Διανύσματα και διανυσματικοί χώροι. Διάνυσμα χώρο

4.3.1 Ορισμός γραμμικού χώρου

Αφήνω ā , , - στοιχεία κάποιου συνόλου ā , , Γη λ , μ - πραγματικούς αριθμούς, λ , μ R..

Το σύνολο L ονομάζεταιγραμμικός ήδιανυσματικός χώρος, εάν ορίζονται δύο λειτουργίες:

1 0 . Πρόσθεση. Κάθε ζεύγος στοιχείων αυτού του συνόλου συνδέεται με ένα στοιχείο του ίδιου συνόλου, που ονομάζεται άθροισμά τους

ā + =

2°.Πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό. Οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός λ και στοιχείο ā μεγάλοταιριάζει με ένα στοιχείο του ίδιου συνόλου λ ā μεγάλοκαι ικανοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. υπάρχει μηδενικό στοιχείο
, τέτοιο που ā +=ā ;

4. υπάρχει αντίθετο στοιχείο -
τέτοια που ā +(-ā )=.

Αν λ , μ - πραγματικοί αριθμοί, τότε:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Στοιχεία γραμμικού χώρου à, , ... ονομάζονται διανύσματα.

Ασκηση.Δείξτε στον εαυτό σας ότι αυτά τα σύνολα σχηματίζουν γραμμικούς χώρους:

1) Ένα σύνολο γεωμετρικών διανυσμάτων σε ένα επίπεδο.

2) Πολλά γεωμετρικά διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο.

3) Ένα σύνολο πολυωνύμων κάποιου βαθμού.

4) Ένα σύνολο πινάκων ίδιας διάστασης.

4.3.2 Γραμμικά εξαρτώμενα και ανεξάρτητα διανύσματα. Διάσταση και βάση του χώρου

Γραμμικός συνδυασμός φορείς ā 1 , ā 2 , …, ā n μεγάλοονομάζεται διάνυσμα του ίδιου χώρου της μορφής:

,

Οπου λ είμαι πραγματικοί αριθμοί.

Διανύσματα ā 1 , .. , ā n λέγονταιγραμμικά ανεξάρτητο, αν ο γραμμικός συνδυασμός τους είναι μηδενικό διάνυσμα αν και μόνο αν όλα τα λΕγώ είναι ίσα με μηδέν,αυτό είναι

λ i =0

Αν ο γραμμικός συνδυασμός είναι μηδενικό διάνυσμα και τουλάχιστον ένα από λ Εγώείναι διαφορετικό από το μηδέν, τότε αυτά τα διανύσματα ονομάζονται γραμμικά εξαρτημένα. Το τελευταίο σημαίνει ότι τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός άλλων διανυσμάτων. Πράγματι, ακόμα κι αν, για παράδειγμα,
. Επειτα,
, Οπου

.

Ένα μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο διατεταγμένο σύστημα διανυσμάτων ονομάζεται βάση χώρος μεγάλο. Ο αριθμός των διανυσμάτων βάσης ονομάζεται διάσταση χώρος.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει nγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, τότε καλείται ο χώρος n-διαστατικός. Άλλα διανύσματα χώρου μπορούν να αναπαρασταθούν ως γραμμικός συνδυασμός nδιανύσματα βάσης. Ανά βάση n- μπορεί να ληφθεί διαστασιακός χώρος όποιος nγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα αυτού του χώρου.

Παράδειγμα 17.Βρείτε τη βάση και τη διάσταση αυτών των γραμμικών χώρων:

α) ένα σύνολο διανυσμάτων που βρίσκονται σε μια γραμμή (συγγραμμικά σε κάποια γραμμή)

β) ένα σύνολο διανυσμάτων που ανήκουν στο επίπεδο

γ) ένα σύνολο διανυσμάτων τρισδιάστατου χώρου

δ) ένα σύνολο πολυωνύμων βαθμού όχι μεγαλύτερου από δύο.

Λύση.

ΕΝΑ)Οποιαδήποτε δύο διανύσματα βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή θα εξαρτώνται γραμμικά, καθώς τα διανύσματα είναι συγγραμμικά
, Οτι
, λ - βαθμωτό μέγεθος. Κατά συνέπεια, η βάση ενός δεδομένου χώρου είναι μόνο ένα (οποιοδήποτε) διάνυσμα διαφορετικό από το μηδέν.

Συνήθως ο χώρος αυτός ορίζεται R, η διάστασή του είναι 1.

σι)οποιαδήποτε δύο μη γραμμικά διανύσματα
θα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και οποιαδήποτε τρία διανύσματα στο επίπεδο θα είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Για οποιοδήποτε διάνυσμα , υπάρχουν αριθμοί  Και  τέτοια που
. Ο χώρος ονομάζεται δισδιάστατος, που συμβολίζεται με R 2 .

Η βάση ενός δισδιάστατου χώρου σχηματίζεται από οποιαδήποτε δύο μη γραμμικά διανύσματα.

V)Οποιαδήποτε τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα θα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, αποτελούν τη βάση του τρισδιάστατου χώρου R 3 .

ΣΟΛ)Ως βάση για το χώρο των πολυωνύμων βαθμού όχι μεγαλύτερου από δύο, μπορούμε να επιλέξουμε τα ακόλουθα τρία διανύσματα: ē 1 = Χ 2 ; ē 2 = Χ; ē 3 =1 .

(Το 1 είναι πολυώνυμο ίσο με ένα). Ο χώρος αυτός θα είναι τρισδιάστατος.

Διάλεξη 6. Διανυσματικός χώρος.

Κύρια ερωτήματα.

1. Διανυσματικός γραμμικός χώρος.

2. Βάση και διάσταση του χώρου.

3. Διαστημικός προσανατολισμός.

4. Αποσύνθεση ενός διανύσματος κατά βάση.

5. Διανυσματικές συντεταγμένες.

1. Διανυσματικός γραμμικός χώρος.

Ένα σύνολο που αποτελείται από στοιχεία οποιασδήποτε φύσης στο οποίο ορίζονται γραμμικές πράξεις: η πρόσθεση δύο στοιχείων και ο πολλαπλασιασμός ενός στοιχείου με έναν αριθμό ονομάζονται χώρους, και τα στοιχεία τους είναι φορείςαυτό το διάστημα και συμβολίζονται με τον ίδιο τρόπο με τα διανυσματικά μεγέθη στη γεωμετρία: . ΔιανύσματαΤέτοιοι αφηρημένοι χώροι, κατά κανόνα, δεν έχουν τίποτα κοινό με τα συνηθισμένα γεωμετρικά διανύσματα. Στοιχεία αφηρημένων χώρων μπορεί να είναι συναρτήσεις, ένα σύστημα αριθμών, πίνακες κ.λπ., και σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, συνηθισμένα διανύσματα. Ως εκ τούτου, τέτοιοι χώροι ονομάζονται συνήθως διανυσματικοί χώροι .

Οι διανυσματικοί χώροι είναι, Για παράδειγμα, ένα σύνολο συγγραμμικών διανυσμάτων, που συμβολίζεται V1 , σύνολο συνεπίπεδων διανυσμάτων V2 , σύνολο διανυσμάτων συνηθισμένου (πραγματικού χώρου) V3 .

Για τη συγκεκριμένη περίπτωση, μπορούμε να δώσουμε τον ακόλουθο ορισμό του διανυσματικού χώρου.

Ορισμός 1.Το σύνολο των διανυσμάτων ονομάζεται διανυσματικός χώρος, εάν ένας γραμμικός συνδυασμός οποιωνδήποτε διανυσμάτων ενός συνόλου είναι επίσης διάνυσμα αυτού του συνόλου. Τα ίδια τα διανύσματα ονομάζονται στοιχείαδιανυσματικός χώρος.

Πιο σημαντική, τόσο θεωρητικά όσο και εφαρμοσμένα, είναι η γενική (αφηρημένη) έννοια του διανυσματικού χώρου.

Ορισμός 2.Ενα μάτσο Rστοιχεία, στα οποία το άθροισμα προσδιορίζεται για οποιαδήποτε δύο στοιχεία και για οποιοδήποτε στοιχείο https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> που ονομάζεται διάνυσμα(ή γραμμικό) χώροςκαι τα στοιχεία του είναι διανύσματα, αν οι πράξεις της πρόσθεσης διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες ( αξιώματα) :

1) η προσθήκη είναι ανταλλάξιμη, δηλαδή.gif" width="184" height="25">;

3) υπάρχει τέτοιο στοιχείο (μηδενικό διάνυσμα) που για οποιοδήποτε https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" height="27">;

5) για οποιαδήποτε διανύσματα και οποιονδήποτε αριθμό λ ισχύει η ισότητα.

6) για τυχόν διανύσματα και οποιουσδήποτε αριθμούς λ Και µ η ισότητα είναι αληθινή: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> και τυχόν αριθμοί λ Και µ έκθεση ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Τα απλούστερα αξιώματα που ορίζουν έναν διανυσματικό χώρο ακολουθούν: συνέπειες :

1. Σε ένα διανυσματικό χώρο υπάρχει μόνο ένα μηδέν - το στοιχείο - το μηδενικό διάνυσμα.

2. Στον διανυσματικό χώρο, κάθε διάνυσμα έχει ένα μόνο αντίθετο διάνυσμα.

3. Για κάθε στοιχείο η ισότητα ικανοποιείται.

4. Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό λ και μηδενικό διάνυσμα https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> είναι ένα διάνυσμα που ικανοποιεί την ισότητα https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Άρα, πράγματι, το σύνολο όλων των γεωμετρικών διανυσμάτων είναι ένας γραμμικός (διανυσματικός) χώρος, αφού για τα στοιχεία αυτού του συνόλου ορίζονται οι ενέργειες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού με έναν αριθμό που ικανοποιούν τα διατυπωμένα αξιώματα.

2. Βάση και διάσταση του χώρου.

Οι βασικές έννοιες ενός διανυσματικού χώρου είναι οι έννοιες της βάσης και της διάστασης.

Ορισμός.Ένα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων, που λαμβάνονται με μια ορισμένη σειρά, μέσω των οποίων μπορεί να εκφραστεί γραμμικά οποιοδήποτε διάνυσμα χώρου, ονομάζεται βάσηαυτόν τον χώρο. Διανύσματα. Τα συστατικά της βάσης του χώρου ονομάζονται βασικός .

Η βάση ενός συνόλου διανυσμάτων που βρίσκονται σε μια αυθαίρετη γραμμή μπορεί να θεωρηθεί ένα συγγραμμικό διάνυσμα σε αυτήν τη γραμμή.

Βάση στο αεροπλάνοΑς ονομάσουμε δύο μη γραμμικά διανύσματα σε αυτό το επίπεδο, που λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Αν τα διανύσματα βάσης είναι κατά ζεύγη κάθετα (ορθογώνια), τότε καλείται η βάση ορθογώνιο, και αν αυτά τα διανύσματα έχουν μήκος ίσο με ένα, τότε καλείται η βάση ορθοκανονική .

Ο μεγαλύτερος αριθμόςονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του χώρου διάστασηαυτού του χώρου, δηλαδή η διάσταση του χώρου συμπίπτει με τον αριθμό των διανυσμάτων βάσης αυτού του χώρου.

Σύμφωνα λοιπόν με αυτούς τους ορισμούς:

1. Μονοδιάστατος χώρος V1 είναι μια ευθεία γραμμή, και η βάση αποτελείται από ένα συγγραμμικόδιάνυσμα https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Ο συνηθισμένος χώρος είναι ο τρισδιάστατος χώρος V3 , η βάση του οποίου αποτελείται από τρεις μη ομοεπίπεδεςφορείς

Από εδώ βλέπουμε ότι ο αριθμός των διανυσμάτων βάσης σε μια ευθεία, σε ένα επίπεδο, στον πραγματικό χώρο συμπίπτει με αυτό που στη γεωμετρία συνήθως ονομάζεται αριθμός διαστάσεων (διάσταση) μιας ευθείας, επιπέδου, χώρου. Επομένως, είναι φυσικό να εισαγάγουμε έναν γενικότερο ορισμό.

Ορισμός.Διάνυσμα χώρο Rπου ονομάζεται n– διαστάσεων εάν δεν υπάρχουν περισσότερες από nγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα και συμβολίζεται R n. Αριθμός nπου ονομάζεται διάστασηχώρος.

Ανάλογα με τη διάσταση του χώρου χωρίζονται σε πεπερασμένων διαστάσεωνΚαι άπειρων διαστάσεων. Η διάσταση του μηδενικού χώρου θεωρείται εξ ορισμού ίση με μηδέν.

Σημείωση 1.Σε κάθε διάστημα μπορείτε να καθορίσετε όσες βάσεις θέλετε, αλλά όλες οι βάσεις ενός δεδομένου χώρου αποτελούνται από τον ίδιο αριθμό διανυσμάτων.

Σημείωση 2.ΣΕ n– σε έναν διανυσματικό χώρο, μια βάση είναι κάθε διατεταγμένη συλλογή nγραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα.

3. Διαστημικός προσανατολισμός.

Αφήστε τα διανύσματα βάσης στο διάστημα V3 έχω γενική αρχήΚαι διέταξε, δηλ. υποδεικνύεται ποιο διάνυσμα θεωρείται πρώτο, ποιο δεύτερο και ποιο τρίτο. Για παράδειγμα, στη βάση τα διανύσματα ταξινομούνται σύμφωνα με την ευρετηρίαση.

Γι'αυτό για να προσανατολίσετε τον χώρο, είναι απαραίτητο να θέσετε κάποια βάση και να το δηλώσετε θετικό .

Μπορεί να φανεί ότι το σύνολο όλων των βάσεων του χώρου εμπίπτει σε δύο τάξεις, δηλαδή σε δύο ασύνδετα υποσύνολα.

α) όλες οι βάσεις που ανήκουν σε ένα υποσύνολο (κλάση) έχουν το ίδιοπροσανατολισμός (βάσεις με το ίδιο όνομα).

β) οποιεσδήποτε δύο βάσεις που ανήκουν σε διάφοροςυποσύνολα (τάξεις), έχουν το αντίθετοπροσανατολισμός, ( διαφορετικά ονόματαβάσεις).

Αν η μία από τις δύο κατηγορίες βάσεων ενός διαστήματος δηλωθεί θετική και η άλλη αρνητική, τότε λέγεται ότι αυτός ο χώρος προσανατολισμένη .

Συχνά, κατά τον προσανατολισμό του χώρου, καλούνται ορισμένες βάσεις σωστά, και άλλοι - αριστερά .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> καλούνται σωστά, εάν, κατά την παρατήρηση από το τέλος του τρίτου διανύσματος, η συντομότερη περιστροφή του πρώτου διανύσματος https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > πραγματοποιείται αριστερόστροφα(Εικ. 1.8, α).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Ρύζι. 1.8. Δεξιά βάση (α) και αριστερή βάση (β)

Συνήθως η σωστή βάση του χώρου δηλώνεται ως θετική βάση

Η δεξιά (αριστερά) βάση του χώρου μπορεί επίσης να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα της «δεξιάς» («αριστεράς») βίδας ή στεγανοποίησης.

Κατ' αναλογία με αυτό, εισάγεται η έννοια του δεξιού και του αριστερού τριάριαμη ομοεπίπεδα διανύσματα που πρέπει να ταξινομηθούν (Εικ. 1.8).

Έτσι, στη γενική περίπτωση, δύο διατεταγμένες τριάδες μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων έχουν τον ίδιο προσανατολισμό (το ίδιο όνομα) στο χώρο V3 αν είναι και οι δύο δεξιοί ή και οι δύο αριστεροί, και - ο αντίθετος προσανατολισμός (αντίθετα) εάν ο ένας από αυτούς είναι δεξιός και ο άλλος αριστερά.

Το ίδιο γίνεται και στην περίπτωση του χώρου V2 (επίπεδο).

4. Αποσύνθεση ενός διανύσματος κατά βάση.

Για απλότητα του συλλογισμού, ας εξετάσουμε αυτήν την ερώτηση χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός τρισδιάστατου διανυσματικού χώρου R3 .

Ας είναι https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> ένα αυθαίρετο διάνυσμα αυτού του χώρου.

Κεφάλαιο 3. Γραμμικοί διανυσματικοί χώροι

Θέμα 8. Γραμμικοί διανυσματικοί χώροι

Ορισμός γραμμικού χώρου. Παραδείγματα γραμμικών χώρων

Στην §2.1 η λειτουργία της προσθήκης ελεύθερων διανυσμάτων από R 3 και τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού των διανυσμάτων με πραγματικούς αριθμούς, και επίσης παραθέτει τις ιδιότητες αυτών των πράξεων. Η επέκταση αυτών των πράξεων και των ιδιοτήτων τους σε ένα σύνολο αντικειμένων (στοιχείων) αυθαίρετης φύσης οδηγεί σε γενίκευση της έννοιας ενός γραμμικού χώρου γεωμετρικών διανυσμάτων από R 3 που ορίζεται στην §2.1. Ας διατυπώσουμε τον ορισμό ενός γραμμικού διανυσματικού χώρου.

Ορισμός 8.1.Ενα μάτσο Vστοιχεία Χ , στο , z ,... που ονομάζεται γραμμικό διανυσματικό χώρο, Αν:

υπάρχει ένας κανόνας ότι κάθε δύο στοιχεία Χ Και στο από Vταιριάζει με το τρίτο στοιχείο από V, που ονομάζεται ποσό Χ Και στο και ορίζεται Χ + στο ;

υπάρχει ένας κανόνας ότι κάθε στοιχείο Χ και ταιριάζει οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό με ένα στοιχείο από V, που ονομάζεται προϊόν του στοιχείου Χανά αριθμόκαι ορίζεται Χ .

Επιπλέον, το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο στοιχείων Χ + στο Και δουλειά Χ οποιοδήποτε στοιχείο για οποιονδήποτε αριθμό πρέπει να πληροί τις ακόλουθες απαιτήσεις - αξιώματα του γραμμικού χώρου:

1°. Χ + στο = στο + Χ (ανταλλαγή της πρόσθεσης).

2°. ( Χ + στο ) + z = Χ + (στο + z ) (συνειρισμός προσθήκης).

3°. Υπάρχει ένα στοιχείο 0 , που ονομάζεται μηδέν, τέτοιο που

Χ + 0 = Χ , Χ .

4°. Για οποιονδηποτε Χ υπάρχει ένα στοιχείο (- Χ ), που ονομάζεται απέναντι για Χ , τέτοιο που

Χ + (– Χ ) = 0 .

5°. ( Χ ) = ()Χ , Χ , , R.

6°. Χ = Χ , Χ .

7°. () Χ = Χ + Χ , Χ , , R.

8°. ( Χ + στο ) = Χ + y , Χ , y , R.

Θα ονομάσουμε τα στοιχεία του γραμμικού χώρου φορείςανεξάρτητα από τη φύση τους.

Από τα αξιώματα 1°–8° προκύπτει ότι σε οποιοδήποτε γραμμικό χώρο Vισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

1) υπάρχει ένα μόνο μηδενικό διάνυσμα.

2) για κάθε διάνυσμα Χ υπάρχει μόνο ένα αντίθετο διάνυσμα (- Χ ) , και (- Χ ) = (– l) Χ ;

3) για οποιοδήποτε διάνυσμα Χ η ισότητα 0× είναι αληθής Χ = 0 .

Ας αποδείξουμε, για παράδειγμα, την ιδιότητα 1). Ας υποθέσουμε ότι στο διάστημα Vυπάρχουν δύο μηδενικά: 0 1 και 0 2. Βάζοντας 3° στο αξίωμα Χ = 0 1 , 0 = 0 2, παίρνουμε 0 1 + 0 2 = 0 1 . Ομοίως, αν Χ = 0 2 , 0 = 0 1, λοιπόν 0 2 + 0 1 = 0 2. Λαμβάνοντας υπόψη το αξίωμα 1°, λαμβάνουμε 0 1 = 0 2 .

Ας δώσουμε παραδείγματα γραμμικών χώρων.

1. Πολλά πραγματικούς αριθμούςσχηματίζει ένα γραμμικό χώρο R. Τα αξιώματα 1°–8° ικανοποιούνται προφανώς σε αυτό.

2. Το σύνολο των ελεύθερων διανυσμάτων στον τρισδιάστατο χώρο, όπως φαίνεται στην §2.1, σχηματίζει επίσης ένα γραμμικό διάστημα, που συμβολίζεται R 3. Το μηδέν αυτού του χώρου είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Το σύνολο των διανυσμάτων στο επίπεδο και στη γραμμή είναι επίσης γραμμικοί χώροι. Θα τα υποδηλώσουμε R 1 και R 2 αντίστοιχα.

3. Γενίκευση χώρων R 1 , R 2 και R 3 εξυπηρετεί χώρο Rn, n Ν, που ονομάζεται αριθμητικός ν-διάστατος χώρος, των οποίων τα στοιχεία (διανύσματα) είναι διατεταγμένες συλλογές nαυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί ( Χ 1 ,…, x n), δηλ.

Rn = {(Χ 1 ,…, x n) | x i R, Εγώ = 1,…, n}.

Είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τη σημειογραφία Χ = (Χ 1 ,…, x n), όπου x iπου ονομάζεται i-η συντεταγμένη(συστατικό)διάνυσμα Χ .

Για Χ , στο RnΚαι RΟρίζουμε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό με έναν αριθμό χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:

Χ + στο = (Χ 1 + y 1 ,…, x n+ y n);

Χ = (Χ 1 ,…, x n).

Το μηδενικό στοιχείο του χώρου Rnείναι ένας φορέας 0 = (0,…, 0). Ισότητα δύο διανυσμάτων Χ = (Χ 1 ,…, x n) Και στο = (y 1 ,…, y n) από Rn, εξ ορισμού, σημαίνει την ισότητα των αντίστοιχων συντεταγμένων, δηλ. Χ = στο Û Χ 1 = y 1 &… & x n = y n.

Η εκπλήρωση των αξιωμάτων 1°–8° είναι προφανής εδώ.

4. Αφήστε ντο [ ένα ; σι] – σύνολο πραγματικών συνεχών στο διάστημα [ ένα; σι] λειτουργίες φά: [ένα; σι] R.

Άθροισμα συναρτήσεων φάΚαι σολαπό ντο [ ένα ; σι] ονομάζεται συνάρτηση η = φά + σολ, που ορίζεται από την ισότητα

η = φά + σολ Û η(Χ) = (φά + σολ)(Χ) = φά(Χ) + σολ(Χ), " Χ Î [ ένα; σι].

Προϊόν μιας συνάρτησης φά Î ντο [ ένα ; σι] κατά αριθμό ένα Î Rκαθορίζεται από την ισότητα

u = φά Û u(Χ) = (φά)(Χ) = φά(Χ), " Χ Î [ ένα; σι].

Έτσι, οι εισαγόμενες πράξεις της πρόσθεσης δύο συναρτήσεων και του πολλαπλασιασμού μιας συνάρτησης με έναν αριθμό μεταμορφώνουν το σύνολο ντο [ ένα ; σι] σε ένα γραμμικό χώρο του οποίου τα διανύσματα είναι συναρτήσεις. Τα αξιώματα 1°–8° ικανοποιούνται προφανώς σε αυτόν τον χώρο. Το μηδενικό διάνυσμα αυτού του χώρου είναι η ταυτόσημη μηδενική συνάρτηση και η ισότητα δύο συναρτήσεων φάΚαι σολσημαίνει εξ ορισμού τα εξής:

φά = σολ φά(Χ) = σολ(Χ), " Χ Î [ ένα; σι].

Αντιστοιχεί σε τέτοιο διανυσματικό χώρο. Μερικοί συγγραφείς βάζουν ένα πρόσημο ίσου μεταξύ του Ευκλείδειου και του προ-Χιλμπέρτου χώρου. Σε αυτό το άρθρο, ο πρώτος ορισμός θα ληφθεί ως σημείο εκκίνησης.

N (\displaystyle n)-ο διαστατικός ευκλείδειος χώρος συνήθως συμβολίζεται E n (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)); ο συμβολισμός χρησιμοποιείται επίσης συχνά όταν είναι σαφές από τα συμφραζόμενα ότι ο χώρος είναι εφοδιασμένος με μια φυσική ευκλείδεια δομή.

Επίσημος ορισμός

Για να ορίσουμε τον Ευκλείδειο χώρο, ο ευκολότερος τρόπος είναι να λάβουμε ως κύρια έννοια το βαθμωτό γινόμενο. Ένας ευκλείδειος διανυσματικός χώρος ορίζεται ως ένας πεπερασμένος διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο των πραγματικών αριθμών, στα ζεύγη των διανυσμάτων του οποίου καθορίζεται μια συνάρτηση με πραγματική αξία (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),)έχει τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

Παράδειγμα Ευκλείδειου χώρου - χώρος συντεταγμένων R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),)που αποτελείται από κάθε είδους σετ πραγματικούς αριθμούς (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\lddots ,x_(n)),)κλιμακωτό προϊόν στο οποίο προσδιορίζεται από τον τύπο (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\style display (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Μήκη και γωνίες

Το βαθμωτό γινόμενο που ορίζεται στον Ευκλείδειο χώρο είναι αρκετό για να εισαγάγει τις γεωμετρικές έννοιες του μήκους και της γωνίας. Διάνυσμα μήκος u (\displaystyle u)οριζεται ως (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))και ορίζεται | u | . (\displaystyle |u|.)Η θετική οριστικότητα του βαθμωτού γινόμενου εγγυάται ότι το μήκος του μη μηδενικού διανύσματος είναι μη μηδενικό και από τη διγραμμικότητα προκύπτει ότι | a u | = | α | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,)δηλαδή τα μήκη των αναλογικών διανυσμάτων είναι ανάλογα.

Γωνία μεταξύ των διανυσμάτων u (\displaystyle u)Και v (\displaystyle v)καθορίζεται από τον τύπο φ = arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).)Από το θεώρημα συνημιτόνου προκύπτει ότι για έναν δισδιάστατο ευκλείδειο χώρο ( Ευκλείδειο επίπεδο) αυτόν τον ορισμόγωνία συμπίπτει με τη συνηθισμένη. Τα ορθογώνια διανύσματα, όπως στον τρισδιάστατο χώρο, μπορούν να οριστούν ως διανύσματα η γωνία μεταξύ των οποίων είναι ίση με π 2. (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

Η ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz και η ανισότητα του τριγώνου

Υπάρχει ένα κενό στον ορισμό της γωνίας που δόθηκε παραπάνω: προκειμένου να arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\δεξιά))έχει οριστεί, είναι απαραίτητο ότι η ανισότητα | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\displaystyle \αριστερά|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)Αυτή η ανισότητα ισχύει σε έναν αυθαίρετο Ευκλείδειο χώρο και ονομάζεται ανισότητα Cauchy–Bunyakovsky–Schwartz. Από αυτήν την ανισότητα, με τη σειρά της, ακολουθεί η τριγωνική ανισότητα: | u + v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.)Η ανισότητα του τριγώνου, μαζί με τις ιδιότητες μήκους που αναφέρονται παραπάνω, σημαίνει ότι το μήκος ενός διανύσματος είναι κανόνας στον ευκλείδειο διανυσματικό χώρο και η συνάρτηση d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)ορίζει τη δομή ενός μετρικού χώρου στον Ευκλείδειο χώρο (αυτή η συνάρτηση ονομάζεται Ευκλείδεια μετρική). Ειδικότερα, η απόσταση μεταξύ των στοιχείων (σημείων) x (\displaystyle x)Και y (\displaystyle y)χώρο συντεταγμένων R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))δίνεται από τον τύπο d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Αλγεβρικές ιδιότητες

Ορθοκανονικές βάσεις

Συζευγμένοι χώροι και τελεστές

Οποιοδήποτε διάνυσμα x (\displaystyle x)Ο Ευκλείδειος χώρος ορίζει μια γραμμική συνάρτηση x ∗ (\displaystyle x^(*))σε αυτόν τον χώρο, που ορίζεται ως x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).)Αυτή η σύγκριση είναι ένας ισομορφισμός μεταξύ του Ευκλείδειου χώρου και του διπλού του χώρου και επιτρέπει την αναγνώρισή τους χωρίς συμβιβασμούς στους υπολογισμούς. Ειδικότερα, οι συζευγμένοι τελεστές μπορούν να θεωρηθούν ότι δρουν στον αρχικό χώρο και όχι στον διπλό του, και οι αυτοσυνδεόμενοι τελεστές μπορούν να οριστούν ως τελεστές που συμπίπτουν με τους συζυγείς τους. Σε μια ορθοκανονική βάση, η μήτρα του πρόσθετου τελεστή μεταφέρεται στη μήτρα του αρχικού τελεστή και η μήτρα του αυτοσυνημμένου τελεστή είναι συμμετρική.

Κινήσεις του Ευκλείδειου χώρου

Οι κινήσεις του Ευκλείδειου χώρου είναι μετασχηματισμοί που διατηρούν τη μέτρηση (ονομάζονται επίσης ισομετρίες). Παράδειγμα κίνησης - παράλληλη μετάφραση σε διάνυσμα v (\displaystyle v), που μεταφράζει το σημείο p (\displaystyle p)ακριβώς p + v (\displaystyle p+v). Είναι εύκολο να δούμε ότι οποιαδήποτε κίνηση είναι μια σύνθεση παράλληλης μετάφρασης και μετασχηματισμού που κρατά σταθερό ένα σημείο. Επιλέγοντας ένα σταθερό σημείο ως αρχή συντεταγμένων, οποιαδήποτε τέτοια κίνηση μπορεί να θεωρηθεί ως

Υλικό από τη Wikipedia - την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Διάνυσμα(ή γραμμικός) χώρος- μια μαθηματική δομή, η οποία είναι ένα σύνολο στοιχείων που ονομάζονται διανύσματα, για τα οποία ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης μεταξύ τους και του πολλαπλασιασμού με έναν αριθμό - ένα βαθμωτό. Αυτές οι πράξεις υπόκεινται σε οκτώ αξιώματα. Τα κλιμάκια μπορεί να είναι στοιχεία του πραγματικού, μιγαδικού ή οποιουδήποτε άλλου πεδίου αριθμών. Μια ειδική περίπτωση ενός τέτοιου χώρου είναι ο συνήθης τρισδιάστατος Ευκλείδειος χώρος, του οποίου τα διανύσματα χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, για την αναπαράσταση φυσικών δυνάμεων. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι ένα διάνυσμα ως στοιχείο του διανυσματικού χώρου δεν χρειάζεται απαραίτητα να προσδιορίζεται με τη μορφή κατευθυνόμενου τμήματος. Η γενίκευση της έννοιας του "διανύσματος" σε ένα στοιχείο ενός διανυσματικού χώρου οποιασδήποτε φύσης όχι μόνο δεν προκαλεί σύγχυση όρων, αλλά καθιστά επίσης δυνατή την κατανόηση ή ακόμη και την πρόβλεψη ορισμένων αποτελεσμάτων που ισχύουν για χώρους αυθαίρετης φύσης.

Οι διανυσματικοί χώροι είναι το θέμα της γραμμικής άλγεβρας. Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά ενός διανυσματικού χώρου είναι η διάστασή του. Η διάσταση αντιπροσωπεύει τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων στοιχείων του χώρου, δηλαδή την προσφυγή σε μια πρόχειρη γεωμετρική περιγραφή, τον αριθμό των κατευθύνσεων που δεν μπορούν να εκφραστούν η μία μέσω της άλλης μόνο μέσω των πράξεων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού με βαθμωτή. Ο διανυσματικός χώρος μπορεί να είναι προικισμένος με πρόσθετες δομές, όπως ένας κανόνας ή ένα εσωτερικό γινόμενο. Τέτοιοι χώροι εμφανίζονται φυσικά στη μαθηματική ανάλυση, κυρίως με τη μορφή χώρων συναρτήσεων άπειρων διαστάσεων ( Αγγλικά), όπου οι συναρτήσεις . Πολλά προβλήματα ανάλυσης απαιτούν να βρεθεί αν μια ακολουθία διανυσμάτων συγκλίνει σε ένα δεδομένο διάνυσμα. Η εξέταση τέτοιων ερωτήσεων είναι δυνατή σε διανυσματικούς χώρους με πρόσθετη δομή, στις περισσότερες περιπτώσεις κατάλληλη τοπολογία, η οποία μας επιτρέπει να ορίσουμε τις έννοιες της εγγύτητας και της συνέχειας. Τέτοιοι τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι, ιδιαίτερα οι χώροι Banach και Hilbert, επιτρέπουν βαθύτερη μελέτη.

Εκτός από τα διανύσματα, η γραμμική άλγεβρα μελετά επίσης τανυστές υψηλότερης κατάταξης (ένα βαθμωτό θεωρείται τανυστής κατάταξης 0, ένα διάνυσμα θεωρείται τανυστής κατάταξης 1).

Τα πρώτα έργα που προέβλεπαν την εισαγωγή της έννοιας του διανυσματικού χώρου χρονολογούνται από τον 17ο αιώνα. Τότε ήταν που άρχισε να αναπτύσσεται η αναλυτική γεωμετρία, το δόγμα των πινάκων, των συστημάτων γραμμικών εξισώσεων και των ευκλείδειων διανυσμάτων.

Ορισμός

Γραμμικός, ή διανυσματικός χώρος $V\backslash \alpha \rho \iota \sigma \tau \epsilon \rho ά(F\backslash \delta \epsilon \xi \iota ά)$πάνω από το γήπεδο $\phi ά$- αυτό είναι ένα παραγγελθέν τέσσερα $(V,F,+,\backslash cdot)$, Οπου

• $V$- ένα μη κενό σύνολο στοιχείων αυθαίρετης φύσης, τα οποία καλούνται φορείς;
• $\phi ά$- (αλγεβρικό) πεδίο του οποίου τα στοιχεία λέγονται σκαλοπάτια;
• Καθορισμένη λειτουργία πρόσθεσηφορείς $V\backslash \; \phi o\rho έ\varsigma \; V\backslash \; έ\omega \varsigma \; V$, που συσχετίζει κάθε ζεύγος στοιχείων $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$σκηνικά $V$ $V$τους κάλεσε ποσόκαι ορίζεται $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Καθορισμένη λειτουργία πολλαπλασιάζοντας διανύσματα με βαθμωτούς $F\backslash \; \phi o\rho έ\varsigma \; V\backslash \; έ\omega \varsigma \; V$, που ταιριάζει με κάθε στοιχείο $\backslash \lambda ά\mu \delta \alpha$χωράφια $\phi ά$και κάθε στοιχείο $\backslash mathbf(x)$σκηνικά $V$το μόνο στοιχείο του συνόλου $V$, συμβολίζεται $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$ή $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Διανυσματικά κενά που ορίζονται στο ίδιο σύνολο στοιχείων, αλλά πάνω διαφορετικά πεδία, θα είναι διαφορετικοί διανυσματικοί χώροι (για παράδειγμα, ένα σύνολο ζευγών πραγματικών αριθμών $\backslash mathbb(R)^2$μπορεί να είναι ένας δισδιάστατος διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο των πραγματικών αριθμών ή μονοδιάστατος - πάνω από το πεδίο των μιγαδικών αριθμών).

Οι απλούστερες ιδιότητες

1. Ένας διανυσματικός χώρος είναι μια ομάδα Abelian υπό προσθήκη.
2. Ουδέτερο στοιχείο $\backslash mathbf(0)\; \backslash \sigma \epsilon \; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$Για οποιονδηποτε $\backslash mathbf(x)\; \backslash \sigma \epsilon \; V$.
4. Για οποιονδηποτε $\backslash mathbf(x)\; \backslash \sigma \epsilon \; V$αντίθετο στοιχείο $-\backslash mathbf(x)\backslash \sigma \epsilon \; V$είναι το μόνο που προκύπτει από τις ιδιότητες της ομάδας.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$Για οποιονδηποτε $\backslash mathbf(x)\; \backslash \sigma \epsilon \; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$για κάθε $\backslash ά\lambda \phi \alpha \; \backslash \sigma \tau o\; F$Και $\backslash mathbf(x)\; \backslash \sigma \epsilon \; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$Για οποιονδηποτε $\backslash ά\lambda \phi \alpha \; \backslash \sigma \tau o\; F$.

Σχετικοί ορισμοί και ιδιότητες

Υποχώρος

Αλγεβρικός ορισμός: Γραμμικός υποχώροςή διανυσματικός υποχώρος- μη κενό υποσύνολο $\kappa$γραμμικός χώρος $V$τέτοια που $\kappa$είναι ο ίδιος ένας γραμμικός χώρος σε σχέση με αυτούς που ορίζονται στο $V$πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού με βαθμωτό. Το σύνολο όλων των υποχώρων συνήθως συμβολίζεται ως $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Για να είναι ένα υποσύνολο υποχώρος είναι απαραίτητο και αρκετό

1. για οποιοδήποτε διάνυσμα $\backslash mathbf(x)\backslash \sigma \tau o\; {\rm K}$, διάνυσμα $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ανήκε επίσης $\kappa$, για κάθε $\backslash ά\lambda \phi \alpha \backslash \sigma \tau o\; F$;
2. για όλους τους φορείς $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash \sigma \epsilon \; K$, διάνυσμα $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ανήκε επίσης $\kappa$.

Οι δύο τελευταίες δηλώσεις είναι ισοδύναμες με τις ακόλουθες:

Για όλους τους φορείς $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash \sigma \epsilon \; K$, διάνυσμα $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ανήκε επίσης $\kappa$για κάθε $\backslash ά\lambda \phi \alpha ,\; \backslash \beta ή\tau \alpha \; \backslash \sigma \tau o\; F$.

Συγκεκριμένα, ένας διανυσματικός χώρος που αποτελείται από ένα μόνο μηδενικό διάνυσμα είναι ένας υποχώρος οποιουδήποτε χώρου. κάθε χώρος είναι ένας υποχώρος του εαυτού του. Οι υποχώροι που δεν συμπίπτουν με αυτούς τους δύο ονομάζονται τα δικάή μη τετριμμένο.

Ιδιότητες υποχώρων

• Η τομή οποιασδήποτε οικογένειας υποχώρων είναι πάλι ένας υποχώρος.
• Άθροισμα υποχώρων $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash \sigma \epsilon \; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ορίζεται ως ένα σύνολο που περιέχει όλα τα πιθανά αθροίσματα στοιχείων $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash \sigma \epsilon \; K\_i\backslash quad\; (i\backslash \sigma \epsilon \; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Το άθροισμα μιας πεπερασμένης οικογένειας υποχώρων είναι και πάλι ένας υποχώρος.

Γραμμικοί συνδυασμοί

Τελικό άθροισμα του εντύπου

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Ο γραμμικός συνδυασμός ονομάζεται:

Βάση. Διάσταση

Διανύσματα $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$λέγονται γραμμικά εξαρτώμενη, εάν υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός τους ίσος με μηδέν:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Διαφορετικά ονομάζονται αυτά τα διανύσματα γραμμικά ανεξάρτητη.

Αυτός ο ορισμός επιτρέπει την ακόλουθη γενίκευση: ένα άπειρο σύνολο διανυσμάτων από $V$που ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη, εάν κάποια είναι γραμμικά εξαρτημένη τελικόςένα υποσύνολο αυτού, και γραμμικά ανεξάρτητη, εάν υπάρχει κάποιο από αυτά τελικόςτο υποσύνολο είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Ιδιότητες της βάσης:

• Οποιος $n$γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία $n$-διαστατική μορφή χώρου βάσηαυτόν τον χώρο.
• Οποιοδήποτε διάνυσμα $\backslash mathbf(x)\; \backslash \sigma \epsilon \; V$μπορεί να αναπαρασταθεί (μοναδικά) ως ένας πεπερασμένος γραμμικός συνδυασμός στοιχείων βάσης:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Γραμμικό κέλυφος

Γραμμικό κέλυφος $\backslash mathcal\; V(X)$υποσύνολα ${\rm X}$γραμμικός χώρος $V$- διασταύρωση όλων των υποχώρων $V$που περιέχει ${\rm X}$.

Το γραμμικό άνοιγμα είναι ένας υποχώρος $V$.

Γραμμικό κέλυφος ονομάζεται επίσης υποχώρος που δημιουργείται ${\rm X}$. Λέγεται επίσης ότι το γραμμικό κέλυφος $\backslash mathcal\; V(X)$- χώρος, τεντωμένοένα μάτσο ${\rm X}$.

Γραμμικό κέλυφος $\backslash mathcal\; V(X)$αποτελείται από όλους τους πιθανούς γραμμικούς συνδυασμούς διαφόρων πεπερασμένων υποσυστημάτων στοιχείων από ${\rm X}$. Ειδικότερα, εάν ${\rm X}$είναι ένα πεπερασμένο σύνολο, λοιπόν $\backslash mathcal\; V(X)$αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς στοιχείων ${\rm X}$. Έτσι, το μηδενικό διάνυσμα ανήκει πάντα στο γραμμικό κύτος.

Αν ${\rm X}$είναι ένα γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο, τότε είναι μια βάση $\backslash mathcal\; V(X)$και έτσι καθορίζει τη διάστασή του.

Παραδείγματα

• Ένα μηδενικό διάστημα του οποίου το μόνο στοιχείο είναι το μηδέν.
• Χώρος όλων των λειτουργιών $X\backslash \; έ\omega \varsigma \; F$με πεπερασμένο στήριγμα σχηματίζει ένα διανυσματικό χώρο διάστασης ίσης με την καρδινικότητα ${\rm X}$.
• Το πεδίο των πραγματικών αριθμών μπορεί να θεωρηθεί ως ένας συνεχής-διάστατος διανυσματικός χώρος πάνω από το πεδίο των ρητών αριθμών.
• Οποιοδήποτε πεδίο είναι ένας μονοδιάστατος χώρος πάνω από τον εαυτό του.

Πρόσθετες δομές

δείτε επίσης

Γράψτε μια κριτική για το άρθρο "Διανυσματικός χώρος"

Σημειώσεις

Βιβλιογραφία

• Gelfand I.M.Διαλέξεις για τη γραμμική άλγεβρα. - 5η. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 p. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I.M.Διαλέξεις για τη γραμμική άλγεβρα. 5η έκδ. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 320 p. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A. I., Manin Yu. I.Γραμμική άλγεβρα και γεωμετρία. 2η έκδ. - Μ.: Nauka, 1986. - 304 σελ.
• Kostrikin A.I.Εισαγωγή στην άλγεβρα. Μέρος 2: Γραμμική άλγεβρα. - 3ος. - Μ.: Nauka., 2004. - 368 σελ. - (Πανεπιστημιακό εγχειρίδιο).
• Maltsev A. I.Βασικά στοιχεία γραμμικής άλγεβρας. - 3ος. - Μ.: Nauka, 1970. - 400 σελ.

• Ποστνίκοφ Μ. Μ.Γραμμική άλγεβρα (Διαλέξεις γεωμετρίας. Εξάμηνο ΙΙ). - 2ο. - Μ.: Nauka, 1986. - 400 σελ.
• Strang G.Η Γραμμική Άλγεβρα και οι Εφαρμογές της. - Μ.: Μιρ, 1980. - 454 σελ.
• Ilyin V. A., Poznyak E. G.Γραμμική άλγεβρα. 6η έκδ. - M.: Fizmatlit, 2010. - 280 σελ. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Χαλμός Π.Διανυσματικοί χώροι πεπερασμένων διαστάσεων. - Μ.: Fizmatgiz, 1963. - 263 σελ.
• Faddeev D.K.Διαλέξεις για την άλγεβρα. - 5η. - Αγία Πετρούπολη. : Lan, 2007. - 416 σελ.
• Shafarevich I. R., Remizov A. O.Γραμμική άλγεβρα και γεωμετρία. - 1ος. - Μ.: Fizmatlit, 2009. - 511 σελ.
• Schreyer O., Sperner G.Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα στη γεωμετρική παρουσίαση = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (μετάφραση από τα γερμανικά). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 p.

Διανύσματα και πίνακες Διανύσματα ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τύποι διανυσμάτων Πράξεις σε διανύσματα Τύποι χώρων Πίνακες ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Αλλα

Ένα απόσπασμα που χαρακτηρίζει τον διανυσματικό χώρο

Ο Κουτούζοφ περπάτησε στις τάξεις, περιστασιακά σταματούσε και έλεγε μερικά καλά λόγια στους αξιωματικούς που γνώριζε από τον τουρκικό πόλεμο και μερικές φορές στους στρατιώτες. Κοιτάζοντας τα παπούτσια, κούνησε με θλίψη το κεφάλι του πολλές φορές και τα έδειξε στον Αυστριακό στρατηγό με μια τέτοια έκφραση που δεν φαινόταν να κατηγορεί κανέναν για αυτό, αλλά δεν μπορούσε να μην δει πόσο άσχημα ήταν. Κάθε φορά που ο διοικητής του συντάγματος έτρεχε μπροστά, φοβούμενος να χάσει τη λέξη του αρχιστράτηγου σχετικά με το σύνταγμα. Πίσω από τον Κουτούζοφ, σε τέτοια απόσταση που μπορούσε να ακουστεί κάθε αμυδρά ειπωμένη λέξη, περπατούσαν περίπου 20 άτομα στη συνοδεία του. Οι κύριοι της ακολουθίας μιλούσαν μεταξύ τους και μερικές φορές γελούσαν. Ο όμορφος υπασπιστής πλησίασε πιο κοντά στον αρχιστράτηγο. Ήταν ο πρίγκιπας Μπολκόνσκι. Δίπλα του περπατούσε ο σύντροφός του Νεσβίτσκι, ένας ψηλός αξιωματικός, εξαιρετικά χοντρός, ευγενικός και χαμογελαστός όμορφο πρόσωποκαι υγρά μάτια? Ο Νεσβίτσκι με δυσκολία συγκρατήθηκε να μη γελάσει, ενθουσιασμένος από τον κατάμαυρο αξιωματικό του ουσάρ που περπατούσε δίπλα του. Ο αξιωματικός ουσάρ, χωρίς να χαμογελάσει, χωρίς να αλλάξει την έκφραση των καρφωμένων ματιών του, κοίταξε με σοβαρό πρόσωπο το πίσω μέρος του διοικητή του συντάγματος και μιμήθηκε κάθε κίνησή του. Κάθε φορά που ο διοικητής του συντάγματος έσκυβε και έσκυβε προς τα εμπρός, με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, ο αξιωματικός των ουσάρων έσκυβε μπροστά. Ο Νεσβίτσκι γέλασε και ώθησε τους άλλους να κοιτάξουν τον αστείο άντρα.
Ο Κουτούζοφ περπάτησε αργά και νωχελικά δίπλα από χιλιάδες μάτια που έβγαιναν από τις κόγχες τους, βλέποντας το αφεντικό τους. Έχοντας προλάβει την 3η παρέα, ξαφνικά σταμάτησε. Η ακολουθία, χωρίς να προλάβει αυτή τη στάση, κινήθηκε άθελά του προς το μέρος του.
- Αχ, Τιμόχιν! - είπε ο αρχιστράτηγος, αναγνωρίζοντας τον καπετάνιο με την κόκκινη μύτη, που υπέφερε για το μπλε πανωφόρι του.
Φαινόταν ότι ήταν αδύνατο να απλωθεί περισσότερο από ό, τι απλώθηκε ο Timokhin, ενώ ο διοικητής του συντάγματος τον επέπληξε. Αλλά εκείνη τη στιγμή του απευθύνθηκε ο αρχιστράτηγος, ο καπετάνιος σηκώθηκε όρθιος, έτσι που φαινόταν ότι αν ο αρχιστράτηγος τον κοίταζε για λίγο ακόμη, ο λοχαγός δεν θα το άντεχε. και επομένως ο Κουτούζοφ, προφανώς κατανοώντας τη θέση του και επιθυμώντας, αντίθετα, ό,τι καλύτερο για τον καπετάνιο, έφυγε βιαστικά. Ένα ελάχιστα αντιληπτό χαμόγελο έτρεξε στο παχουλό, παραμορφωμένο από πληγές πρόσωπο του Κουτούζοφ.
«Ένας άλλος σύντροφος του Izmailovo», είπε. - Γενναίος αξιωματικός! Είσαι ευχαριστημένος με αυτό; – ρώτησε ο Κουτούζοφ τον διοικητή του συντάγματος.
Και ο διοικητής του συντάγματος, καθρεφτισμένος σαν σε καθρέφτη, αόρατος στον εαυτό του, σε έναν αξιωματικό ουσάρ, ανατρίχιασε, ήρθε μπροστά και απάντησε:
- Είμαι πολύ ευχαριστημένος Σεβασμιώτατε.
«Δεν είμαστε όλοι χωρίς αδυναμίες», είπε ο Κουτούζοφ, χαμογελώντας και απομακρύνθηκε από αυτόν. «Είχε μια αφοσίωση στον Βάκχο.
Ο διοικητής του συντάγματος φοβόταν ότι έφταιγε για αυτό και δεν απάντησε τίποτα. Ο αξιωματικός εκείνη τη στιγμή παρατήρησε το πρόσωπο του καπετάνιου με μια κόκκινη μύτη και μια σφιγμένη κοιλιά και μιμήθηκε το πρόσωπό του και πόζαρε τόσο κοντά που ο Νεσβίτσκι δεν μπορούσε να σταματήσει να γελάει.
Ο Κουτούζοφ γύρισε. Ήταν ξεκάθαρο ότι ο αξιωματικός μπορούσε να ελέγξει το πρόσωπό του όπως ήθελε: τη στιγμή που ο Κουτούζοφ γύρισε, ο αξιωματικός κατάφερε να κάνει ένα μορφασμό και μετά να πάρει την πιο σοβαρή, σεβαστή και αθώα έκφραση.
Η τρίτη εταιρεία ήταν η τελευταία και ο Κουτούζοφ το σκέφτηκε, προφανώς θυμόταν κάτι. Ο πρίγκιπας Αντρέι βγήκε από την ακολουθία του και είπε ήσυχα στα γαλλικά:
– Διέταξατε μια υπενθύμιση για τον Dolokhov, ο οποίος υποβιβάστηκε, σε αυτό το σύνταγμα.
-Πού είναι ο Ντολόχοφ; – ρώτησε ο Κουτούζοφ.
Ο Ντολόχοφ, ήδη ντυμένος με το γκρι πανωφόρι ενός στρατιώτη, δεν περίμενε να τον καλέσουν. Λεπτή φιγούρα ξανθού άνδρα με καθαρά μαλλιά μπλε μάτιαο στρατιώτης βγήκε από το μέτωπο. Πλησίασε τον αρχιστράτηγο και τον έβαλε να φρουρήσει.
- Απαίτηση? – ρώτησε ο Κουτούζοφ συνοφρυωμένος ελαφρά.
«Αυτός είναι ο Dolokhov», είπε ο πρίγκιπας Αντρέι.
- ΕΝΑ! - είπε ο Κουτούζοφ. «Ελπίζω αυτό το μάθημα να σε διορθώσει, να σε εξυπηρετήσει καλά». Ο Κύριος είναι ελεήμων. Και δεν θα σε ξεχάσω αν το αξίζεις.
Γαλάζια, καθαρά μάτια κοίταξαν τον αρχιστράτηγο τόσο προκλητικά όσο και τον διοικητή του συντάγματος, σαν να έσκιζαν με την έκφρασή τους το πέπλο της σύμβασης που μέχρι στιγμής χώριζε τον αρχιστράτηγο από τον στρατιώτη.
«Ένα ζητώ, Εξοχότατε», είπε με την ηχηρή, σταθερή, αβίαστη φωνή του. «Παρακαλώ, δώστε μου την ευκαιρία να επανορθώσω την ενοχή μου και να αποδείξω την αφοσίωσή μου στον Αυτοκράτορα και τη Ρωσία».
Ο Κουτούζοφ γύρισε μακριά. Το ίδιο χαμόγελο στα μάτια του άστραψε στο πρόσωπό του όπως όταν γύρισε μακριά από τον λοχαγό Τιμόχιν. Γύρισε την πλάτη και στρίμωξε, σαν να ήθελε να εκφράσει ότι όλα όσα του είπε ο Dolokhov, και όλα όσα μπορούσε να του πει, ήξερε εδώ και πολύ καιρό, ότι όλα αυτά τον είχαν ήδη βαρεθεί και ότι όλα αυτά δεν ήταν καθόλου αυτό που χρειαζόταν . Γύρισε αλλού και κατευθύνθηκε προς το καρότσι.
Το σύνταγμα διαλύθηκε σε παρέες και κατευθύνθηκε σε καθορισμένες συνοικίες όχι μακριά από το Μπραουνάου, όπου ήλπιζαν να φορέσουν παπούτσια, να ντυθούν και να ξεκουραστούν μετά από δύσκολες πορείες.
– Δεν με διεκδικείς, Πρόκορ Ιγκνάτιτς; - είπε ο διοικητής του συντάγματος, οδηγώντας γύρω από τον 3ο λόχο προχωρώντας προς το μέρος και πλησιάζοντας τον λοχαγό Timokhin, που περπατούσε μπροστά του. Το πρόσωπο του διοικητή του συντάγματος εξέφραζε ανεξέλεγκτη χαρά μετά από μια ευτυχώς ολοκληρωμένη αναθεώρηση. - Η βασιλική υπηρεσία... είναι αδύνατο... άλλη φορά θα το τελειώσεις στο μέτωπο... Θα σου ζητήσω πρώτα συγγνώμη, ξέρεις με... Σε ευχαρίστησα πολύ! - Και άπλωσε το χέρι του στον διοικητή του λόχου.
- Για χάρη του ελέους, στρατηγέ, τολμώ! - απάντησε ο καπετάνιος, κοκκινίζοντας με τη μύτη του, χαμογελώντας και αποκαλύπτοντας με χαμόγελο την έλλειψη δύο μπροστινών δοντιών, που χτυπήθηκαν από τον πισινό κάτω από τον Ισμαήλ.
- Ναι, πείτε στον κύριο Ντολόχοφ ότι δεν θα τον ξεχάσω, για να είναι ήρεμος. Ναι, πες μου, συνέχισα να ρωτάω πώς είναι, πώς συμπεριφέρεται; Και αυτό είναι όλο...
«Είναι πολύ εξυπηρετικός στην υπηρεσία του, Εξοχότατε... αλλά ο ναυλωτής...» είπε ο Τιμόχιν.
- Τι, τι χαρακτήρας; – ρώτησε ο διοικητής του συντάγματος.
«Η Εξοχότητά σας διαπιστώνει για μέρες», είπε ο καπετάνιος, «ότι είναι έξυπνος, μορφωμένος και ευγενικός». Είναι θηρίο. Σκότωσε έναν Εβραίο στην Πολωνία, αν θέλετε...
«Λοιπόν, ναι, καλά», είπε ο διοικητής του συντάγματος, «για όλα πρέπει να μετανιώσετε». νέος άνδραςστην ατυχία. Εξάλλου, εξαιρετικές διασυνδέσεις... Άρα εσύ...
«Ακούω, Εξοχότατε», είπε ο Τιμόχιν, χαμογελώντας, κάνοντάς του να νιώθει ότι κατάλαβε τις επιθυμίες του αφεντικού.
- Ναι ναι.
Ο διοικητής του συντάγματος βρήκε τον Dolokhov στις τάξεις και χαλινάρισε το άλογό του.
«Πριν από την πρώτη εργασία, επωμίδες», του είπε.
Ο Ντολόχοφ κοίταξε τριγύρω, δεν είπε τίποτα και δεν άλλαξε την έκφραση του χλευαστικά χαμογελαστού στόματός του.
«Λοιπόν, αυτό είναι καλό», συνέχισε ο διοικητής του συντάγματος. «Οι άνθρωποι έχουν ένα ποτήρι βότκα από εμένα», πρόσθεσε για να μπορούν να ακούσουν οι στρατιώτες. - Σας ευχαριστώ όλους! Ο Θεός να ευλογεί! - Και αυτός, προσπερνώντας την παρέα, οδήγησε σε άλλο.
- Λοιπόν, αυτός πραγματικά καλός άνθρωπος; «Μπορείς να υπηρετήσεις μαζί του», είπε ο υποδεέστερος Τιμόχιν στον αξιωματικό που περπατούσε δίπλα του.
«Μια λέξη, ο βασιλιάς των καρδιών!... (ο διοικητής του συντάγματος είχε το παρατσούκλι ο βασιλιάς των καρδιών)», είπε ο υπαξιωματικός γελώντας.
Η χαρούμενη διάθεση των αρχών μετά την αναθεώρηση απλώθηκε και στους φαντάρους. Η παρέα περπάτησε χαρούμενη. Οι φωνές των στρατιωτών μιλούσαν από όλες τις πλευρές.
- Τι είπαν, στραβό Κουτούζοφ, για το ένα μάτι;
- Διαφορετικά, όχι! Εντελώς στραβό.
- Όχι... αδερφέ, έχει μεγαλύτερα μάτια από σένα. Μπότες και μπότες - Κοίταξα τα πάντα...
- Πώς να κοιτάει, αδερφέ μου, τα πόδια μου... καλά! Νομίζω…
- Και ο άλλος Αυστριακός, μαζί του, ήταν σαν αλειμμένος με κιμωλία. Σαν αλεύρι, λευκό. Εγώ τσάι, πώς καθαρίζουν πυρομαχικά!
- Τι, Fedeshow!... είπε ότι όταν άρχισαν οι μάχες, στάθηκες πιο κοντά; Όλοι είπαν ότι ο ίδιος ο Μπουναπάρτης στέκεται στο Μπρούνοβο.
- Ο Μπουναπάρτης αξίζει τον κόπο! λέει ψέματα ρε βλάκα! Τι δεν ξέρει! Τώρα ο Πρώσος επαναστατεί. Ο Αυστριακός, λοιπόν, τον ειρηνεύει. Μόλις κάνει ειρήνη, τότε θα ανοίξει ο πόλεμος με τον Μπουναπάρτη. Αλλιώς, λέει, ο Μπουναπάρτης στέκεται στο Μπρούνοβο! Αυτό δείχνει ότι είναι ανόητος. Ακούστε περισσότερα.
- Κοίτα, φτου τους ενοικιαστές! Η πέμπτη παρέα, κοίτα, ήδη γυρίζει στο χωριό, θα μαγειρέψουν χυλό, και ακόμα δεν θα φτάσουμε στο μέρος.
- Δώσε μου ένα κράκερ, διάολε.
- Μου έδωσες καπνό χθες; Αυτό είναι αδερφέ. Λοιπόν, ορίστε, ο Θεός μαζί σας.
«Τουλάχιστον έκαναν μια στάση, αλλιώς δεν θα φάμε για άλλα πέντε μίλια».
– Ωραίο που μας έδωσαν οι Γερμανοί καρότσια. Όταν πάτε, να ξέρετε: είναι σημαντικό!
«Και εδώ, αδερφέ, ο κόσμος έχει εξαγριωθεί εντελώς». Όλα εκεί φαινόταν ότι ήταν Πολωνός, όλα ήταν από το ρωσικό στέμμα. και τώρα, αδερφέ, έχει γίνει εντελώς Γερμανός.
– Μπροστά οι τραγουδοποιοί! – ακούστηκε η κραυγή του καπετάνιου.
Και είκοσι άνθρωποι έτρεξαν έξω από διαφορετικές σειρές μπροστά από την εταιρεία. Ο ντράμερ άρχισε να τραγουδά και γύρισε να κοιτάξει τους τραγουδοποιούς και, κουνώντας το χέρι του, άρχισε ένα συρμένο τραγούδι του στρατιώτη, που άρχιζε: «Δεν ξημέρωσε, ο ήλιος χάλασε...» και τελείωνε με τις λέξεις: «Τότε, αδέρφια, θα υπάρχει δόξα για εμάς και τον πατέρα του Καμένσκι...» Αυτό το τραγούδι γράφτηκε στην Τουρκία και τραγουδήθηκε τώρα στην Αυστρία, μόνο με την αλλαγή ότι στη θέση του «πατέρα του Καμένσκι» μπήκαν οι λέξεις: «Κουτούζοφ πατέρας."
Έχοντας σκίσει αυτές τις τελευταίες λέξεις σαν στρατιώτης και κουνώντας τα χέρια του, σαν να πετούσε κάτι στο έδαφος, ο ντράμερ, ένας ξερός και όμορφος στρατιώτης περίπου σαράντα, κοίταξε αυστηρά τους στρατιώτες τραγουδοποιούς και έκλεισε τα μάτια του. Έπειτα, βεβαιώνοντας ότι όλα τα βλέμματα ήταν καρφωμένα πάνω του, φάνηκε να σηκώνει προσεκτικά και με τα δύο του χέρια κάποιο αόρατο, πολύτιμο πράγμα πάνω από το κεφάλι του, το κράτησε έτσι για αρκετά δευτερόλεπτα και ξαφνικά το πέταξε απελπισμένος:
Ω, εσύ, κουβούκλιο μου, σκέπαστρό μου!
«Το νέο μου κουβούκλιο...», αντήχησαν είκοσι φωνές και ο κουταλοθήκη, παρά το βάρος των πυρομαχικών του, πήδηξε γρήγορα μπροστά και προχώρησε προς τα πίσω μπροστά στην παρέα, κουνώντας τους ώμους του και απειλώντας κάποιον με τα κουτάλια του. Οι στρατιώτες, κουνώντας τα χέρια τους στο ρυθμό του τραγουδιού, περπατούσαν με μεγάλους βηματισμούς, χτυπώντας άθελά τους τα πόδια τους. Από πίσω από την παρέα ακούγονταν οι ήχοι των τροχών, το τρίξιμο των ελατηρίων και το ποδοπάτημα των αλόγων.
Ο Κουτούζοφ και η ακολουθία του επέστρεφαν στην πόλη. Ο αρχιστράτηγος έδωσε ένα σημάδι στον κόσμο να συνεχίσει να περπατά ελεύθερα, και η ευχαρίστηση εκφράστηκε στο πρόσωπό του και σε όλα τα πρόσωπα της ακολουθίας του στους ήχους του τραγουδιού, στη θέα του στρατιώτη που χορεύει και των στρατιωτών του η παρέα περπατούσε εύθυμα και ζωηρά. Στη δεύτερη σειρά, από τη δεξιά πλευρά, από την οποία η άμαξα προσπέρασε τους λόχους, τράβηξε άθελά του κανείς το μάτι ενός γαλανομάτη στρατιώτη, του Ντολόχοφ, ο οποίος προχώρησε ιδιαίτερα ζωηρά και με χάρη στον ρυθμό του τραγουδιού και κοίταξε τα πρόσωπα του όσοι περνούσαν με τέτοια έκφραση, σαν να λυπόταν όλους όσοι δεν πήγαιναν αυτή την ώρα με την παρέα. Ένας ουσάρ κορνέ από τη συνοδεία του Κουτούζοφ, μιμούμενος τον διοικητή του συντάγματος, έπεσε πίσω από την άμαξα και οδήγησε μέχρι τον Ντολόχοφ.
Ο χουσάρ κορνέ Ζερκόφ κάποτε στην Αγία Πετρούπολη ανήκε σε εκείνη τη βίαιη κοινωνία της οποίας ηγούνταν ο Ντολόχοφ. Στο εξωτερικό, ο Zherkov γνώρισε τον Dolokhov ως στρατιώτη, αλλά δεν θεώρησε απαραίτητο να τον αναγνωρίσει. Τώρα, μετά τη συνομιλία του Κουτούζοφ με τον υποβιβασμένο, στράφηκε προς το μέρος του με τη χαρά ενός παλιού φίλου:
- Αγαπητέ φίλε, πώς είσαι; - είπε στο άκουσμα του τραγουδιού, ταιριάζοντας το βήμα του αλόγου του με το βήμα της παρέας.
- Είμαι σαν? - απάντησε ψυχρά ο Dolokhov, - όπως βλέπετε.
Το ζωηρό τραγούδι έδωσε ιδιαίτερη σημασία στον τόνο της αναιδής ευθυμίας με τον οποίο μιλούσε ο Ζέρκοφ και στη σκόπιμη ψυχρότητα των απαντήσεων του Ντολόχοφ.
- Λοιπόν, πώς τα πας με το αφεντικό σου; – ρώτησε ο Ζέρκοφ.
- Τίποτα, καλοί άνθρωποι. Πώς μπήκατε στην έδρα;
- Αποσπασμένος, εφημερεύων.
Ήταν σιωπηλοί.
«Έλυσε ένα γεράκι από το δεξί της μανίκι», έλεγε το τραγούδι, προκαλώντας άθελά της ένα χαρούμενο, χαρούμενο συναίσθημα. Η συζήτησή τους μάλλον θα ήταν διαφορετική αν δεν μιλούσαν στον ήχο ενός τραγουδιού.
– Ισχύει ότι χτυπήθηκαν οι Αυστριακοί; – ρώτησε ο Ντολόχοφ.
«Ο διάβολος τους ξέρει», λένε.
«Χαίρομαι», απάντησε ο Dolokhov συνοπτικά και ξεκάθαρα, όπως απαιτούσε το τραγούδι.
«Λοιπόν, έλα σε μας το βράδυ, θα βάλεις ενέχυρο τον Φαραώ», είπε ο Ζέρκοφ.
– Ή έχεις πολλά λεφτά;
- Έλα.
- Ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟ. έκανα όρκο. Δεν πίνω ούτε παίζω στοίχημα μέχρι να τα καταφέρουν.
- Λοιπόν, στο πρώτο πράγμα...
- Θα δούμε εκεί.
Και πάλι σώπασαν.
«Μπείτε αν χρειαστείτε κάτι, όλοι στα κεντρικά γραφεία θα σας βοηθήσουν...» είπε ο Ζέρκοφ.
Ο Ντολόχοφ χαμογέλασε.
- Καλύτερα να μην ανησυχείς. Δεν θα ζητήσω τίποτα που χρειάζομαι, θα το πάρω μόνος μου.
- Λοιπόν, είμαι τόσο…
- Λοιπόν, κι εγώ.
- Αντιο σας.
- Να είναι υγιής…
... και ψηλά και μακριά,
Στην έδρα...
Ο Ζέρκοφ άγγιξε τα σπιρούνια του στο άλογο, το οποίο, ενθουσιασμένος, κλώτσησε τρεις φορές, χωρίς να ξέρει από ποια να ξεκινήσει, κατάφερε και κάλπασε, προσπέρασε την παρέα και προλάβαινε την άμαξα, επίσης στο ρυθμό του τραγουδιού.

Επιστρέφοντας από την επιθεώρηση, ο Κουτούζοφ, συνοδευόμενος από τον Αυστριακό στρατηγό, μπήκε στο γραφείο του και, καλώντας τον υπασπιστή, διέταξε να του δοθούν μερικά έγγραφα σχετικά με την κατάσταση των στρατευμάτων που έφτασαν και επιστολές που έλαβε από τον Αρχιδούκα Φερδινάνδο, ο οποίος διοικούσε τον προηγμένο στρατό . Ο πρίγκιπας Αντρέι Μπολκόνσκι μπήκε στο γραφείο του αρχιστράτηγου με τα απαιτούμενα χαρτιά. Ο Κουτούζοφ και ένα Αυστριακό μέλος των Gofkriegsrat κάθισαν μπροστά από το σχέδιο που είχε στο τραπέζι.
«Α...» είπε ο Κουτούζοφ, κοιτάζοντας πίσω στον Μπολκόνσκι, σαν με αυτή τη λέξη να προσκαλούσε τον βοηθό να περιμένει, και συνέχισε τη συζήτηση που είχε ξεκινήσει στα γαλλικά.
«Λέω μόνο ένα πράγμα, στρατηγέ», είπε ο Κουτούζοφ με μια ευχάριστη χάρη έκφρασης και τονισμό, που σε ανάγκασε να ακούς προσεκτικά κάθε λέξη που λέγεται χαλαρά. Ήταν ξεκάθαρο ότι ο ίδιος ο Κουτούζοφ απολάμβανε να ακούει τον εαυτό του. «Ένα μόνο λέω, στρατηγέ, ότι αν το θέμα εξαρτιόταν από την προσωπική μου επιθυμία, τότε η θέληση του Αυτού Μεγαλειότητος Αυτοκράτορα Φραντς θα είχε εκπληρωθεί εδώ και πολύ καιρό». Θα είχα ενταχθεί στον Αρχιδούκα εδώ και πολύ καιρό. Και πιστέψτε την τιμή μου, θα ήταν χαρά για μένα προσωπικά να παραδώσω την ανώτατη διοίκηση του στρατού σε έναν στρατηγό πιο ενημερωμένο και ικανό από εμένα, του οποίου η Αυστρία είναι τόσο άφθονη, και να εγκαταλείψω όλη αυτή τη βαριά ευθύνη. Αλλά οι συνθήκες είναι πιο δυνατές από εμάς, Στρατηγέ.
Και ο Κουτούζοφ χαμογέλασε με μια έκφραση σαν να έλεγε: «Έχεις κάθε δικαίωμα να μην με πιστεύεις, και ακόμη και εμένα δεν με νοιάζει καθόλου αν με πιστεύεις ή όχι, αλλά δεν έχεις κανένα λόγο να μου το πεις αυτό. Και αυτή είναι η όλη ουσία».
Ο Αυστριακός στρατηγός φαινόταν δυσαρεστημένος, αλλά δεν μπορούσε παρά να απαντήσει στον Κουτούζοφ με τον ίδιο τόνο.
«Αντίθετα», είπε με γκρινιάρη και θυμωμένο ύφος, τόσο σε αντίθεση με την κολακευτική σημασία των λέξεων που έλεγε, «αντίθετα, η συμμετοχή της Εξοχότητάς σας στον κοινό σκοπό εκτιμάται ιδιαίτερα από την Αυτού Μεγαλειότητα. αλλά πιστεύουμε ότι η παρούσα επιβράδυνση στερεί από τα ένδοξα ρωσικά στρατεύματα και τους αρχηγούς τους τις δάφνες που έχουν συνηθίσει να καρπώνονται στις μάχες», ολοκλήρωσε τη φαινομενικά προετοιμασμένη φράση του.
Ο Κουτούζοφ υποκλίθηκε χωρίς να αλλάξει το χαμόγελό του.
«Και είμαι τόσο πεπεισμένος και, με βάση την τελευταία επιστολή με την οποία με τίμησε η Αυτού Υψηλότης Αρχιδούκας Φερδινάνδος, υποθέτω ότι τα αυστριακά στρατεύματα, υπό τη διοίκηση ενός τόσο επιδέξιου βοηθού όπως ο στρατηγός Μακ, έχουν κερδίσει τώρα μια αποφασιστική νίκη και όχι πλέον χρειάζονται τη βοήθειά μας», είπε ο Κουτούζοφ.
Ο στρατηγός συνοφρυώθηκε. Αν και δεν υπήρχαν θετικά νέα για την ήττα των Αυστριακών, υπήρχαν πάρα πολλές περιστάσεις που επιβεβαίωσαν τις γενικές δυσμενείς φήμες. και επομένως η υπόθεση του Kutuzov για τη νίκη των Αυστριακών έμοιαζε πολύ με τη γελοιοποίηση. Αλλά ο Κουτούζοφ χαμογέλασε με πραότητα, με την ίδια έκφραση, που έλεγε ότι είχε το δικαίωμα να το υποθέσει. Πράγματι, το τελευταίο γράμμα που έλαβε από τον στρατό του Μακ τον ενημέρωσε για τη νίκη και την πιο πλεονεκτική στρατηγική θέση του στρατού.
«Δώσε μου αυτό το γράμμα εδώ», είπε ο Κουτούζοφ, γυρίζοντας στον πρίγκιπα Αντρέι. - Αν δείτε παρακαλώ. - Και ο Κουτούζοφ, με ένα σκωπτικό χαμόγελο στα άκρα των χειλιών του, διάβασε στα γερμανικά στον Αυστριακό στρατηγό το ακόλουθο απόσπασμα από μια επιστολή του Αρχιδούκα Φερδινάνδου: «Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirtewoinechtmit, itelien . Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zubereiten. [Έχουμε αρκετά συγκεντρωμένες δυνάμεις, περίπου 70.000 άτομα, ώστε να επιτεθούμε και να νικήσουμε τον εχθρό αν περάσει το Λεχ. Εφόσον έχουμε ήδη το Ulm, μπορούμε να διατηρήσουμε το πλεονέκτημα της διοίκησης και στις δύο όχθες του Δούναβη, επομένως, κάθε λεπτό, εάν ο εχθρός δεν διασχίσει το Λεχ, διασχίσει τον Δούναβη, σπεύσει στη γραμμή επικοινωνίας του και από κάτω διασχίσει τον Δούναβη πίσω στον εχθρό, αν αποφασίσει να στρέψει όλη του τη δύναμη στους πιστούς μας συμμάχους, αποτρέψτε την εκπλήρωση της πρόθεσής του. Έτσι, θα περιμένουμε με χαρά τη στιγμή που ο αυτοκρατορικός ρωσικός στρατός θα είναι εντελώς έτοιμος, και τότε μαζί θα βρούμε εύκολα την ευκαιρία να προετοιμάσουμε για τον εχθρό τη μοίρα που του αξίζει».]