Начало возможных перемещений. Начало возможных перемещений Теоремы Бетти и Максвелла
Лабораторная работа № 10
Цель работы – проверить опытным путем справедливость теоремы о взаимности перемещений и на ее основе построить упругую линию балки.
Основные сведения
Теорема о взаимности работ гласит, что работа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием второй силы равна работе второй силы на перемещении точки ее приложения под действием первой силы, т.е.
F 1 у 12 = F 2 у 21 = W.(10.1)
Если силы равны, то теорема переходит в теорему о взаимности перемещений: перемещение первого сечения под действием силы, приложенной во втором сечении, равно перемещению второго сечения под действием той же силы, но приложенной в первом сечении.
у 12 = у 21 . (10.2)
Порядок выполнения и обработка результатов
Опыты проводятся на настольной установке СМ-4, представляющей собой двухопорную балку описанную в лабораторной работе № 9 .
Проверка теоремы о взаимности перемещений (рис. 10.1) выполняется следующим образом.
Рис. 10.1. Проверка теоремы о взаимности перемещений
В двух произвольных сечениях балки устанавливаются стрелочные индикаторы и гиревые подвесы (сечения 1 и 2 рис. 10.1, а). На индикаторе сечения 2 снимается начальный отсчет, балка нагружается в сечении 1 нагрузкой F и снимается отсчет индикатора, установленного в сечении 2 (см. рис. 10.1, б). Разность данного и начального отсчетов равна величине прогиба у 21 в сечении 2. Затем балка разгружается.
Данные по F и у 21 заносятся в журнал испытаний. Далее на индикаторе, установленном в сечении 1, снимается начальный отсчет, балка нагружается в сечении 2 той же нагрузкой F и по разности отсчетов индикатора 1 определяется величина прогиба у 12 (см. рис. 10.1, в).
Балка разгружается и данные по у 12 заносятся в журнал испытаний. Сопоставлением полученных данных по равенству (10.2) проверяется теорема о взаимности перемещений. Если равенство (10.2) не соблюдается, определяют процент погрешности
и делают выводы.
Используя теорему о взаимности перемещений, можно с помощью одного индикатора, закрепленного стационарно в сечении приложения нагрузки заданной расчетной схемы (рис. 10.2), определить экспериментально перемещения балки в любом сечении и построить упругую линию балки.
Рис. 10.2. Построение упругой линии балки
Индикатор линейных перемещений устанавливается в том сечении балки, в котором по расчетной схеме прикладывается заданная нагрузка. Один гиревой подвес размещается на консоли, второй – внутри пролета.
Определяются перемещения сечения, в котором установлен индикатор, при последовательном приложении заданной нагрузки F в расчетные точки 1 … 10 (см. рис. 10.2). Эта операция включает в себя установку гиревого подвеса в расчетную точку, снятие начального отсчета по индикатору, приложение заданной нагрузки F к гиревому подвесу, снятие отсчета индикатора и определение приращения отсчетов, равного определяемому перемещению. Для приложения нагрузки в сечениях, расположенных на консоли, используется второй гиревой подвес.
Согласно теореме о взаимности перемещений, эти перемещения будут равны перемещениям расчетных точек при приложении нагрузки F в сечении установки индикатора.
Полученные значения перемещений заносятся в журнал испытаний.
Для сравнения экспериментальных перемещений с теоретическими последние просчитываются для заданной
Доказательство теоремы о взаимности работ
Наметим на балке две точки 1 и 2 (рис. 15.4, а).
Приложим статически в точке 1 силу . Она вызовет в этой точке прогиб , а в точке 2 – .
Для обозначения перемещений мы используем два индекса. Первый индекс означает место перемещения, а второй – причину, вызывающую это перемещение. То есть, почти как на конверте письма, где мы указываем: куда и от кого.
Так, например, означает прогиб балки в точке 2 от нагрузки .
После того, как закончен рост силы . приложим в точке 2 к деформированному состоянию балки статическую силу (15.4, б). Балка получит дополнительные прогибы: в точке 1 и в точке 2.
Составим выражение для работы, которую совершают эти силы на соответствующих им перемещениях: .
Здесь первое и третье слагаемые представляют собой упругие работы сил и . Согласно теореме Клапейрона, они имеют коэффициент . У второго слагаемого этого коэффициента нет, поскольку сила своего значения не изменяет и совершает возможную работу на перемещении , вызванном другой силой .
Начало возможных перемещений, являясь общим принципом механики, имеет важнейшее значение для теории упругих систем. Применительно к ним этот принцип можно сформулировать следующим образом: если система находится в равновесии под действием приложенной нагрузки, то сумма работ внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях системы равна нулю.
где
- внешние силы;
- возможные перемещения этих сил;
- работа внутренних сил.
Заметим, что в процессе совершения системой возможного перемещения величина и направление внешних и внутренних сил остаются неизменными. Поэтому при вычислении работ следует брать на половину, а полную величину произведения соответствующих сил и перемещений.
Рассмотрим два состояния какой-либо
системы, находящейся в равновесии (рис.
2.2.9). В состоянии
система деформируется обобщенной силой
(рис. 2.2.9, а), в состоянии
- силой
(рис. 2.2.9, б).
Работа сил состояния
на перемещениях состояния
,
как и работа сил состояния
на перемещениях состояния
,
будет возможной.
(2.2.14)
Вычислим теперь возможную работу
внутренних сил состояния
на перемещениях, вызванных нагрузкой
состояния
.
Для этого рассмотрим произвольный
элемент стержня длиной
в обоих случаях. Для плоского изгиба
действие удаленных частей на элемент
выражается системой усилий
,
,
(рис. 2.2.10, а). Внутренние усилия имеют
направления, противоположные внешним
(показаны штриховыми линиями). На рис.
2.2.10, б показаны внешние усилия
,
,
,
действующие на элемент
в состоянии
.
Определим деформации, вызванные этими
усилиями.
Очевидно удлинение элемента
,
вызванное силами
.
Работа внутренних осевых сил
на этом возможном перемещении
. (2.2.15)
Взаимный угол поворота граней элемента,
вызванный парами
,
.
Работа внутренних изгибающих моментов
на этом перемещении
. (2.2.16)
Аналогично определяем работу поперечных
сил
на перемещениях, вызванных силами
. (2.2.17)
Суммируя полученные работы, получаем
возможную работу внутренних сил,
приложенных к элементу
стержня, на перемещениях, вызванной
другой, вполне произвольной нагрузкой,
отмеченной индексом
Просуммировав элементарные работы в пределах стержня, получим полное значение возможной работы внутренних сил:
(2.2.19)
Применим начало возможных перемещений, суммируя работу внутренних и внешних сил на возможных перемещениях системы, и получим общее выражение начала возможных перемещений для плоской упругой стержневой системы:
(2.2.20)
Т. е., если упругая система находится в
равновесии, то работа внешних и внутренних
сил в состоянии
на возможных перемещениях, вызванных
другой, вполне произвольной нагрузкой,
отмеченной индексом
,
равна нулю.
Теоремы о взаимности работ и перемещений
Запишем выражения начала возможных
перемещений для балки, показанной на
рис. 2.2.9, приняв для состояния
в качестве возможных перемещения,
вызванные состоянием
,
а для состояния
- перемещения, вызванные состоянием
.
(2.2.21)
(2.2.22)
Так как выражения работ внутренних сил одинаковы, то очевидно, что
(2.2.23)
Полученное выражение носит название
теоремы о взаимности работ (теоремы
Бетти). Она формулируется следующим
образом: возможная работа внешних (или
внутренних) сил состояния
на перемещениях состояния
равна возможной работе внешних (или
внутренних) сил состояния
на перемещениях состояния
.
Применим теорему о взаимности работ к
частному случаю нагружения, когда в
обоих состояниях системы приложено по
одной единичной обобщенной силе
и
.
Рис. 2.2.11
На основании теоремы о взаимности работ получаем равенство
, (2.2.24)
которое носит название теоремы о взаимности перемещений (теоремы Максвелла). Формулируется она так: перемещение точки приложения первой силы по ее направлению, вызванное действием второй единичной силы, равно перемещению точки приложения второй силы по ее направлению, вызванному действием первой единичной силы.
Теоремы о взаимности работ и перемещений существенно упрощают решение многих задач при определении перемещений.
Пользуясь теоремой о взаимности работ,
определим прогиб
балки посредине пролета при действии
на опоре момента
(рис. 2.2.12, а).
Используем второе состояние балки –
действие в точке 2 сосредоточенной силы
.
Угол поворота опорного сечения
определим из условия закрепления балки
в точке В:
Рис. 2.2.12
Согласно теореме о взаимности работ
,
Рассмотрим два различных состояния (в порядке загружения) одной и той же упругой системы:состояния 1 при действии группы сил и состояние 2 при действий группы сил на примере балки на рис.33, а
. Определим и сопоставим работу внешних сил в следующих предположениях. Сначала система постепенно загружается силами состояния 1, а затем, когда силы достигнут окончательного значения, система будет постепенно нагружаться силами состояния 2.Во втором варианте последовательность приложения сил изменяется. Сначала система нагружается силами состояния 2, а затем -силами состояния 1.Допустим, что сперва на систему начала постепенно действовать нагрузка первого состояния, а потом- второго. Суммарная работа внешних сил будет выражаться алгебраической суммой 
.
Рассмотрим теперь приложение нагрузки в обратной последовательности, когда сначала прикладывается нагрузка второго, а затем – первого состояния. В этом случае суммарная работа внешних сил выразится следующей алгебраической суммой: 
, где -работа внешних сил второго состояния на перемещениях, вызванных действием сил первого состояния.
Согласно выражению (63), суммарная работа W внешних сил равна по абсолютной величине работе А внутренних сил, взятой с обратным знаком, или потенциальной энергии деформации U .
Известно, что в линейно деформируемой системе потенциальная энергия деформации не зависит от последовательности приложения внешних сил, а зависит только от исходного и конечного состояний системы. Поскольку исходное и конечное состояния системы в обоих случаях загружения одинаковы, то и суммарные работы внешних сил будут равны, т.е. или , откуда
Полученная аналитическая зависимость выражает собой теорему о взаимности работы и формируется так: в линейно деформируемом теле возможная работа внешних или внутренних сил первого состояния на перемещениях точек их приложения, вызванных действием сил второго состояния, равна возможной работе внешних или внутренних сил второго состояния перемещениях, вызванных действием сил первого состояния. Это так называемая теорема Бетти-Рэлея.
Теорема о взаимности перемещений может быть представлена как частный случай теоремы о взаимности работ. Пусть на балку в первом состоянии действует только одна единичная сила , а во втором состоянии – тоже одна единичная сила (рис.34,а, б ). Сила приложена в точке 1, а сила – в точке 2. На основании теоремы о взаимности работ приравняем возможную работу внешних сил первого состояния на перемещениях второго состояния работе сил второго состояния на перемещениях первого состояния:
Это аналитическое выражение для теоремы взаимности перемещений, которая формулируется так: перемещение точки приложения первой единичной силы по направлению, вызванное действием второй единичной силы, равно перемещению по направлению второй единичной силы, вызванному действием первой единичной силы, это так называемая теорема Максвелла, имеющая фундаментальное значение в строительной механике.
Рисунок 34 – Определение взаимности перемещений
Литература:
Основная: 6[разр.3: с 29-31; разр.5:с 36-47].
1 Для чего нужно уменьшит размеры панелей и с какой целью вводятся дополнительные двухопорные фермочки-шпренгели, а также сколько и какие категории различают в шпренгельных фермах, и как определяются усилия в элементах основной и дополнительных ферм?
2 Какими функциями выражаются деформации (перемещения)в упругих системах и как аналитически это может быть записано, а также при каких допущениях, назовите их, перемещения, и деформации рассматриваемых упругих систем подчиняются закону независимости действия сил?
3 Для чего анализируют работу внешних и внутренних сил упругого тела и какими понятиями при этом пользуются в строительной механике, а также по какой зависимости определяется работа деформации элементов сооружения при статическом приложении внешних сил, дайте определение теореме Клайперона?
4 По какой зависимости определяется работа всех внешних сил действующих на балку и через какие силы может быть выражена работа внутренних сил упругой стержневой системы?
5 По какой зависимости определяется полная работа внутренних сил и почему работа внешних и внутренних сил называется возможной?
6 Какая аналитическая зависимость выражает теорему о взаимности работы и как формулируется (теорема Бетти-Релея)?
На основании теоремы о взаимности работ (9) имеем F 1 δ 12 =F 2 δ 21 , но если принять, чтоF 1 =F 2 = 1, тогда получаемδ 12 =δ 21 , или в общем виде
δ ij = δ ji . (10)
«Перемещение точки приложения первой единичной силы по ее направлению, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки приложения второй единичной силы по ее направлению, вызванному первой единичной силой».
Л е к ц и я 9
Определение перемещений. Интеграл мора
Рассмотрим два состояния (рис. 1). Составим выражение работы W 21 , то есть работы силыF 2 = 1 на перемещении Δ 21:
W 21 = F 2 Δ 21 = Δ 21 . (1)
Согласно формулы (7) лекции 8 получаем
W 12 = W – W 11 – W 22 , (2)
(3)
M , N , Q – это моменты, нормальные и поперечные силы от суммарного действия силF 1 иF 2 (рис. 7 лекции 8), т.е.
M = M 1 + M 2 , N = N 1 + N 2 , Q = Q 1 + Q 2 . (4)
Значения (4) подставляем в формулу (3), а результат и выражения для W 11 иW 22 – в формулу (2). В итоге получим
а с учетом равенства (1) имеем
где черточки показывают, что эти значения возникают от единичных сил.
Формулу (6) можно записать в общем виде:
Выражение (7) – это формула для определения перемещений в конкретном сечении конструкции или интеграл Мора (формула Мора ).
При расчете балок и рам учитывают влияние только изгибающих моментов M , а влияниемN иQ пренебрегают.
Правило Верещагина
«Интеграл
произвед ения двух функций, из которых
одна линейная, а другая – произвольная,
равен площади произвольной функции,
умноженной на ординату из прямоугольной
функции, лежащей под центром тяжести
площади произвольной функции».
Например,
имеем две эпюры моментов М
F
и
(рис.
2), тогда по формуле (7) получаем при
использовании правила Верещагина:
(8)
Запишем еще три положения, вытекающие из правила Верещагина:
1. Ордината у С должна быть взята из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры – прямолинейные, то ординатуу С можно брать из любой.
2. Перемножаемые эпюры не должны иметь
изломов. При их наличии эпюры необходимо
перемножать по участкам.
3. Для перемножения двух прямолинейных эпюр (рис. 3) можно использовать формулу:
Пример. Пусть дана балка, загруженная равномерно распределенной нагрузкойq (рис. 4). Вычислим прогиб балки в точкеС при ее изгибной жесткостиEI =const. При расчете учитываем только влияние изгибающих моментов, поэтому принимаем интеграл Мора в виде (8):
(9)
где
Вычисляем перемещение Δ С при помощи интеграла Мора (9):
Вычисляем перемещение Δ С при помощи интеграла Мора (9), но с использованием правила перемножения эпюр Верещагина:
Л е к ц и я 10
Определение перемещения сечения стержня плоской статически определимой стержневой системы при действии внешней нагрузки
Данную тему рассмотрим на конкретных примерах.
Пример 1
.
Определим прогиб конца консоли (рис.
1). Построим грузовую эпюру моментов и
эпюру изгибающих моментов от единичной
силы, приложенной на конце консоли (рис.
1). Используя правило Верещагина, имеем:
Пример 2. Определим горизонтальное смещение точкиС рамы, изображенной на рис. 2.
A MF
Построим эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки (М F ) и от силыР = 1, приложенной в точкеС по направлению искомого горизонтального смещения (
),
тогда
Знак (–) в ответе означает, что горизонтальное смещение точки С и направление единичной силыР = 1 не совпадают.
Пример 3. Определим горизонтальное перемещение точкиВ от действия сосредоточенной силыF (рис. 3).
Для криволинейного бруса изгибающий момент в произвольной точке С можно записать в виде:
Если приложить единичную силу в точке В по направлению действия внешней сосредоточенной силыF (в направлении искомого перемещения), то
и тогда горизонтальное перемещение точки В при учете только изгибающего момента будет
Найдем горизонтальное перемещение точки В при учете только нормальных силN F , в этом случае
Учтем влияние поперечной силы Q F на величину горизонтального смещения этой же точкиВ :
Горизонтальное перемещение точки В при учете изгибающего момента, нормальных и поперечных внутренних сил будет
Если учесть, что для прямоугольного поперечного сечения I z =bh 3 /12,А = bh , а также, чтоG = 0,5Е /(1 +ν ), то
Таким образом, если (R / h ) > 1, то при определении горизонтального перемещения влиянием нормальных и поперечных сил можно пренебречь.