоник. Экспериментально установленные значения v эксп занесите в табл. 1.

Установите значения нормальных колебаний первых гармоник для различных значений натяжения струны P . Для этого в области частот нормальных колебаний для соответствующих гармоник, установите частоты при которых наблюдаются максимальные колебания (по вольтметру) струны для сил ее натяжения равных 2, 3, 4, 5, 6 и 7 кГс. Экспериментально установленные значения v эксп занесите в табл. 1.

Обработка результатов

С помощью выражения (19) определите теоретические значения частот v теор нормальных колебаний для пяти первых гармоник при натяжениях струны равных 2, 3, 4, 5, 6 и 7 кГс. Результаты расчетов внесите в табл.1.

Постройте теоретические зависимости квадрата частоты v 2 теор от силы натяжения P для пяти первых гармоник колебаний. Они должны быть подобны показанным на рис.3.

Отметьте на теоретических зависимостях квадраты экспериментально установленных значений частот пяти первых гармоник нормальных колебаний для разных величин P . Проведите сравнение экспериментальных и теоретических значений v 2 n для нормальных колебаний.

Таблица 1

P , кГс	1-я гармоника		2-я гармоника		3-я гармоника		4-я гармоника		5-я гармоника
P , кГс	v эксп	v теор	v эксп	v теор	v эксп	v теор	v эксп	v теор	v эксп	v теор
2
3
4
5
6
7

Упражнение 2. Определение зависимости номера гармоники колебания от натяжения струны.

Из рис. 3 видно, что значение v 2 (а следовательно и частоты нормальных колебаний) для разных гармоник могут принимать одинаковые значения при определенных величинах силы натяжения струны P . Поэтому меняя силу натяжения струны можно наблюдать различные гармоники нормальных колебаний на одной и той же частоте. В данном упражнении за счет изменения силы натяжения струны проводят наблюдение различных гармоник нормальных колебаний на одной и той же частоте.
Измерения

Натяните струну с силой 2 кгс и найдите 5-ю гармонику по методике, описанной в упр.1.

Не меняя частоты генератора и увеличивая натяжение струны определяют значения P , при которых наблюдаются максимальные значения амплитуд колебаний. По методике, описанной в упр.1 устанавливают число узловых точек и соответственно номера гармоник для данных нормальных колебаний.

Найденные значения сил натяжения и соответствующие им номера гармоник занесите в табл.2.

Таблица 2

Обработка результатов
Постройте график зависимости n от P .

Упражнение 3. Опpеделение завиcимоcти чаcтот cобcтвенныx колебаний от длины cтpуны.

Измерения

Установите силу натяжения струны 3кГс.

Используя методику, описанную в упр.1 определите значения частот 1 и 2 гармоник собственных колебаний. Результаты занесите в табл.3

Изменяя длину струны (уменьшая каждый раз ее длину примерно на 20 %) определите значения частот 1 и 2 гармоник ее собственных колебаний. Результаты эксперимента занесите в табл.3

Таблица 3

L , см	1/L , см -1	1-я гармоника		2-я гармоника
L , см	1/L , см -1	v эксп	v теор	v эксп	v теор

Обработка результатов

С помощью выражения (19) определите теоретические значения частот 1 и 2 гармоник собственных колебаний струны при тех ее длинах, для которых получены экспериментальные результаты. Результаты занесите в табл.3.

Постройте теоретические зависимости v 1,2 от величины, обратной длине струны 1/L .

Отметьте на теоретических зависимостях экспериментально установленные значения частот 1 и 2 гармоник нормальных колебаний для разных значений 1/L . Проведите сравнение экспериментальных и теоретических значений v 1,2 для нормальных колебаний.

Основные итоги работы
В xоде pаботы должны быть экcпеpиментально получены завиcимоcти чаcтот cобcтвенныx колебаний cтpуны от cилы натяжения и длины. Результаты должны быть cопоcтавленны c теоpетичеcки pаccчитанными завиcимоcтями для извеcтной линейной плотноcти cтpуны.
Контрольные вопросы

Что такое свободные, вынужденные, собственные и нормальные колебания системы?

Сколько степеней свободы имеет натянутая струна, сколько нормальных колебаний в ней может быть возбуждено?

Вывести волновое уравнение.

Вывести связь между частотой нормального колебания, длиной струны и скоростью распространения волны в струне.

Что происходит в струне, когда частота внешнего сигнала выбрана произвольно (не обязательно равной одной из собственных частот)?

Литература

Стрелков С.П. Механика, М. Наука, 1975, гл.15, § 143.

Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.1. Механика. М. Наука, 1989, § 84.

Наиболее важные приложения ряды (и интегралы) Фурье имеют в области математической физики. Желая осветить эти приложения примерами, мы начнем с классической задачи о колебании струны, которая сыграла важную роль в самой постановке вопроса о возможности тригонометрического разложения функции.

Под струной мы разумеем свободно изгибающуюся и невесомую нить. Пусть такая струна, длины закреплена концами в точках оси х и под действием натяжения Н располагается в равновесии вдоль этой оси (рис. 138). Представим себе, что в момент струна выводится из положения равновесия и, вдобавок, точки ее снабжаются некоторыми скоростями в вертикальном направлении.

Тогда точки струны начнут колебаться в вертикальной же плоскости. Если допустить, что каждая точка М струны с абсциссой х колеблется строго вертикально, то ее отклонение у в момент времени 0 от положения равновесия будет функцией от обеих переменных

Задача и состоит в определении этой функции.

Ограничимся рассмотрением лишь малых колебаний струны, при которых величины у и малы (так что струна незначительно отдаляется от положения равновесия и остается пологой); это дает нам право пренебрегать квадратами этих малых величин.

Возьмем элемент струны в момент времени t (см. рис.); его длину, в силу сказанного, можно считать равной его первоначальной длине в начальный момент, ибо

Раз мы пренебрегаем изменениями длины, то и натяжение струны мы можем считать неизменным.

На выделенный элемент струны действует в точке М натяжение Н, направленное влево по касательной в этой точке, а в точке - такое же натяжение, но направленное вправо по касательной. Если через а и а обозначить соответствующие углы наклона касательной, то сумма вертикальных составляющих этих сил (а только их нам и нужно учитывать) будет

Здесь мы снова воспользовались правом отбрасывать квадраты малых величин (например, положили

а затем приращение функции заменили ее дифференциалом.

Если обозначить через «линейную» плотность струны, то масса элемента будет

Тогда по закону движения Ньютона произведение массы элемента на ускорение должно равняться найденной выше силе, действующей на этот элемент:

окончательно получим такое дифференциальное уравнение в частных производных:

которое и описывает изучаемое явление.

Кроме этого уравнения, искомая функция должна удовлетворять еще ряду требований, прежде всего - так называемым предельным или граничным условиям:

выражающим факт закрепления концов струны. Затем, если функции характеризуют отклонения и скорости точек струны в момент то должны выполняться и начальные условия:

Таким образом, задача сводится к разысканию такой функции которая удовлетворяла бы уравнению (2) и условиям (3) и (4).

Начнем, следуя по пути, указанному Фурье, с разыскания частных решений уравнения (2), удовлетворяющих, сверх того, предельным условиям (3), но отличным от нулевого решения (начальные условия мы пока оставляем в стороне). Упомянутые частные решения мы станем искать в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от х, а другая - только от

Уравнение (2) в этом случае принимает вид

где штрихи означают производные по той переменной, от которой функция зависит, или

Так как левая часть этого равенства не зависит от х, а вторая - от t, то общее значение их по необходимости не зависит ни от х, ни от t и сводится

к постоянной, которую мы возьмем в виде Тогда уравнение (5) распадается на два:

их решения «общие интегралы» имеют вид:

Для того чтобы функция удовлетворяла предельным условиям (3), им должна удовлетворять функция X. Полагая сразу видим, что полагая же и учитывая, что уже не может быть нулем, придем к условию

откуда при натуральном Таким образом, X может иметь одно из следующих значений:

Полагая при

придем к такой последовательности частных решений:

Нетрудно видеть, что поставленным требованиям будет удовлетворять и сумма этих решений, взятых в любом числе. Это наталкивает на мысль рассмотреть бесконечный ряд, составленный из всех таких решений, и положить

Мы примем пока, что этот ряд сходится и что сумма его удовлетворяет уравнению (2); выполнение условий (3) очевидно. Теперь лишь обращаемся мы к начальным условиям (4) и постараемся распорядиться постоянными так, чтобы удовлетворить и им. Допустим, что для ряда (8) законно почленное дифференцирование по t, так что

Полагая в (8) и (9) , приходим к условиям

Отсюда, если только функции удовлетворяют условиям разложимости в ряд Фурье, по формулам (25) п° 689 и определяются, наконец, искомые

коэффициенты:

Мы получили, таким образом, по крайней мере формально, полное решение поставленной задачи в виде ряда (8) с коэффициентами, вычисленными по формулам (11)!

Правда, вопрос о том, будет ли оно действительно решением, пока остается открытым. Для того чтобы ответить на него, наложим теперь требования на функции и именно, пусть функция будет дифференцируема, а функция дважды дифференцируема, причем производные и предположим имеющими ограниченное изменение в промежутке Тогда имеют место такие оценки:

Оба разложения (10) в действительности имеют место во всем промежутке сходится и разложение (8), причем определяемая им функция удовлетворяет как предельным, так и начальным условиям (почленное дифференцированное по t теперь оправдывается равномерной сходимостью ряда Несколько сложнее удостовериться в том, что эта функция удовлетворяет самому дифференциальному уравнению.

Заметим, что ряды (10) сходятся и за пределами промежутка обозначая их суммы по-прежнему через мы получаем, таким образом, распространения этих функций на весь бесконечный промежуток с сохранением их дифференциальных свойств, за исключением разве лишь точек вида при целом к. Ряд для равномерно сходящийся в любом конечном промежутке, можно почленно проинтегрировать, так что

Участвующие в таком элементарном колебании точки струны все колеблются с одной и той же частотой или, если угодно, с одним и тем же периодом, которому отвечает тон определенной высоты. Амплитуда колебания каждой точки зависит от ее положения; она равна

Вся струна разбивается на равных участков, причем точки одного и того же участка находятся всегда в одной и той же фазе, а точки соседних участков - в прямо противоположных фазах. На рис. 139 изображены последовательные положения струны для случаев . Точки, отделяющие один участок от другого, находятся в покое; это - так называемые «узлы». Середины участков («пучности») колеблются с наибольшей амплитудой. Описанное явление носит название стоячей волны; отсюда и сам метод Фурье обычно называют методом стоячих волн.

Основной тон определяется первой составляющей ей отвечает частота и период Остальные тона, одновременно с основным издаваемые струной, или обертоны, характеризуют определенную «окраску» звука, или его тембр. Если нажать пальцем в середине струны, то сразу заглохнут как основной тон, так и нечетные обертоны, для которых там была пучность. Четные обертоны, для которых на середину струны приходится узел, все сохранятся; среди них роль основного будет играть второй обертон, с периодом и струна станет издавать октаву первоначального тона. Все это можно прочитать по полученному решению нашей задачи!

Для опытов со струной удобен прибор, изображенный на рис. 98. Один коней струны закреплен, а другой перекинут через блок, и к нему можно подвешивать тот или иной груз. Таким образом, сила натяжения струны нам известна: она равна весу груза. Доска, над которой натянута струна, снабжена шкалой. Это позволяет быстро определить длину всей струны или какой-либо ее части.

Рис. 98. Прибор для исследования колебаний струны

Оттянув струну посередине и отпустив, мы возбудим в ней колебание, изображенное на рис. 99, а. На концах струны получаются узлы, посередине - пучность.

Рис. 99. Свободные колебания струны: а) с одной пучностью; б) с двумя пучностями; в) с тремя пучностями

С помощью этого прибора, меняя массу груза, натягивающего струну, и длину струны (перемещая добавочный зажим со стороны закрепленного конца), нетрудно экспериментально установить, чем определяется собственная частота колебания струны. Эти опыты показывают, что частота колебания струны прямо пропорциональна корню квадратному из силы натяжения струны и обратно пропорциональна длине струны, т. е.

Что касается коэффициента пропорциональности, то он зависит, как оказывается, только от плотности того материала, из которого сделана струна, и от толщины струны , а именно он равен . Таким образом, собственная частота колебаний струны выражается формулой

В струнных инструментах сила натяжения создается, конечно, но подвешиванием грузов, а растягиванием струны при накручивании одного из ее концов ни вращающийся стерженек (колок). Поворотом колка, т. е. изменением силы натяжения , осуществляется и настройка струны на требуемую частоту.

Поступим теперь следующим образом. Оттянем одну половинку струны вверх, а другую - вниз с таким расчетом, чтобы средняя точка струны не сместилась. Отпустив одновременно обе оттянутые точки струны (отстоящие от концов струны на четверть ее длины), мы увидим, что в струне возбудится колебание, имеющее, кроме двух узлов на концах, еще узел посередине (рис. 99, б) и, следовательно, две пучности. При таком свободном колебании звук струны получается в два раза выше (на октаву выше, как принято говорить в акустике), чем при предыдущем колебании с одной пучностью, т. е. частота равна теперь . Струна как бы разделилась на две более короткие струны, натяжение которых прежнее.

Можно возбудить далее колебание с двумя узлами, делящими струну на три равные части, т. е. колебание с тремя пучностями (рис. 99, в). Для этого нужно оттянуть струну в трех точках, как показано стрелками на рис. 99, в. Частота этого колебания равна . Оттягивая струну в нескольких точках, трудно получить колебания с еще большим числом узлов и пучностей, но такие колебания возможны. Их удается возбудить, например, проводя по струне смычком в том месте, где должна получиться пучность, и слегка придерживая пальцами ближайшие узловые точки. Такие свободные колебания с четырьмя, пятью пучностями и т. д. имеют частоты и т. д.

Итак, у струны имеется целый набор колебаний и соответственно целый набор собственных частот, кратных наиболее низкой частоте . Частота называется основной, колебание с частотой называется основным тоном, а колебания с частотами и т. д.- обертонами (соответственно первым, вторым и т. д.).

В струнных музыкальных инструментах колебания струн возбуждаются либо щипком или рывком пластинкой (гитара, мандолина), либо ударом молоточка (рояль), либо смычком (скрипка, виолончель). Струны совершают при этом не одно какое-нибудь из собственных колебаний, а сразу несколько. Одной из причин того, почему разные инструменты обладают различным тембром (§ 21), является как раз то, что обертоны, сопровождающие основное колебание струны, выражены у разных инструментов в неодинаковой степени. (Другие причины различия тембра связаны с устройством самого корпуса инструмента - его формой, размерами, жесткостью и т. п.)

Наличие целой совокупности собственных колебаний и соответствующей совокупности собственных частот свойственно всем упругим телам. Однако, в отличие от случая колебания струны, частоты обертонов, вообще говоря, не обязательно в целое число раз выше основной частоты.

На рис. 100 схематически показано, как колеблются при основном колебании и двух ближайших обертонах пластинка, зажатая в тиски, и камертон. Разумеется, на закрепленных местах всегда получаются узлы, а на свободных концах - наибольшие амплитуды. Чем выше обертон, тем больше число дополнительных узлов.

Рис. 100. Свободные колебания на частоте основного тона и двух первых обертонов: а) пластинки, зажатой в тиски; б) камертона

Говоря ранее об одной собственной частоте упругих колебаний тепа, мы имели в виду его основную частоту и попросту умалчивали о существовании более высоких собственных частот. Впрочем, когда речь шла о колебаниях груза на пружинке или о крутильных колебаниях диска на проволоке, т. е. об упругих колебаниях систем, у которых почти вся масса сосредоточена в одном месте (груз, диск), а деформации и упругие силы - в другом (пружина, проволока), то для такого выделения основной частоты имелись все основания. Дело в том, что в таких случаях частоты обертонов, начиная уже с первого, во много раз выше основной частоты, и поэтому в опытах с основным колебанием обертоны практически не проявляются.