personarossii.ru → Επισκευές

Συντελεστής μέγιστης αξίας. Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού

Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε λεπτομερώς την απόλυτη τιμή ενός αριθμού... Θα δώσουμε διάφορους ορισμούς του συντελεστή ενός αριθμού, θα εισαγάγουμε ονομασίες και θα παρέχουμε γραφικές απεικονίσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, θα εξετάσουμε διάφορα παραδείγματα εύρεσης του συντελεστή ενός αριθμού εξ ορισμού. Μετά από αυτό, θα παραθέσουμε και θα αιτιολογήσουμε τις κύριες ιδιότητες της ενότητας. Στο τέλος του άρθρου, ας μιλήσουμε για τον τρόπο καθορισμού και εντοπισμού της ενότητας. μιγαδικός αριθμός.

Πλοήγηση σελίδας.

Ενότητα αριθμών - ορισμός, σημειογραφία και παραδείγματα

Πρώτα εισάγουμε συντελεστής αριθμού... Ο συντελεστής του αριθμού α θα γραφτεί, δηλαδή, αριστερά και δεξιά του αριθμού θα βάλουμε κάθετες παύλες σχηματίζοντας το σύμβολο συντελεστή. Εδώ είναι μερικά παραδείγματα. Για παράδειγμα, η ενότητα −7 μπορεί να γραφτεί ως: η ενότητα 4.125 γράφεται ως, και η ενότητα γράφεται ως.

Ο ακόλουθος ορισμός μιας ενότητας αναφέρεται και, ως εκ τούτου, σε, και σε ακέραιους αριθμούς, και σε ορθολογικούς και παράλογους αριθμούς, ως συστατικά μέρη του συνόλου πραγματικοί αριθμοί... Θα μιλήσουμε για τη σύνθετη ενότητα αριθμών στο.

Ορισμός.

Συντελεστής του αριθμού α Είναι είτε ο ίδιος ο αριθμός, εάν είναι θετικός αριθμόςείτε ο αριθμός oppositeα απέναντι από τον αριθμό a εάν το a είναι αρνητικός αριθμός, ή 0 εάν a \u003d 0.

Ο ακουστικός ορισμός της ενότητας ενός αριθμού γράφεται συχνά με την ακόλουθη μορφή , αυτός ο συμβολισμός σημαίνει ότι εάν a\u003e 0, εάν a \u003d 0, και εάν a<0 .

Ο δίσκος μπορεί να παρουσιαστεί σε πιο συμπαγή μορφή ... Αυτός ο συμβολισμός σημαίνει ότι εάν (a είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0), και εάν a<0 .

Υπάρχει επίσης ένα δίσκο ... Εδώ, η περίπτωση όπου το \u003d 0 πρέπει να διευκρινιστεί ξεχωριστά. Σε αυτήν την περίπτωση, έχουμε, αλλά −0 \u003d 0, δεδομένου ότι το μηδέν θεωρείται ένας αριθμός που είναι αντίθετος από τον εαυτό του.

Ας δώσουμε παραδείγματα εύρεσης του συντελεστή ενός αριθμού χρησιμοποιώντας τον ακουστικό ορισμό. Για παράδειγμα, ας βρούμε τις ενότητες των αριθμών 15 και. Ας ξεκινήσουμε βρίσκοντας. Δεδομένου ότι ο αριθμός 15 είναι θετικός, ο συντελεστής του, εξ ορισμού, είναι ίσος με τον ίδιο τον αριθμό, δηλαδή. Και ποια είναι η απόλυτη τιμή ενός αριθμού; Δεδομένου ότι είναι αρνητικός αριθμός, ο συντελεστής του είναι ίσος με τον αντίθετο αριθμό, δηλαδή τον αριθμό ... Με αυτόν τον τρόπο, .

Στο συμπέρασμα αυτής της παραγράφου, παρουσιάζουμε ένα συμπέρασμα που είναι πολύ βολικό να εφαρμόζεται στην πράξη κατά την εύρεση του συντελεστή ενός αριθμού. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό του συντελεστή ενός αριθμού που ο συντελεστής ενός αριθμού είναι ίσος με τον αριθμό κάτω από το σύμβολο συντελεστή χωρίς να λαμβάνεται υπόψη το πρόσημά του, και από τα παραδείγματα που εξετάστηκαν παραπάνω, αυτό είναι πολύ εμφανές. Η παραπάνω δήλωση εξηγεί γιατί καλείται επίσης η ενότητα ενός αριθμού απόλυτη τιμή του αριθμού... Έτσι, το μέτρο ενός αριθμού και η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι ένα και το ίδιο.

Συντελεστής αριθμού ως απόσταση

Γεωμετρικά, η ενότητα ενός αριθμού μπορεί να ερμηνευθεί ως απόσταση... Ας δώσουμε προσδιορισμός του συντελεστή ενός αριθμού μέσω της απόστασης.

Ορισμός.

Συντελεστής του αριθμού α Είναι η απόσταση από την αρχή στη γραμμή συντεταγμένων έως το σημείο που αντιστοιχεί στον αριθμό a.

Αυτός ο ορισμός είναι σύμφωνος με τον ορισμό του συντελεστή ενός αριθμού που δίνεται στην πρώτη παράγραφο. Ας εξηγήσουμε αυτό το σημείο. Η απόσταση από την αρχή έως το σημείο στο οποίο αντιστοιχεί ο θετικός αριθμός είναι ίση με αυτόν τον αριθμό. Το μηδέν αντιστοιχεί στην προέλευση, οπότε η απόσταση από την αρχή έως το σημείο με τη συντεταγμένη 0 είναι μηδέν (δεν χρειάζεται να αναβάλλετε κανένα τμήμα μονάδας και όχι ένα τμήμα που αποτελεί οποιοδήποτε κλάσμα ενός τμήματος μονάδας για να φτάσετε από το σημείο Ο στο σημείο με τη συντεταγμένη 0). Η απόσταση από την αρχή έως το σημείο με αρνητική συντεταγμένη είναι ίση με τον αριθμό που βρίσκεται απέναντι από τη συντεταγμένη αυτού του σημείου, καθώς είναι ίση με την απόσταση από την αρχή έως το σημείο του οποίου η συντεταγμένη είναι ο αντίθετος αριθμός.

Για παράδειγμα, η απόλυτη τιμή του 9 είναι 9, καθώς η απόσταση από την αρχή έως το σημείο με τη συντεταγμένη 9 είναι εννέα. Ας δώσουμε ένα άλλο παράδειγμα. Το σημείο με τη συντεταγμένη .23.25 βρίσκεται σε απόσταση 3,25 από το σημείο O, έτσι .

Ο ακουστικός ορισμός του συντελεστή ενός αριθμού είναι μια ειδική περίπτωση προσδιορισμού του συντελεστή της διαφοράς δύο αριθμών.

Ορισμός.

Συντελεστής διαφοράς δύο αριθμών Το a και b είναι ίση με την απόσταση μεταξύ των σημείων της γραμμής συντεταγμένων με τις συντεταγμένες a και b.

Δηλαδή, εάν δίδονται σημεία στη γραμμή συντεταγμένων Α (α) και Β (β), τότε η απόσταση από το σημείο Α έως το σημείο Β είναι ίση με το συντελεστή διαφοράς μεταξύ των αριθμών a και b. Εάν πάρουμε το σημείο O (προέλευση) ως σημείο B, τότε παίρνουμε τον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός αριθμού που δίνεται στην αρχή αυτής της παραγράφου.

Προσδιορισμός του συντελεστή ενός αριθμού μέσω της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας

Μερικές φορές συμβαίνει ορισμός συντελεστή ως προς την αριθμητική τετραγωνική ρίζα.

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών −30 και με βάση αυτόν τον ορισμό. Εχουμε. Ομοίως, υπολογίζουμε την ενότητα των δύο τρίτων: .

Ο ορισμός του συντελεστή ενός αριθμού μέσω της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας συμφωνεί επίσης με τον ορισμό που δίνεται στην πρώτη παράγραφο αυτού του άρθρου. Ας το δείξουμε. Ας είναι θετικός αριθμός και ο αριθμός −a είναι αρνητικός. Τότε και , εάν a \u003d 0, τότε .

Ιδιότητες ενότητας

Η ενότητα έχει ορισμένα χαρακτηριστικά αποτελέσματα - ιδιότητες ενότητας... Τώρα θα παρουσιάσουμε τα κύρια και τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα. Κατά την τεκμηρίωση αυτών των ιδιοτήτων, θα βασιστούμε στον ορισμό του συντελεστή ενός αριθμού σε όρους απόστασης.

Ας ξεκινήσουμε με την πιο προφανή ιδιότητα μιας ενότητας - το μέτρο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό... Σε κυριολεκτική μορφή, αυτή η ιδιότητα έχει τη φόρμα για οποιονδήποτε αριθμό α. Αυτή η ιδιότητα είναι πολύ εύκολο να τεκμηριωθεί: ο συντελεστής ενός αριθμού είναι απόσταση και η απόσταση δεν μπορεί να εκφραστεί ως αρνητικός αριθμός.

Ας προχωρήσουμε στην επόμενη ιδιότητα της ενότητας. Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι μηδέν εάν και μόνο εάν αυτός ο αριθμός είναι μηδέν... Ο συντελεστής μηδέν είναι εξ ορισμού μηδέν. Το μηδέν αντιστοιχεί στην αρχή, κανένα άλλο σημείο στη γραμμή συντεταγμένων δεν αντιστοιχεί στο μηδέν, καθώς κάθε πραγματικός αριθμός σχετίζεται με ένα μόνο σημείο στη γραμμή συντεταγμένων. Για τον ίδιο λόγο, οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το μηδέν αντιστοιχεί σε ένα σημείο διαφορετικό από την προέλευση. Και η απόσταση από την αρχή σε οποιοδήποτε άλλο σημείο εκτός από το σημείο O δεν είναι μηδέν, καθώς η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι μηδέν εάν και μόνο εάν συμπίπτουν αυτά τα σημεία. Η παραπάνω συλλογιστική αποδεικνύει ότι μόνο ο συντελεστής του μηδέν είναι ίσος με το μηδέν.

Προχώρα. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσες ενότητες, δηλαδή για οποιονδήποτε αριθμό α. Πράγματι, δύο σημεία στη γραμμή συντεταγμένων, οι συντεταγμένες των οποίων είναι αντίθετοι αριθμοί, βρίσκονται στην ίδια απόσταση από την προέλευση, πράγμα που σημαίνει ότι οι απόλυτες τιμές των αντίθετων αριθμών είναι ίσες.

Η επόμενη ιδιότητα της ενότητας έχει ως εξής: ο συντελεστής του προϊόντος των δύο αριθμών είναι ίσος με το προϊόν των συντελεστών αυτών των αριθμών, δηλαδή. Εξ ορισμού, ο συντελεστής του προϊόντος των αριθμών a και b είναι είτε a b, είτε - (a b) εάν. Από τους κανόνες πολλαπλασιασμού των πραγματικών αριθμών προκύπτει ότι το προϊόν των απόλυτων τιμών των αριθμών a και b είναι ίσο είτε με ένα b, είτε - (a b), εάν, που αποδεικνύει την υπό εξέταση ιδιότητα.

Ο συντελεστής του πηλίκου διαίρεσης a με b είναι ίσος με το πηλίκο διαίρεσης του συντελεστή του αριθμού a με το συντελεστή του αριθμού b, δηλαδή. Ας αιτιολογήσουμε αυτήν την ιδιότητα της ενότητας. Δεδομένου ότι το πηλίκο είναι ίσο με το προϊόν, τότε. Λόγω της προηγούμενης ιδιοκτησίας, έχουμε ... Παραμένει μόνο η χρήση της ισότητας, η οποία ισχύει βάσει του ορισμού του συντελεστή ενός αριθμού.

Η ακόλουθη ιδιότητα μιας λειτουργικής μονάδας γράφεται ως ανισότητα: , a, b και c είναι αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί. Η ανισότητα που καταγράφεται δεν είναι τίποτα περισσότερο από ανισότητα τριγώνου... Για να το καταστήσετε σαφές, πάρτε τα σημεία A (a), B (b), C (c) στη γραμμή συντεταγμένων, και λάβετε υπόψη το εκφυλισμένο τρίγωνο ABC, του οποίου οι κορυφές βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή. Εξ ορισμού, ο συντελεστής της διαφοράς ισούται με το μήκος του τμήματος ΑΒ, είναι το μήκος του τμήματος AC και είναι το μήκος του τμήματος CB. Δεδομένου ότι το μήκος οποιασδήποτε πλευράς του τριγώνου δεν υπερβαίνει το άθροισμα των μηκών των άλλων δύο πλευρών, η ανισότητα ως εκ τούτου, η ανισότητα ισχύει επίσης.

Η ανισότητα που μόλις αποδείχθηκε είναι πολύ πιο κοινή στη φόρμα ... Η γραπτή ανισότητα θεωρείται συνήθως ως ξεχωριστή ιδιότητα της ενότητας με τη διατύπωση: " Η απόλυτη τιμή του αθροίσματος των δύο αριθμών δεν υπερβαίνει το άθροισμα των απόλυτων τιμών αυτών των αριθμών" Αλλά η ανισότητα προκύπτει άμεσα από την ανισότητα αν βάζουμε −b αντί b και παίρνουμε c \u003d 0.

Σύνθετη ενότητα αριθμών

Ας δώσουμε προσδιορισμός του συντελεστή ενός σύνθετου αριθμού... Είθε να μας δοθεί μιγαδικός αριθμός, γραμμένο σε αλγεβρική μορφή, όπου τα x και y είναι ορισμένοι πραγματικοί αριθμοί που αντιπροσωπεύουν, αντίστοιχα, τα πραγματικά και φανταστικά μέρη ενός δεδομένου σύνθετου αριθμού z, και είναι μια φανταστική ενότητα.

Η ενότητα αριθμών εισάγει μια νέα έννοια στα μαθηματικά. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε τι είναι μια ενότητα αριθμών και πώς να συνεργαστούμε με αυτήν;

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Αφήσαμε το σπίτι για το κατάστημα. Περπατήσαμε 300 μέτρα, μαθηματικά αυτή η έκφραση μπορεί να γραφτεί ως +300, η \u200b\u200bέννοια του αριθμού 300 από το σύμβολο "+" δεν θα αλλάξει. Η απόσταση ή ο συντελεστής ενός αριθμού στα μαθηματικά είναι ένα και το ίδιο μπορεί να γραφτεί ως εξής: | 300 | \u003d 300. Ο συντελεστής ενός αριθμού υποδεικνύεται από δύο κάθετες γραμμές.

Και μετά περπατήσαμε 200 μέτρα στην αντίθετη κατεύθυνση. Μαθηματικά, μπορούμε να γράψουμε τη διαδρομή επιστροφής ως -200. Αλλά δεν λέμε ότι «έχουμε περάσει μείον διακόσια μέτρα», αν και έχουμε επιστρέψει, επειδή η απόσταση ως τιμή παραμένει θετική. Για αυτό, η έννοια μιας ενότητας εισήχθη στα μαθηματικά. Μπορείτε να γράψετε την απόσταση ή το μέτρο του αριθμού -200 ως εξής: | -200 | \u003d 200.

Ιδιότητες ενότητας.

Ορισμός:
Συντελεστής ενός αριθμού ή της απόλυτης τιμής ενός αριθμού Είναι η απόσταση από το σημείο εκκίνησης έως το σημείο προορισμού.

Το συντελεστή ενός μηδενικού ακέραιου, πάντα θετικός αριθμός.

Η ενότητα γράφεται ως εξής:

1. Η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού ισούται με τον ίδιο τον αριθμό.
| α | \u003dένα

2. Η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού ισούται με τον αντίθετο αριθμό.
|- α | \u003dένα

3. Ο συντελεστής μηδέν είναι μηδέν.
|0|=0

4. Οι ενότητες των αντίθετων αριθμών είναι ίσες.
| α | \u003d | -α | \u003dένα

Ερωτήσεις σχετικά με το θέμα:
Ποιο είναι το μέτρο ενός αριθμού;
Απάντηση: Η ενότητα είναι η απόσταση από το σημείο εκκίνησης έως το σημείο προορισμού.

Εάν βάλετε ένα "+" μπροστά από έναν ακέραιο, τι θα συμβεί;
Απάντηση: ο αριθμός δεν θα αλλάξει τη σημασία του, για παράδειγμα, 4 \u003d + 4.

Εάν βάλετε ένα "-" μπροστά από έναν ακέραιο, τι θα συμβεί;
Απάντηση: Ο αριθμός θα αλλάξει, για παράδειγμα, 4 και -4.

Ποιοι αριθμοί έχουν το ίδιο συντελεστή;
Απάντηση: οι θετικοί αριθμοί και το μηδέν θα έχουν το ίδιο συντελεστή. Για παράδειγμα, 15 \u003d | 15 |.

Ποιοι αριθμοί έχουν το αντίθετο μέτρο;
Απάντηση: για αρνητικούς αριθμούς, το συντελεστή θα είναι ίσο με τον αντίθετο αριθμό. Για παράδειγμα, | -6 | \u003d 6.

Παράδειγμα # 1:
Βρείτε το συντελεστή των αριθμών: a) 0 b) 5 c) -7;

Απόφαση:
α) | 0 | \u003d 0
β) | 5 | \u003d 5
γ) | -7 | \u003d 7

Παράδειγμα # 2:
Υπάρχουν δύο διαφορετικοί αριθμοί των οποίων οι απόλυτες τιμές είναι ίσες;

Απόφαση:
|10|=10
|-10|=10

Οι ενότητες των αντίθετων αριθμών είναι ίσες.

Παράδειγμα # 3:
Ποιοι είναι οι δύο αντίθετοι αριθμοί που έχουν μια ενότητα 9;

Απόφαση:
|9|=9
|-9|=9

Απάντηση: 9 και -9.

Παράδειγμα # 4:
Ακολουθήστε τα βήματα: α) | +5 | + | -3 | β) | -3 | + | -8 | γ) | +4 | - | +1 |

Απόφαση:
α) | +5 | + | -3 | \u003d 5 + 3 \u003d 8
β) | -3 | + | -8 | \u003d 3 + 8 \u003d 11
γ) | +4 | - | +1 | \u003d 4 - 1 \u003d 3

Παράδειγμα # 5:
Εύρεση: α) συντελεστής του αριθμού 2 β) συντελεστής του αριθμού 6 γ) συντελεστής του αριθμού 8 δ) συντελεστής του αριθμού 1 ε) συντελεστής του αριθμού 0.
Απόφαση:

α) ο συντελεστής του αριθμού 2 δηλώνεται ως | 2 | ή | +2 | Αυτό είναι το ίδιο.
|2|=2

β) ο συντελεστής του αριθμού 6 δηλώνεται ως | 6 | ή | +6 | Αυτό είναι το ίδιο.
|6|=6

γ) ο συντελεστής του αριθμού 8 δηλώνεται ως | 8 | ή | +8 | Αυτό είναι το ίδιο.
|8|=8

δ) ο συντελεστής του αριθμού 1 δηλώνεται ως | 1 | ή | +1 | Αυτό είναι το ίδιο.
|1|=1

ε) ο συντελεστής του αριθμού 0 δηλώνεται ως | 0 |, | +0 | ή | -0 | Αυτό είναι το ίδιο.
|0|=0

Η ενότητα είναι ένα από αυτά τα πράγματα που όλοι φαίνεται να έχουν ακούσει, αλλά στην πραγματικότητα κανείς δεν καταλαβαίνει κανονικά. Επομένως, σήμερα θα υπάρξει ένα μεγάλο μάθημα για την επίλυση εξισώσεων με ενότητες.

Θα σας πω αμέσως: το μάθημα θα είναι απλό. Γενικά, οι ενότητες είναι γενικά ένα σχετικά απλό θέμα. «Ναι, φυσικά, δεν είναι δύσκολο! Ο εγκέφαλός μου ξεσπάει! " - Πολλοί μαθητές θα πουν, αλλά όλα αυτά τα εγκεφαλικά διαλείμματα συμβαίνουν λόγω του γεγονότος ότι οι περισσότεροι άνθρωποι δεν έχουν γνώση στο κεφάλι τους, αλλά κάποιο είδος χάλια. Και ο στόχος αυτού του σεμιναρίου είναι να μετατρέψει τα χάλια σε γνώση. :)

Λίγο θεωρία

Λοιπόν πάμε. Ας ξεκινήσουμε με το πιο σημαντικό: τι είναι μια ενότητα; Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι ο συντελεστής ενός αριθμού είναι ακριβώς ο ίδιος αριθμός, αλλά λαμβάνεται χωρίς το σύμβολο μείον. Δηλαδή, $ \\ αριστερά | -5 \\ δεξιά | \u003d 5 $. Ή $ \\ αριστερά | -129,5 \\ δεξιά | \u003d 129,5 $.

Είναι τόσο απλό; Ναι, απλό. Και τότε ποια είναι η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού; Είναι ακόμα πιο απλό εδώ: ο συντελεστής ενός θετικού αριθμού είναι ίδιος με αυτόν τον αριθμό: $ \\ αριστερά | 5 \\ δεξιά | \u003d 5 $; $ \\ αριστερά | 129,5 \\ δεξιά | \u003d 129,5 $ κ.λπ.

Αποδεικνύεται ένα ενδιαφέρον πράγμα: διαφορετικοί αριθμοί μπορούν να έχουν την ίδια ενότητα. Για παράδειγμα: $ \\ αριστερά | -5 \\ δεξιά | \u003d \\ αριστερά | 5 \\ δεξιά | \u003d 5 $; $ \\ αριστερά | -129,5 \\ δεξιά | \u003d \\ αριστερά | 129,5 \\ δεξιά | \u003d 129,5 $. Είναι εύκολο να δούμε ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί, των οποίων οι ενότητες είναι ίδιες: αυτοί οι αριθμοί είναι αντίθετοι. Έτσι, παρατηρούμε για μας ότι οι απόλυτες τιμές των αντίθετων αριθμών είναι ίσες:

\\ [\\ αριστερά | -α \\ δεξιά | \u003d \\ αριστερά | α \\ δεξιά | \\]

Ένα άλλο σημαντικό γεγονός: το μέτρο δεν είναι ποτέ αρνητικό... Όποιος αριθμός και αν είναι - θετικός ή αρνητικός - ο συντελεστής του αποδεικνύεται πάντα θετικός (ή, σε ακραίες περιπτώσεις, μηδέν). Γι 'αυτό το συντελεστή ονομάζεται συχνά η απόλυτη τιμή ενός αριθμού.

Επιπλέον, εάν συνδυάσετε τον ορισμό του συντελεστή για θετικούς και αρνητικούς αριθμούς, λαμβάνουμε τον καθολικό ορισμό του συντελεστή για όλους τους αριθμούς. Δηλαδή: ο συντελεστής ενός αριθμού είναι ίδιος με αυτόν τον αριθμό, εάν ο αριθμός είναι θετικός (ή μηδέν), ή ίσος με τον αντίθετο αριθμό, εάν ο αριθμός είναι αρνητικός. Μπορείτε να το γράψετε ως τύπο:

Υπάρχει επίσης μηδενική μονάδα, αλλά είναι πάντα μηδέν. Επιπλέον, το μηδέν είναι ο μόνος αριθμός που δεν έχει αντίθετο.

Έτσι, αν λάβουμε υπόψη τη συνάρτηση $ y \u003d \\ left | x \\ right | $ και προσπαθήστε να σχεδιάσετε το γράφημα, παίρνετε αυτό το "daw":

Ενότητα ενότητας και παράδειγμα επίλυσης μιας εξίσωσης

Αυτή η εικόνα δείχνει αμέσως ότι $ \\ αριστερά | -m \\ δεξιά | \u003d \\ αριστερά | m \\ right | $ και το γράφημα συντελεστή δεν πέφτει ποτέ κάτω από τον άξονα της τετμημένης. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό: η κόκκινη γραμμή σηματοδοτεί την ευθεία γραμμή $ y \u003d a $, η οποία για θετική $ a $ μας δίνει δύο ρίζες ταυτόχρονα: $ ((x) _ (1)) $ και $ ((x) _ (2)) $, αλλά θα το συζητήσουμε αργότερα. :)

Εκτός από έναν καθαρά αλγεβρικό ορισμό, υπάρχει ένας γεωμετρικός. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο σημεία στη γραμμή αριθμών: $ ((x) _ (1)) $ και $ ((x) _ (2)) $. Σε αυτήν την περίπτωση, η έκφραση $ \\ αριστερά | ((x) _ (1)) - ((x) _ (2)) \\ right | $ είναι ακριβώς η απόσταση μεταξύ των καθορισμένων σημείων. Ή, αν θέλετε, το μήκος του τμήματος που συνδέει αυτά τα σημεία:

Συντελεστής είναι η απόσταση μεταξύ σημείων στη γραμμή αριθμών

Αυτός ο ορισμός υπονοεί επίσης ότι ο συντελεστής είναι πάντα μη αρνητικός. Αλλά αρκετοί ορισμοί και θεωρία - ας προχωρήσουμε σε πραγματικές εξισώσεις. :)

Βασικός τύπος

Λοιπόν, καταλάβαμε τον ορισμό. Αλλά δεν έγινε ευκολότερο. Πώς να επιλύσετε εξισώσεις που περιέχουν αυτήν την ενότητα;

Ηρεμία, μόνο ήρεμη. Ας ξεκινήσουμε με τα πιο απλά πράγματα. Σκεφτείτε κάτι τέτοιο:

\\ [\\ αριστερά | x \\ δεξιά | \u003d 3 \\]

Έτσι, ο συντελεστής των $ x $ είναι 3. Τι είναι $ x $; Λοιπόν, κρίνοντας από τον ορισμό, $ x \u003d 3 $ είναι μια χαρά. Πραγματικά:

\\ [\\ αριστερά | 3 \\ δεξιά | \u003d 3 \\]

Υπάρχουν άλλοι αριθμοί; Το καπάκι, όπως ήταν, υπαινίσσεται ότι υπάρχει. Για παράδειγμα, $ x \u003d -3 $ - γι 'αυτόν, επίσης, $ \\ αριστερά | -3 \\ δεξιά | \u003d 3 $, δηλ. η απαιτούμενη ισότητα ισχύει.

Λοιπόν, αν κάνουμε αναζήτηση, νομίζουμε, θα βρούμε περισσότερους αριθμούς; Αλλά διακόψτε: δεν υπάρχουν περισσότεροι αριθμοί. Εξίσωση $ \\ αριστερά | x \\ right | \u003d 3 $ έχει μόνο δύο ρίζες: $ x \u003d 3 $ και $ x \u003d -3 $.

Ας περιπλέξουμε λίγο το έργο. Αφήστε τη συνάρτηση $ f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) $ να κολλήσει αντί της μεταβλητής $ x $ κάτω από το σύμβολο συντελεστή και στα δεξιά, αντί για τριπλή, τοποθετήστε έναν αυθαίρετο αριθμό $ a $. Παίρνουμε την εξίσωση:

\\ [\\ αριστερά | f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\ δεξιά | \u003d α \\]

Λοιπόν, πώς να το λύσετε; Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω: $ f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) $ είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση, το $ a $ είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Εκείνοι. γενικά οποιοδήποτε! Για παράδειγμα:

\\ [\\ αριστερά | 2x + 1 \\ δεξιά | \u003d 5 \\]

\\ [\\ αριστερά | 10x-5 \\ δεξιά | \u003d -65 \\]

Ας δώσουμε προσοχή στη δεύτερη εξίσωση. Μπορείτε να πείτε αμέσως γι 'αυτόν: δεν έχει ρίζες. Γιατί; Όλα είναι σωστά: γιατί απαιτεί ο συντελεστής να είναι ίσος με έναν αρνητικό αριθμό, ο οποίος δεν συμβαίνει ποτέ, αφού γνωρίζουμε ήδη ότι ο συντελεστής είναι πάντα θετικός αριθμός ή, σε ακραίες περιπτώσεις, μηδέν.

Αλλά με την πρώτη εξίσωση, όλα είναι πιο διασκεδαστικά. Υπάρχουν δύο επιλογές: είτε υπάρχει μια θετική έκφραση κάτω από το σύμβολο συντελεστή, και στη συνέχεια $ \\ αριστερά | 2x + 1 \\ δεξιά | \u003d 2x + 1 $, ή αυτή η έκφραση είναι ακόμη αρνητική και, στη συνέχεια, $ \\ αριστερά | 2x + 1 \\ δεξιά | \u003d - \\ αριστερά (2x + 1 \\ δεξιά) \u003d - 2x-1 $. Στην πρώτη περίπτωση, η εξίσωση θα ξαναγραφεί ως εξής:

\\ [\\ αριστερά | 2x + 1 \\ δεξιά | \u003d 5 \\ Δεξιά γραμμή 2x + 1 \u003d 5 \\]

Και ξαφνικά αποδεικνύεται ότι η έκφραση υπομονάδας $ 2x + 1 $ είναι πραγματικά θετική - είναι ίση με τον αριθμό 5. Δηλαδή, μπορούμε να λύσουμε με ασφάλεια αυτήν την εξίσωση - η προκύπτουσα ρίζα θα είναι ένα κομμάτι της απάντησης:

Εκείνοι που είναι ιδιαίτερα δύσπιστοι μπορούν να προσπαθήσουν να αντικαταστήσουν τη ρίζα που βρέθηκε στην αρχική εξίσωση και να βεβαιωθούν ότι υπάρχει πράγματι ένας θετικός αριθμός στο μέτρο.

Τώρα ας δούμε την περίπτωση μιας αρνητικής έκφρασης υπομονάδας:

\\ [\\ αριστερά \\ (\\ έναρξη (ευθυγράμμιση) & \\ αριστερά | 2x + 1 \\ δεξιά | \u003d 5 \\\\ & 2x + 1 \\ lt 0 \\\\ τέλος (ευθυγράμμιση) \\ δεξιά. \\ Δεξί βέλος -2x-1 \u003d 5 \\ Rightarrow 2x + 1 \u003d -5 \\]

Ωχ! Και πάλι, όλα είναι ξεκάθαρα: υποθέσαμε ότι $ 2x + 1 \\ lt 0 $, και ως αποτέλεσμα, λάβαμε ότι $ 2x + 1 \u003d -5 $ - πράγματι, αυτή η έκφραση είναι μικρότερη από το μηδέν. Λύουμε την προκύπτουσα εξίσωση, γνωρίζοντας ήδη σίγουρα ότι η ρίζα που βρέθηκε θα μας ταιριάζει:

Λοιπόν, έχουμε δύο απαντήσεις ξανά: $ x \u003d 2 $ και $ x \u003d 3 $. Ναι, το ποσό των υπολογισμών αποδείχθηκε λίγο περισσότερο από ό, τι στην πολύ απλή εξίσωση $ \\ αριστερά | x \\ right | \u003d 3 $, αλλά τίποτα δεν έχει αλλάξει ουσιαστικά. Λοιπόν, υπάρχει κάποιο είδος καθολικού αλγορίθμου;

Ναι, υπάρχει ένας τέτοιος αλγόριθμος. Και τώρα θα το ξεχωρίσουμε.

Απαλλαγή από το σύμβολο συντελεστή

Ας μας δοθεί η εξίσωση $ \\ αριστερά | f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\ δεξιά | \u003d a $ και $ a \\ ge 0 $ (διαφορετικά, όπως ήδη γνωρίζουμε, δεν υπάρχουν ρίζες). Στη συνέχεια, μπορείτε να απαλλαγείτε από το σύμβολο συντελεστή σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

\\ [\\ αριστερά | f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\ δεξιά | \u003d α \\ Δεξιά γραμμή f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \u003d \\ pm α \\]

Έτσι, η εξίσωση μας με ένα συντελεστή χωρίζεται σε δύο, αλλά χωρίς συντελεστή. Αυτή είναι όλη η τεχνολογία! Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μερικές εξισώσεις. Ας ξεκινήσουμε με αυτό

\\ [\\ αριστερά | 5x + 4 \\ δεξιά | \u003d 10 \\ Rightarrow 5x + 4 \u003d \\ pm 10 \\]

Ας εξετάσουμε χωριστά όταν υπάρχει δέκα με συν στα δεξιά, και ξεχωριστά - όταν υπάρχει μείον. Εχουμε:

\\ [\\ start (align) & 5x + 4 \u003d 10 \\ Rightarrow 5x \u003d 6 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (6) (5) \u003d 1,2; \\\\ & 5x + 4 \u003d -10 \\ Rightarrow 5x \u003d -14 \\ Rightarrow x \u003d - \\ frac (14) (5) \u003d - 2.8. \\\\\\ τέλος (ευθυγράμμιση) \\]

Αυτό είναι όλο! Έχουμε δύο ρίζες: $ x \u003d $ 1,2 και $ x \u003d $ -2,8. Η όλη λύση πήρε κυριολεκτικά δύο γραμμές.

Εντάξει, καμία ερώτηση, ας δούμε κάτι λίγο πιο σοβαρό:

\\ [\\ αριστερά | 7-5x \\ δεξιά | \u003d 13 \\]

Αναπτύξτε ξανά τη λειτουργική μονάδα με συν και πλην:

\\ [\\ begin (align) & 7-5x \u003d 13 \\ Rightarrow -5x \u003d 6 \\ Rightarrow x \u003d - \\ frac (6) (5) \u003d - 1,2; \\\\ & 7-5x \u003d -13 \\ Rightarrow -5x \u003d -20 \\ Rightarrow x \u003d 4. \\\\ τέλος (ευθυγράμμιση) \\]

Και πάλι μερικές γραμμές - και η απάντηση είναι έτοιμη! Όπως είπα, δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο για τις ενότητες. Απλά πρέπει να θυμάστε μερικούς κανόνες. Επομένως, προχωράμε και ξεκινάμε με πολύ πιο δύσκολες εργασίες.

Μεταβλητή θήκη δεξιάς πλευράς

Τώρα εξετάστε αυτήν την εξίσωση:

\\ [\\ αριστερά | 3x-2 \\ δεξιά | \u003d 2x \\]

Αυτή η εξίσωση είναι θεμελιωδώς διαφορετική από όλες τις προηγούμενες. Από? Και το γεγονός ότι στα δεξιά του ίσου σημείου είναι η έκφραση $ 2x $ - και δεν μπορούμε να γνωρίζουμε εκ των προτέρων εάν είναι θετικό ή αρνητικό.

Τι πρέπει να γίνει σε αυτήν την περίπτωση; Πρώτον, πρέπει να καταλάβουμε μια για πάντα Εάν η δεξιά πλευρά της εξίσωσης αποδειχθεί αρνητική, τότε η εξίσωση δεν θα έχει ρίζες - γνωρίζουμε ήδη ότι ο συντελεστής δεν μπορεί να είναι ίσος με αρνητικό αριθμό.

Και δεύτερον, εάν το σωστό μέρος εξακολουθεί να είναι θετικό (ή ίσο με μηδέν), τότε μπορείτε να ενεργήσετε με τον ίδιο τρόπο όπως πριν: απλώς ανοίξτε τη μονάδα ξεχωριστά με το σύμβολο συν και ξεχωριστά - με το σύμβολο μείον.

Έτσι, διατυπώνουμε έναν κανόνα για αυθαίρετες συναρτήσεις $ f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) $ και $ g \\ αριστερά (x \\ δεξιά) $:

\\ [\\ αριστερά | f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\ δεξιά | \u003d g \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\ δεξί βέλος \\ αριστερά \\ (\\ έναρξη (ευθυγράμμιση) & f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \u003d \\ pm g \\ αριστερά (x \\ δεξιά ), \\\\ & g \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\ ge 0. \\\\\\ τέλος (στοίχιση) \\ δεξιά. \\]

Όσον αφορά την εξίσωση μας, έχουμε:

\\ [\\ αριστερά | 3x-2 \\ δεξιά | \u003d 2x \\ Rightarrow \\ left \\ (\\ begin (align) & 3x-2 \u003d \\ pm 2x, \\\\ & 2x \\ ge 0. \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Λοιπόν, μπορούμε να διαχειριστούμε κατά κάποιο τρόπο την απαίτηση $ 2x \\ ge 0 $. Στο τέλος, μπορείτε να αντικαταστήσετε ανόητα τις ρίζες που έχουμε από την πρώτη εξίσωση και να ελέγξετε αν η ανισότητα ισχύει ή όχι.

Επομένως, ας λύσουμε την ίδια την εξίσωση:

\\ [\\ start (align) & 3x-2 \u003d 2 \\ Rightarrow 3x \u003d 4 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (4) (3); \\\\ & 3x-2 \u003d -2 \\ Rightarrow 3x \u003d 0 \\ Rightarrow x \u003d 0. \\\\ τέλος (ευθυγράμμιση) \\]

Λοιπόν, ποια από αυτές τις δύο ρίζες ικανοποιεί την απαίτηση $ 2x \\ ge 0 $; Ναι, και τα δύο! Επομένως, η απάντηση θα είναι δύο αριθμοί: $ x \u003d (4) / (3) \\; $ και $ x \u003d 0 $. Αυτή είναι η όλη λύση. :)

Υποψιάζομαι ότι μερικοί από τους μαθητές βαριούνται ήδη; Λοιπόν, ας δούμε μια ακόμη πιο περίπλοκη εξίσωση:

\\ [\\ αριστερά | ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \\ δεξιά | \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

Αν και φαίνεται φαύλο, στην πραγματικότητα είναι η ίδια εξίσωση της μορφής "modulus equals function":

\\ [\\ αριστερά | f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\ δεξιά | \u003d g \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\]

Και επιλύεται με τον ίδιο τρόπο:

\\ [\\ αριστερά | ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \\ δεξιά | \u003d x - ((x) ^ (3)) \\ Δεξί βέλος \\ αριστερά \\ (\\ έναρξη (στοίχιση) & ( (x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d \\ pm \\ αριστερά (x - ((x) ^ (3)) \\ δεξιά), \\\\ & x - ((x ) ^ (3)) \\ ge 0. \\\\ τέλος (στοίχιση) \\ δεξιά. \\]

Θα αντιμετωπίσουμε την ανισότητα αργότερα - είναι κάπως πολύ φαύλο (στην πραγματικότητα, απλό, αλλά δεν θα το λύσουμε). Προς το παρόν είναι καλύτερο να αντιμετωπίσετε τις εξισώσεις που προκύπτουν. Ας εξετάσουμε την πρώτη περίπτωση - αυτό συμβαίνει όταν μια ενότητα επεκτείνεται με ένα σύμβολο συν:

\\ [((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

Λοιπόν, εδώ δεν χρειάζεται να συλλέξετε τα πάντα στα αριστερά, να φέρετε παρόμοια και να δείτε τι συμβαίνει. Να τι συμβαίνει:

\\ [\\ start (στοίχιση) & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)); \\\\ & 2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) \u003d 0; \\\\ τέλος (ευθυγράμμιση) \\]

Παίρνουμε τον κοινό συντελεστή $ ((x) ^ (2)) $ έξω από το βραχίονα και έχουμε μια πολύ απλή εξίσωση:

\\ [((x) ^ (2)) \\ left (2x-3 \\ right) \u003d 0 \\ Rightarrow \\ left [\\ start (align) & ((x) ^ (2)) \u003d 0 \\\\ & 2x-3 \u003d 0 \\\\ τέλος (ευθυγράμμιση) \\ δεξιά. \\]

\\ [((x) _ (1)) \u003d 0; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (3) (2) \u003d 1.5. \\]

Εδώ χρησιμοποιήσαμε μια σημαντική ιδιότητα του προϊόντος, για το οποίο αποσυνθέσαμε το αρχικό πολυώνυμο σε παράγοντες: το προϊόν είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν.

Τώρα ας ασχοληθούμε με τη δεύτερη εξίσωση με τον ίδιο τρόπο, η οποία επιτυγχάνεται όταν η ενότητα επεκταθεί με ένα σύμβολο μείον:

\\ [\\ start (στοίχιση) & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d - \\ αριστερά (x - ((x) ^ (3)) \\ δεξιά); \\\\ & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d -x + ((x) ^ (3)); \\\\ & -3 ((x) ^ (2)) + 2x \u003d 0; \\\\ & x \\ αριστερά (-3x + 2 \\ δεξιά) \u003d 0. \\\\ τέλος (ευθυγράμμιση) \\]

Και πάλι, το ίδιο πράγμα: το προϊόν είναι μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν. Εχουμε:

\\ [\\ αριστερά [\\ έναρξη (ευθυγράμμιση) & x \u003d 0 \\\\ & -3x + 2 \u003d 0 \\\\ τέλος (ευθυγράμμιση) \\ δεξιά. \\]

Λοιπόν, έχουμε τρεις ρίζες: $ x \u003d 0 $, $ x \u003d 1,5 $ και $ x \u003d (2) / (3) \\; $. Ποιο από αυτό το σετ θα πάει στην τελική απάντηση; Για να το κάνετε αυτό, θυμηθείτε ότι έχουμε έναν επιπλέον περιορισμό ανισότητας:

Πώς μπορεί να ληφθεί υπόψη αυτή η απαίτηση; Ναι, απλώς αντικαθιστούμε τις ρίζες που εντοπίστηκαν και ελέγξουμε αν η ανισότητα ισχύει για αυτά τα $ x $ ή όχι. Εχουμε:

\\ [\\ begin (align) & x \u003d 0 \\ Rightarrow x - ((x) ^ (3)) \u003d 0-0 \u003d 0 \\ ge 0; \\\\ & x \u003d 1.5 \\ Rightarrow x - ((x) ^ (3)) \u003d 1.5 - ((1.5) ^ (3)) \\ lt 0; \\\\ & x \u003d \\ frac (2) (3) \\ Rightarrow x - ((x) ^ (3)) \u003d \\ frac (2) (3) - \\ frac (8) (27) \u003d \\ frac (10) (27) \\ ge 0; \\\\ τέλος (ευθυγράμμιση) \\]

Έτσι, η ρίζα $ x \u003d 1,5 $ δεν μας ταιριάζει. Και μόνο δύο ρίζες θα ανταποκριθούν:

\\ [((x) _ (1)) \u003d 0; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2) (3). \\]

Όπως μπορείτε να δείτε, ακόμη και σε αυτήν την περίπτωση, δεν υπήρχε τίποτα περίπλοκο - οι εξισώσεις με τις ενότητες επιλύονται πάντα από έναν αλγόριθμο. Απλά πρέπει να είστε καλά έμπειροι σε πολυώνυμα και ανισότητες. Επομένως, προχωράμε σε πιο περίπλοκες εργασίες - δεν θα υπάρχουν ήδη μία, αλλά δύο ενότητες.

Εξισώσεις με δύο ενότητες

Μέχρι τώρα, έχουμε μελετήσει μόνο τις πιο απλές εξισώσεις - υπήρχε μια ενότητα και κάτι άλλο. Στείλαμε αυτό το "κάτι άλλο" σε ένα άλλο μέρος της ανισότητας, μακριά από την ενότητα, έτσι ώστε στο τέλος όλα να μειωθούν σε μια εξίσωση της φόρμας $ \\ left | f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\ δεξιά | \u003d g \\ αριστερά (x \\ δεξιά) $ ή ακόμα πιο απλό $ \\ αριστερά | f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\ δεξιά | \u003d a $.

Αλλά το νηπιαγωγείο τελείωσε - ήρθε η ώρα να σκεφτούμε κάτι πιο σοβαρό. Ας ξεκινήσουμε με εξισώσεις αυτού του τύπου:

\\ [\\ αριστερά | f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\ δεξιά | \u003d \\ αριστερά | g \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\ δεξιά | \\]

Πρόκειται για μια εξίσωση συντελεστή μέτρου. Ένα θεμελιωδώς σημαντικό σημείο είναι η απουσία άλλων όρων και παραγόντων: μόνο μία ενότητα στα αριστερά, μία ακόμη ενότητα στα δεξιά - και τίποτα περισσότερο.

Κάποιος θα πιστεύει τώρα ότι τέτοιες εξισώσεις είναι πιο δύσκολο να επιλυθούν από ό, τι έχουμε μελετήσει μέχρι τώρα. Όχι όμως: αυτές οι εξισώσεις είναι ακόμη πιο εύκολο να επιλυθούν. Εδώ είναι ο τύπος:

\\ [\\ αριστερά | f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\ δεξιά | \u003d \\ αριστερά | g \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\ δεξιά | \\ Δεξί βέλος f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \u003d \\ pm g \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\]

Τα παντα! Εξισώνουμε απλώς τις εκφράσεις υπομονάδων προθέτοντας μία από αυτές με ένα σύμβολο συν ή πλην. Και μετά επιλύουμε τις δύο εξισώσεις που προκύπτουν - και οι ρίζες είναι έτοιμες! Χωρίς πρόσθετους περιορισμούς, ανισότητες κ.λπ. Όλα είναι πολύ απλά.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτό το πρόβλημα:

\\ [\\ αριστερά | 2x + 3 \\ δεξιά | \u003d \\ αριστερά | 2x-7 \\ δεξιά | \\]

Στοιχειώδες Watson! Αναπτύξτε τις ενότητες:

\\ [\\ αριστερά | 2x + 3 \\ δεξιά | \u003d \\ αριστερά | 2x-7 \\ δεξιά | \\ Δεξί βέλος 2x + 3 \u003d \\ pm \\ αριστερά (2x-7 \\ δεξιά) \\]

Ας εξετάσουμε κάθε περίπτωση ξεχωριστά:

\\ [\\ begin (align) & 2x + 3 \u003d 2x-7 \\ Rightarrow 3 \u003d -7 \\ Rightarrow \\ emptyset; \\\\ & 2x + 3 \u003d - \\ αριστερά (2x-7 \\ δεξιά) \\ Δεξί βέλος 2x + 3 \u003d -2x + 7. \\\\ τέλος (ευθυγράμμιση) \\]

Δεν υπάρχουν ρίζες στην πρώτη εξίσωση. Γιατί πότε είναι 3 $ \u003d -7 $; Ποιες είναι οι τιμές των $ x $; «Τι στο διάολο είναι $ x $; Είστε λιθοβολημένοι; Δεν υπάρχει καθόλου $ x $ ", λέτε. Και θα έχεις δίκιο. Έχουμε αποκτήσει μια ισότητα που δεν εξαρτάται από τη μεταβλητή $ x $ και η ίδια η ισότητα δεν είναι αλήθεια. Γι 'αυτό δεν υπάρχουν ρίζες. :)

Με τη δεύτερη εξίσωση, όλα είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα, αλλά και πολύ, πολύ απλά:

Όπως μπορείτε να δείτε, όλα λύθηκαν σε μερικές γραμμές - δεν περιμέναμε τίποτα άλλο από τη γραμμική εξίσωση. :)

Ως αποτέλεσμα, η τελική απάντηση είναι: $ x \u003d 1 $.

Πως είναι? Σκληρά? Φυσικά και όχι. Ας δοκιμάσουμε κάτι άλλο:

\\ [\\ αριστερά | x-1 \\ δεξιά | \u003d \\ αριστερά | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ δεξιά | \\]

Και πάλι έχουμε μια εξίσωση όπως $ \\ αριστερά | f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\ δεξιά | \u003d \\ αριστερά | g \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\ δεξιά | $. Επομένως, το ξαναγράψουμε αμέσως, επεκτείνοντας το σύμβολο της ενότητας:

\\ [((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d \\ pm \\ αριστερά (x-1 \\ δεξιά) \\]

Ίσως κάποιος τώρα να ρωτήσει: «Γεια, τι είναι αυτή η ανοησία; Γιατί το "συν ή πλην" βρίσκεται στη σωστή έκφραση και όχι στα αριστερά; " Ηρέμησε, θα τα εξηγήσω όλα τώρα. Πράγματι, με φιλικό τρόπο, θα έπρεπε να ξαναγράψαμε την εξίσωση μας ως εξής:

Στη συνέχεια, πρέπει να ανοίξετε τις αγκύλες, να μετακινήσετε όλους τους όρους στη μία πλευρά του ίσου σημείου (αφού η εξίσωση, προφανώς, και στις δύο περιπτώσεις θα είναι τετράγωνη) και, στη συνέχεια, βρείτε τις ρίζες. Αλλά πρέπει να συμφωνήσετε: όταν το "plus-minus" βρίσκεται μπροστά από τρεις όρους (ειδικά όταν ένας από αυτούς τους όρους είναι μια τετραγωνική έκφραση), φαίνεται κάπως πιο περίπλοκη από την περίπτωση που το "plus-minus" βρίσκεται μπροστά από δύο μόνο όρους.

Ωστόσο, τίποτα δεν μας εμποδίζει να ξαναγράψουμε την αρχική εξίσωση ως εξής:

Τι συνέβη? Τίποτα το ιδιαίτερο: απλώς ανταλλάξατε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Ένα μικροπράγμα που στο τέλος θα κάνει τη ζωή μας λίγο πιο εύκολη. :)

Γενικά, επιλύουμε αυτήν την εξίσωση, λαμβάνοντας υπόψη τις επιλογές με συν και πλην:

\\ [\\ start (align) & ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d x-1 \\ Rightarrow ((x) ^ (2)) - 4x + 3 \u003d 0; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d - \\ αριστερά (x-1 \\ δεξιά) \\ Rightarrow ((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d 0. \\\\ τέλος (ευθυγράμμιση) \\]

Η πρώτη εξίσωση έχει ρίζες $ x \u003d 3 $ και $ x \u003d 1 $. Το δεύτερο είναι γενικά ένα ακριβές τετράγωνο:

\\ [((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d ((\\ αριστερά (x-1 \\ δεξιά)) ^ (2)) \\]

Επομένως, έχει μία μόνο ρίζα: $ x \u003d 1 $. Αλλά έχουμε ήδη λάβει αυτή τη ρίζα νωρίτερα. Έτσι, μόνο δύο αριθμοί θα φτάσουν στην τελική απάντηση:

\\ [((x) _ (1)) \u003d 3; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d 1. \\]

Αποστολή εξετελέσθη! Μπορείτε να το πάρετε από το ράφι και να φάτε μια πίτα. Υπάρχουν 2 από αυτά, ο μέσος όρος σας. :)

Σημαντική σημείωση... Η παρουσία των ίδιων ριζών για διαφορετικές παραλλαγές της επέκτασης της μονάδας σημαίνει ότι τα αρχικά πολυώνυμα αποσυντίθενται σε παράγοντες, και μεταξύ αυτών των παραγόντων θα υπάρχει σίγουρα ένα κοινό. Πραγματικά:

\\ [\\ start (στοίχιση) & \\ αριστερά | x-1 \\ δεξιά | \u003d \\ αριστερά | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ δεξιά |; \\\\ & \\ αριστερά | x-1 \\ δεξιά | \u003d \\ αριστερά | \\ αριστερά (x-1 \\ δεξιά) \\ αριστερά (x-2 \\ δεξιά) \\ δεξιά |. \\\\ τέλος (ευθυγράμμιση) \\]

Μία από τις ιδιότητες της λειτουργικής μονάδας: $ \\ left | a \\ cdot b \\ δεξιά | \u003d \\ αριστερά | α \\ δεξιά | \\ cdot \\ αριστερά | b \\ right | $ (δηλαδή, ο συντελεστής του προϊόντος ισούται με το προϊόν του moduli), επομένως η αρχική εξίσωση μπορεί να ξαναγραφεί ως εξής:

\\ [\\ αριστερά | x-1 \\ δεξιά | \u003d \\ αριστερά | x-1 \\ δεξιά | \\ cdot \\ αριστερά | x-2 \\ δεξιά | \\]

Όπως μπορείτε να δείτε, έχουμε πραγματικά έναν κοινό παράγοντα. Τώρα, εάν συλλέξετε όλες τις ενότητες από τη μία πλευρά, τότε μπορείτε να αφαιρέσετε αυτόν τον παράγοντα από το βραχίονα:

\\ [\\ start (στοίχιση) & \\ αριστερά | x-1 \\ δεξιά | \u003d \\ αριστερά | x-1 \\ δεξιά | \\ cdot \\ αριστερά | x-2 \\ δεξιά |; \\\\ & \\ αριστερά | x-1 \\ δεξιά | - \\ αριστερά | x-1 \\ δεξιά | \\ cdot \\ αριστερά | x-2 \\ δεξιά | \u003d 0; \\\\ & \\ αριστερά | x-1 \\ δεξιά | \\ cdot \\ αριστερά (1- \\ αριστερά | x-2 \\ δεξιά | \\ δεξιά) \u003d 0. \\\\ τέλος (ευθυγράμμιση) \\]

Λοιπόν, τώρα θυμόμαστε ότι το προϊόν είναι μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν:

\\ [\\ αριστερά [\\ έναρξη (στοίχιση) & \\ αριστερά | x-1 \\ δεξιά | \u003d 0, \\\\ & \\ αριστερά | x-2 \\ δεξιά | \u003d 1. \\\\ τέλος (ευθυγράμμιση) \\ δεξιά. \\]

Έτσι, η αρχική εξίσωση με δύο ενότητες μειώθηκε σε δύο απλές εξισώσεις, για τις οποίες μιλήσαμε στην αρχή του μαθήματος. Τέτοιες εξισώσεις μπορούν να λυθούν κυριολεκτικά σε μερικές γραμμές. :)

Αυτή η παρατήρηση μπορεί να φαίνεται υπερβολικά περίπλοκη και ανεφάρμοστη στην πράξη. Ωστόσο, στην πραγματικότητα, ενδέχεται να αντιμετωπίσετε πολύ πιο περίπλοκα προβλήματα από αυτά που εξετάζουμε σήμερα. Σε αυτά, οι ενότητες μπορούν να συνδυαστούν με πολυώνυμα, αριθμητικές ρίζες, λογάριθμους κ.λπ. Και σε τέτοιες περιπτώσεις, η ικανότητα μείωσης του συνολικού βαθμού της εξίσωσης τοποθετώντας κάτι έξω από το βραχίονα μπορεί να είναι πολύ, πολύ χρήσιμη. :)

Τώρα θα ήθελα να αναλύσω μια ακόμη εξίσωση, η οποία με την πρώτη ματιά μπορεί να φαίνεται τρελή. Πολλοί μαθητές "κολλάνε" σε αυτό - ακόμη και εκείνοι που πιστεύουν ότι έχουν καλή κατανόηση των ενοτήτων.

Παρ 'όλα αυτά, αυτή η εξίσωση είναι ακόμη πιο εύκολο να επιλυθεί από αυτό που θεωρήσαμε νωρίτερα. Και αν καταλάβετε γιατί, θα πάρετε ένα άλλο τέχνασμα για γρήγορη επίλυση εξισώσεων με ενότητες.

Έτσι η εξίσωση:

\\ [\\ αριστερά | x - ((x) ^ (3)) \\ δεξιά | + \\ αριστερά | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ δεξιά | \u003d 0 \\]

Όχι, αυτό δεν είναι τυπογραφικό λάθος: υπάρχει ένα πλεονέκτημα μεταξύ των ενοτήτων. Και πρέπει να βρούμε σε τι $ x $ το άθροισμα των δύο ενοτήτων είναι μηδέν. :)

Ποιο είναι το πρόβλημα? Και το πρόβλημα είναι ότι κάθε ενότητα είναι θετικός αριθμός ή σε ακραίες περιπτώσεις μηδέν. Τι συμβαίνει εάν προσθέσετε δύο θετικούς αριθμούς; Προφανώς και πάλι ένας θετικός αριθμός:

\\ [\\ start (στοίχιση) & 5 + 7 \u003d 12 \\ gt 0; \\\\ & 0,004 + 0,0001 \u003d 0,0041 \\ gt 0; \\\\ & 5 + 0 \u003d 5 \\ gt 0. \\\\\\ end (align) \\]

Η τελευταία γραμμή μπορεί να σας δώσει μια ιδέα: η μόνη περίπτωση όταν το άθροισμα των ενοτήτων είναι μηδέν είναι εάν κάθε ενότητα είναι μηδέν:

Και πότε είναι το μέτρο μηδέν; Μόνο σε μία περίπτωση - όταν η έκφραση υπομονάδας είναι μηδέν:

\\ [((x) ^ (2)) + x-2 \u003d 0 \\ Rightarrow \\ left (x + 2 \\ right) \\ left (x-1 \\ right) \u003d 0 \\ Rightarrow \\ left [\\ start (align) & x \u003d -2 \\\\ & x \u003d 1 \\\\ τέλος (ευθυγράμμιση) \\ δεξιά. \\]

Έτσι, έχουμε τρία σημεία στα οποία η πρώτη ενότητα είναι μηδενισμένη: 0, 1 και −1. καθώς και δύο σημεία στα οποία η δεύτερη ενότητα είναι μηδενισμένη: −2 και 1. Ωστόσο, χρειαζόμαστε και τις δύο ενότητες στο μηδέν ταυτόχρονα, επομένως, μεταξύ των αριθμών που βρέθηκαν, πρέπει να επιλέξουμε αυτά που περιλαμβάνονται και στα δύο σύνολα. Προφανώς, υπάρχει μόνο ένας τέτοιος αριθμός: $ x \u003d 1 $ - αυτή θα είναι η τελική απάντηση.

Μέθοδος διαχωρισμού

Λοιπόν, έχουμε ήδη καλύψει πολλές εργασίες και μάθαμε πολλά κόλπα. Νομίζεις ότι αυτό είναι όλο; Αλλά όχι! Τώρα θα δούμε το τελικό κόλπο - και ταυτόχρονα το πιο σημαντικό. Μιλάμε για διαχωρισμό εξισώσεων με συντελεστή. Τι θα είναι όλα αυτά; Ας επιστρέψουμε λίγο και ας δούμε κάποια απλή εξίσωση. Για παράδειγμα, αυτό:

\\ [\\ αριστερά | 3x-5 \\ δεξιά | \u003d 5-3x \\]

Κατ 'αρχήν, γνωρίζουμε ήδη πώς να λύσουμε μια τέτοια εξίσωση, επειδή πρόκειται για μια τυπική κατασκευή όπως το $ \\ left | f \\ αριστερά (x \\ δεξιά) \\ δεξιά | \u003d g \\ αριστερά (x \\ δεξιά) $. Αλλά ας προσπαθήσουμε να δούμε αυτήν την εξίσωση από μια ελαφρώς διαφορετική γωνία. Πιο συγκεκριμένα, σκεφτείτε την έκφραση κάτω από το σύμβολο της ενότητας. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι ο συντελεστής οποιουδήποτε αριθμού μπορεί να είναι ίσος με τον ίδιο τον αριθμό ή μπορεί να είναι αντίθετος με αυτόν τον αριθμό:

\\ [\\ αριστερά | a \\ right | \u003d \\ left \\ (\\ begin (align) & a, \\ quad a \\ ge 0, \\\\ & -a, \\ quad a \\ lt 0. \\\\\\ end (align) \\ δεξιά. \\]

Στην πραγματικότητα, αυτή η ασάφεια είναι το όλο πρόβλημα: δεδομένου ότι ο αριθμός κάτω από το συντελεστή αλλάζει (εξαρτάται από τη μεταβλητή), δεν είναι σαφές για μας εάν είναι θετικό ή αρνητικό.

Τι γίνεται όμως αν αρχικά απαιτείται αυτός ο αριθμός να είναι θετικός; Για παράδειγμα, ας απαιτήσουμε ότι $ 3x-5 \\ gt 0 $ - σε αυτήν την περίπτωση έχουμε την εγγύηση να λάβουμε έναν θετικό αριθμό κάτω από το σύμβολο συντελεστή και μπορούμε να απαλλαγούμε εντελώς από αυτήν την ενότητα:

Έτσι, η εξίσωση μας θα μετατραπεί σε γραμμική, η οποία είναι εύκολο να λυθεί:

Είναι αλήθεια ότι όλες αυτές οι σκέψεις έχουν νόημα μόνο με την προϋπόθεση $ 3x-5 \\ gt 0 $ - εμείς οι ίδιοι εισαγάγαμε αυτήν την απαίτηση για να αποκαλύψουμε ξεκάθαρα τη λειτουργική μονάδα. Επομένως, ας αντικαταστήσουμε το $ x \u003d \\ frac (5) (3) $ που βρέθηκε σε αυτήν την κατάσταση και ελέγξτε:

Αποδεικνύεται ότι για την καθορισμένη τιμή $ x $ δεν πληρούται η απαίτησή μας, δεδομένου ότι η έκφραση αποδείχθηκε ίση με το μηδέν, αλλά πρέπει να είναι αυστηρά μεγαλύτερη από το μηδέν. Θλίψη. :(

Αλλά είναι εντάξει! Σε τελική ανάλυση, υπάρχει μια άλλη επιλογή $ 3x-5 \\ lt 0 $. Επιπλέον: υπάρχει επίσης η περίπτωση των $ 3x-5 \u003d 0 $ - αυτό πρέπει επίσης να εξεταστεί, διαφορετικά η λύση θα είναι ελλιπής. Λοιπόν, σκεφτείτε την περίπτωση $ 3x-5 \\ lt 0 $:

Προφανώς, η ενότητα θα ανοίξει με το σύμβολο μείον. Αλλά τότε προκύπτει μια περίεργη κατάσταση: τόσο στα αριστερά όσο και στα δεξιά στην αρχική εξίσωση η ίδια έκφραση θα κολλήσει:

Αναρωτιέμαι σε τι τέτοια $ x $ θα είναι η έκφραση $ 5-3x $ με την έκφραση $ 5-3x $; Ακόμα και ο καπετάνιος θα πνίγει τα στοιχεία από τέτοιες εξισώσεις, αλλά γνωρίζουμε ότι αυτή η εξίσωση είναι μια ταυτότητα, δηλ. ισχύει για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής!

Αυτό σημαίνει ότι οποιαδήποτε $ x $ θα μας ταιριάζει. Ωστόσο, έχουμε έναν περιορισμό:

Με άλλα λόγια, η απάντηση δεν θα είναι ένας ενιαίος αριθμός, αλλά ένα ολόκληρο διάστημα:

Τέλος, απομένει να εξεταστεί μια ακόμη περίπτωση: 3x-5 $ \u003d 0 $. Όλα είναι απλά εδώ: θα υπάρχει μηδέν κάτω από την ενότητα και η ενότητα μηδέν είναι επίσης μηδέν (αυτό προκύπτει άμεσα από τον ορισμό):

Αλλά τότε η αρχική εξίσωση $ \\ αριστερά | 3x-5 \\ δεξιά | \u003d 5-3x $ θα ξαναγραφεί ως εξής:

Έχουμε ήδη αποκτήσει αυτήν τη ρίζα παραπάνω όταν εξετάσαμε την υπόθεση $ 3x-5 \\ gt 0 $. Επιπλέον, αυτή η ρίζα είναι μια λύση στην εξίσωση $ 3x-5 \u003d 0 $ - αυτός είναι ο περιορισμός που εισαγάγαμε οι ίδιοι για να μηδενίσουμε τη μονάδα. :)

Έτσι, εκτός από το διάστημα, είμαστε επίσης ικανοποιημένοι με τον αριθμό που βρίσκεται στο τέλος αυτού του διαστήματος:

Συνδυασμός ριζών σε εξισώσεις με συντελεστή

Συνολική τελική απάντηση: $ x \\ in \\ αριστερά (- \\ infty; \\ frac (5) (3) \\ δεξιά] $. Δεν είναι πολύ συνηθισμένο να βλέπουμε τέτοια χάλια στην απάντηση σε μια μάλλον απλή (στην πραγματικότητα, γραμμική) εξίσωση με συντελεστή Λοιπόν, συνηθίστε: η πολυπλοκότητα της ενότητας έγκειται στο γεγονός ότι οι απαντήσεις σε τέτοιες εξισώσεις μπορεί να είναι εντελώς απρόβλεπτες.

Πολύ πιο σημαντικό είναι ένα άλλο πράγμα: μόλις αναλύσαμε έναν καθολικό αλγόριθμο για την επίλυση μιας εξίσωσης με διαμόρφωση! Και αυτός ο αλγόριθμος αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

Ορίστε κάθε ενότητα στην εξίσωση στο μηδέν. Ας πάρουμε πολλές εξισώσεις.
Λύστε όλες αυτές τις εξισώσεις και σημειώστε τις ρίζες στη γραμμή αριθμών. Ως αποτέλεσμα, η ευθεία γραμμή χωρίζεται σε πολλά διαστήματα, σε καθένα από τα οποία όλες οι ενότητες επεκτείνονται σαφώς.
Λύστε την αρχική εξίσωση για κάθε διάστημα και συνδυάστε τις απαντήσεις.

Αυτό είναι όλο! Απομένει μόνο ένα ερώτημα: τι να κάνουν με τις ρίζες που αποκτήθηκαν στο 1ο βήμα; Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο ρίζες: $ x \u003d 1 $ και $ x \u003d 5 $. Θα χωρίσουν την αριθμητική γραμμή σε 3 κομμάτια:

Διαχωρισμός ενός αριθμού άξονα σε διαστήματα χρησιμοποιώντας τελείες

Λοιπόν, ποια είναι τα διαστήματα; Είναι σαφές ότι υπάρχουν τρία από αυτά:

Αριστερά: $ x \\ lt 1 $ - η ίδια η μονάδα δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα.
Κεντρικό: $ 1 \\ le x \\ lt 5 $ - εδώ περιλαμβάνεται ένα στο διάστημα, αλλά πέντε δεν περιλαμβάνονται.
Το πιο δεξί: $ x \\ ge 5 $ - τα πέντε περιλαμβάνονται μόνο εδώ!

Νομίζω ότι έχετε ήδη καταλάβει το μοτίβο. Κάθε διάστημα περιλαμβάνει το αριστερό άκρο και δεν περιλαμβάνει το δεξί άκρο.

Με την πρώτη ματιά, μια τέτοια ηχογράφηση μπορεί να φαίνεται άβολη, παράλογη και γενικά κάποιο είδος παραληρητικής. Αλλά πιστέψτε με: μετά από λίγη προπόνηση, θα διαπιστώσετε ότι αυτή η προσέγγιση είναι η πιο αξιόπιστη και ταυτόχρονα δεν παρεμβαίνει στο ξεκάθαρο άνοιγμα των ενοτήτων. Είναι καλύτερο να χρησιμοποιείτε ένα τέτοιο σχήμα από το να σκέφτεστε κάθε φορά: δώστε το αριστερό / δεξί άκρο στο τρέχον διάστημα ή "ρίξτε" το στο επόμενο.

Αυτό ολοκληρώνει το μάθημα. Κατεβάστε τα προβλήματα για τη δική σας λύση, πρακτική, συγκρίνετε με τις απαντήσεις - και θα σας δούμε στο επόμενο μάθημα, το οποίο θα αφιερωθεί στις ανισότητες με τις ενότητες. :)

Παρομοίως, η διαφορά z 1 - z 2 των σύνθετων αριθμών z 1 και z 2 αντιστοιχεί στη διαφορά των διανυσμάτων που αντιστοιχεί στους αριθμούς z 1 και z 2. Το συντελεστή δύο σύνθετων αριθμών z 1 και z 2, από τον ορισμό του συντελεστή, είναι το μήκος του διανύσματος z 1 - z 2. Κατασκευάστε το διάνυσμα ως το άθροισμα των δύο διανυσμάτων z 2 και (- z 1). Παίρνουμε ένα διάνυσμα ίσο με ένα διάνυσμα, επομένως, είναι το μήκος του διανύσματος, δηλαδή, ο συντελεστής της διαφοράς μεταξύ δύο σύνθετων αριθμών είναι η απόσταση μεταξύ των σημείων του σύνθετου επιπέδου που αντιστοιχούν σε αυτούς τους αριθμούς.

6. Επιχειρήματα ενός σύνθετου αριθμού. Το επιχείρημα του σύνθετου αριθμού z \u003d a + ib είναι η τιμή της γωνίας μεταξύ της θετικής κατεύθυνσης του πραγματικού άξονα και του διανύσματος z. η τιμή της γωνίας θεωρείται θετική εάν η μέτρηση είναι αριστερόστροφα και αρνητική εάν η μέτρηση είναι δεξιόστροφα.

Για να δηλώσετε το γεγονός ότι ο αριθμός j είναι το όρισμα του αριθμού z \u003d a + ib, γράψτε j \u003d argz ή j \u003d arg (a + ib).

Για z \u003d 0, δεν καθορίζεται κανένα όρισμα. Επομένως, σε όλες τις επακόλουθες εκτιμήσεις που σχετίζονται με την έννοια ενός επιχειρήματος, θα υποθέσουμε ότι: Σημειώστε ότι με τον καθορισμό του συντελεστή και του επιχειρήματος, ο σύνθετος αριθμός προσδιορίζεται μοναδικά. ο αριθμός z \u003d 0 είναι ο μόνος αριθμός που καθορίζεται καθορίζοντας μόνο τη μονάδα του.

Από την άλλη πλευρά, εάν δοθεί ένας σύνθετος αριθμός, τότε, προφανώς, ο συντελεστής αυτού του αριθμού καθορίζεται πάντα με μοναδικό τρόπο, σε αντίθεση με το επιχείρημα, το οποίο καθορίζεται πάντα με αμφίσημο τρόπο: εάν το j είναι κάποιο όρισμα του αριθμού z, τότε οι γωνίες j + 2pk είναι επίσης επιχειρήματα του αριθμού z.

Από τον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων προκύπτει ότι εάν j \u003d arg (a + ib), τότε λαμβάνει χώρα το ακόλουθο σύστημα

Παράδειγμα 4. Πόσες λύσεις έχει ένα σύστημα εξισώσεων

α) Ας παρουσιάσουμε σε ένα πολύπλοκο επίπεδο τους αριθμούς των οποίων τα moduli είναι ίση με 3 και 1

βρείτε ενότητα1- Εγώ: .

Σημειώστε ότι δεν υπάρχει κανένα σημείο στον μεγαλύτερο κύκλο

πιο κοντά στο μικρότερο σε απόσταση ίση με,

από όπου προκύπτει ότι το σύστημα δεν έχει ρίζες.

Με μετατόπιση 3 Εγώ μόνο ένα σημείο ενός μικρότερου κύκλου, καταλαβαίνουμε ότι αυτό το σημείο πέφτει

άλλος κύκλος.

Αυτό το σημείο θα είναι η λύση του συστήματος.

γ) Ας παρουσιάσουμε σε ένα πολύπλοκο επίπεδο τους αριθμούς των οποίων οι απόλυτες τιμές είναι ίσες με 1.

Σημειώστε ότι όταν μόνο δύο σημεία μετατοπίζονται από ένα προς τα αριστερά, πέφτουμε στον ίδιο κύκλο, πράγμα που σημαίνει ότι αυτοί οι δύο αριθμοί θα είναι οι λύσεις του συστήματος.

7. Αλγεβρικές και τριγωνομετρικές μορφές ενός σύνθετου αριθμού. Το γράψιμο ενός σύνθετου αριθμού z με τη μορφή a + ib καλείται αλγεβρική μορφή μιγαδικός αριθμός.

Ας εξετάσουμε άλλες μορφές γραφής σύνθετων αριθμών. Ας είναι r το module, και j - οποιοδήποτε από τα ορίσματα του σύνθετου αριθμού z \u003d a + ib, δηλαδή, r \u003d, j \u003d arg (a + ib). Στη συνέχεια, από τον τύπο (5) προκύπτει ότι, και, ως εκ τούτου,

Η εγγραφή ενός σύνθετου αριθμού στη φόρμα ονομάζεται τριγωνομετρική μορφή.

Για να περάσετε από την αλγεβρική μορφή του σύνθετου αριθμού a + ib στην τριγωνομετρική μορφή, αρκεί να βρείτε το συντελεστή του και ένα από τα επιχειρήματα.

Παράδειγμα 5. Τι σύνολο σημείων του σύνθετου επιπέδου δίνεται από την κατάσταση

α) Πρέπει να οικοδομήσουμε σημεία που, όταν προχωράμε προς τα κάτω Εγώκαι προς τα δεξιά από το 1 θα μάθαινε να είναι σε απόσταση από την προέλευση, από όπου

για να σχεδιάσουμε ένα σύνολο σημείων που πληρούν αυτήν την προϋπόθεση, πρέπει:

1) Κατασκευάστε ένα σύνολο σημείων ίσο με την προέλευση με το 2

2) μετακινήστε το 1 προς τα αριστερά και Εγώ πάνω

β) Πρέπει να χτίσουμε σημεία που θα βρίσκονται πιο κοντά στο σημείο - Εγώπαρά να 2i,Αυτά τα σημεία αναφέρονται στο σχήμα.

γ) Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση

Δηλαδή, αυτοί οι αριθμοί θα αφαιρεθούν από απόσταση

1 προς τα δεξιά. Σε αυτήν την περίπτωση, όταν πληρούται η δεύτερη συνθήκη, θα ληφθεί η γωνία που φαίνεται στο σχήμα.

Δηλαδή, αυτά θα είναι σημεία μακριά από την προέλευση των συντεταγμένων όχι περισσότερο από 1 και ταυτόχρονα εξαιρουμένου του αριθμού 0. Λαμβάνοντας υπόψη τη δεύτερη και τρίτη συνθήκη, λαμβάνουμε:

στ) Για την κατασκευή σημείων που ικανοποιούν την πρώτη συνθήκη, είναι απαραίτητο να μετατοπίζονται σημεία που βρίσκονται σε απόσταση 1,

1 προς τα δεξιά. Σε αυτήν την περίπτωση, λαμβάνοντας υπόψη άλλους όρους, λαμβάνουμε

το απαιτούμενο σύνολο σημείων.

Παράδειγμα 6. Οι ακόλουθες εκφράσεις θα είναι τριγωνομετρικές

Η τριγωνομετρική μορφή σύνταξης ενός αριθμού θα είναι μόνο η έκφραση α), καθώς μόνο ικανοποιεί τον ορισμό της τριγωνομετρικής μορφής σύνταξης ενός αριθμού (και για όλες τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, οι γωνίες πρέπει να είναι ίσες και εάν η τιμή της έκφρασης υπολογίζεται, τότε πρέπει να είναι ίση).

8. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση πολύπλοκων αριθμών σε τριγωνομετρική μορφή. Ας είναι

Με αυτόν τον τρόπο, ο συντελεστής και το προϊόν των δύο σύνθετων αριθμών είναι ίσο με το προϊόν των συντελεστών των παραγόντων, και το άθροισμα των επιχειρημάτων των παραγόντων είναι το επιχείρημα του προϊόντος.

Αφήστε λοιπόν

Με αυτόν τον τρόπο, ο συντελεστής του πηλίκου δύο σύνθετων αριθμών είναι ίσος με το πηλίκο του μέτρου του μερίσματος και του διαιρέτη, και η διαφορά μεταξύ των επιχειρημάτων του μερίσματος και του διαιρέτη είναι το επιχείρημα του πηλίκου.

9. Εκτόνωση και εξαγωγή ρίζας. Ο τύπος (6) για το προϊόν δύο σύνθετων αριθμών μπορεί να γενικευθεί στην περίπτωση παραγόντων. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής, είναι εύκολο να δείξουμε ότι εάν είναι τα επιχειρήματα των αριθμών, αντίστοιχα, τότε

Από εδώ, ως ειδική περίπτωση, λαμβάνεται ένας τύπος που δίνει έναν κανόνα για την αύξηση ενός σύνθετου αριθμού σε θετική ακέραια ισχύ:

Με αυτόν τον τρόπο, όταν ένας σύνθετος αριθμός αυξάνεται σε ισχύ με φυσικό εκθέτη, ο συντελεστής του αυξάνεται σε ισχύ με τον ίδιο εκθέτη και το όρισμα πολλαπλασιάζεται με τον εκθέτη.

Ο τύπος (8) ονομάζεται τύπος Moivre.

Ο αριθμός ονομάζεται ρίζα της δύναμης, του αριθμού β(δηλώνεται εάν

Αν w \u003d 0, τότε για οποιοδήποτε ν η εξίσωση έχει μία και μόνο μία λύση z \u003d0.

Τώρα ας φανταστούμε ζκαι β σε τριγωνομετρική μορφή:

Στη συνέχεια, η εξίσωση παίρνει τη μορφή

Δύο σύνθετοι αριθμοί είναι ίσοι εάν και μόνο εάν οι ενότητες τους είναι ίσοι και τα ορίσματα διαφέρουν με το πολλαπλάσιο του 2 Π.Συνεπώς,

Έτσι, όλες οι λύσεις στην εξίσωση δίνονται από τον τύπο

Πράγματι, δίνοντας τον αριθμό κστον τύπο (9) ακέραιες τιμές εκτός από 0, 1, ..., ( ν-1), δεν έχουμε άλλους σύνθετους αριθμούς.

Ο τύπος (9) ονομάζεται η δεύτερη φόρμουλα του Moivre.

Έτσι, εάν, τότε υπάρχει ακριβώς ν ρίζες βαθμού ν από τον αριθμό β: όλα περιέχονται στον τύπο (9).

Συγκεκριμένα, εάν \u003d 2, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες:

Δηλαδή, αυτές οι ρίζες είναι συμμετρικές για την προέλευση.

Είναι επίσης εύκολο να ληφθεί από τον τύπο (9) ότι εάν τα σημεία που αντιπροσωπεύουν όλες τις ρίζες της εξίσωσης είναι οι κορυφές του σωστού ν-ένα τετράγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο στο κέντρο ενός σημείου ζ\u003d 0 και ακτίνα.

Από τα παραπάνω, προκύπτει ότι το σύμβολο δεν έχει σαφή έννοια. Επομένως, χρησιμοποιώντας το, πρέπει να καταλάβουμε σαφώς τι σημαίνει αυτό. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία, πρέπει να βεβαιωθείτε ότι είναι σαφές εάν αυτό σημαίνει ένα ζευγάρι πολύπλοκων αριθμών Εγώκαι -Εγώ, ή ένα, και αν ένα, τότε ποιο.

Παράδειγμα 7. Γράψτε το σε τριγωνομετρική μορφή:

β) Από τότε, τότε πού.

Από τότε που

γ) Από τότε, τότε πού.

10. Τετραγωνικές εξισώσεις. Στο μάθημα της σχολικής άλγεβρας, εξετάστηκαν τετραγωνικές εξισώσεις

με πραγματικές αποδόσεις α, β, γ.Αποδείχθηκε εκεί ότι εάν ο διαχωριστής της εξίσωσης (10) είναι μη αρνητικός, τότε οι λύσεις μιας τέτοιας εξίσωσης δίδονται από τον τύπο

Στην περίπτωση, ειπώθηκε ότι, η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Για να εξαγάγουμε τον τύπο (11), χρησιμοποιήσαμε την τεχνική διαχωρισμού του τετραγώνου του τριανομικού με την επακόλουθη αποσύνθεση της αριστεράς πλευράς σε γραμμικούς παράγοντες:

από όπου ελήφθη ο τύπος (11). Προφανώς, όλοι αυτοί οι υπολογισμοί παραμένουν έγκυροι ακόμη και στην περίπτωση που α, β, γείναι σύνθετοι αριθμοί και οι ρίζες της εξίσωσης βρίσκονται στο σύνολο των σύνθετων αριθμών.

Έτσι, στο σύνολο των σύνθετων αριθμών, η εξίσωση

πάντα επιλύσιμο. Εάν η εξίσωση έχει μία ρίζα, η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Σε όλες τις περιπτώσεις, για τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης, ισχύει ο ακόλουθος τύπος

όπου υπονοούνται όλες οι ριζικές τιμές.

Παράδειγμα 8. Λύστε την εξίσωση

α) Αυτή η εξίσωση είναι τετραγωνική.

και ως εκ τούτου Χ και γ ικανοποιήστε το σύστημα

Εξάλλου Χ και γ

σημειώσε ότι Χ

Όταν λάβουμε:

Ας λύσουμε την εξίσωση (*): Χ 4 + 15χ 2 -16 \u003d 0 - τετραγωνική εξίσωση ως προς Χ 2, από πού

Επιστροφή στο σύστημα:

β) Αυτή η εξίσωση είναι τετραγωνική.

Σύμφωνα με τον τύπο για τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης, έχουμε:

Για να προσδιορίσετε όλες τις τιμές, βάλτε

και ως εκ τούτου Χ και γ ικανοποιήστε το σύστημα

Εξάλλου Χ και γπραγματικοί αριθμοί. Ας λύσουμε το σύστημα:

σημειώσε ότι Χ\u003d 0 δεν είναι λύση στο σύστημα.

Όταν λάβουμε:

Ας λύσουμε την εξίσωση (*): Χ 4 -16χ 2 -225 \u003d 0 - τετραγωνική εξίσωση ως προς Χ 2, από πού

Επιστροφή στο σύστημα:

Παράδειγμα 9. Λύστε την εξίσωση

α) Αφήστε, τότε η εξίσωση έχει τη μορφή:

Από εκεί, από ένα θεώρημα που αντιστοιχεί στο θεώρημα του Vieta, λαμβάνουμε

επιστρέφοντας στο ζ, παίρνουμε

1). Σημειώσε ότι. Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη φόρμουλα Moivre, λαμβάνουμε:

Συνεπώς,

2). Σημειώσε ότι. Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη φόρμουλα Moivre, λαμβάνουμε:

Συνεπώς,

β) Μεταμορφώνουμε την εξίσωση:

Σημειώσε ότι . Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη φόρμουλα Moivre, λαμβάνουμε:

Παράδειγμα 10. Λύστε την εξίσωση:

Λύστε την εξίσωση ως τετράγωνο σε σχέση με ζ 2: Δ \u003d

Ας είναι z \u003d a + ib, τότε, και η εξίσωση έχει τη μορφή

Ας, λοιπόν, από που

Ας, λοιπόν, λοιπόν, αν το καταλάβουμε

Αρχικά, προσδιορίζουμε το σύμβολο της έκφρασης κάτω από το σύμβολο της λειτουργικής μονάδας και μετά επεκτείνουμε τη λειτουργική μονάδα:

εάν η τιμή της έκφρασης είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, τότε απλώς την βγάζουμε από κάτω από το σύμβολο συντελεστή,
αν η έκφραση είναι μικρότερη από το μηδέν, τότε την βγάζουμε από κάτω από το σύμβολο της ενότητας, αλλάζοντας το σύμβολο, όπως κάναμε νωρίτερα στα παραδείγματα.

Λοιπόν, θα προσπαθήσουμε; Ας υπολογίσουμε:

(Ξεχάσατε, επαναλάβετε.)

Εάν, τι σήμα έχει; Λοιπόν, φυσικά,!

Αυτό σημαίνει ότι επεκτείνουμε το σύμβολο της μονάδας αλλάζοντας το σύμβολο της έκφρασης:

Καταλαβαίνετε; Στη συνέχεια, δοκιμάστε το μόνοι σας:

Απαντήσεις:

Τι άλλες ιδιότητες έχει η ενότητα;

Εάν πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς μέσα στο σύμβολο συντελεστή, μπορούμε εύκολα να πολλαπλασιάσουμε τους συντελεστές αυτών των αριθμών !!!

Σε μαθηματικούς όρους, ο συντελεστής του προϊόντος των αριθμών είναι ίσος με το προϊόν των συντελεστών αυτών των αριθμών.

Για παράδειγμα:

Τι γίνεται αν πρέπει να διαχωρίσουμε δύο αριθμούς (εκφράσεις) κάτω από το σύμβολο συντελεστή;

Ναι, το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό! Ας χωρίσουμε σε δύο ξεχωριστούς αριθμούς (εκφράσεις) κάτω από το σύμβολο συντελεστή:

υπό τον όρο ότι (αφού δεν μπορείτε να διαιρέσετε με μηδέν).

Αξίζει να θυμάστε μια ακόμη ιδιότητα της ενότητας:

Ο συντελεστής του αθροίσματος των αριθμών είναι πάντα μικρότερος ή ίσος με το άθροισμα των συντελεστών αυτών των αριθμών:

Γιατί αυτό? Όλα είναι πολύ απλά!

Όπως θυμόμαστε, η ενότητα είναι πάντα θετική. Αλλά το σύμβολο συντελεστή μπορεί να περιέχει οποιονδήποτε αριθμό: θετικό και αρνητικό. Ας υποθέσουμε ότι οι αριθμοί και είναι και οι δύο θετικοί. Στη συνέχεια, η αριστερή έκφραση θα ισούται με τη σωστή έκφραση.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα:

Εάν, κάτω από το σύμβολο συντελεστή, ο ένας αριθμός είναι αρνητικός και ο άλλος είναι θετικός, η αριστερή έκφραση θα είναι πάντα μικρότερη από τη σωστή:

Φαίνεται ότι όλα είναι ξεκάθαρα με αυτήν την ιδιότητα, ας εξετάσουμε μερικές πιο χρήσιμες ιδιότητες της ενότητας.

Τι γίνεται αν έχουμε αυτήν την έκφραση:

Τι μπορούμε να κάνουμε με αυτήν την έκφραση; Δεν γνωρίζουμε την τιμή του x, αλλά γνωρίζουμε ήδη τι σημαίνει αυτό.

Ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι μπορείτε απλά να γράψετε:

Έτσι ήρθαμε σε μια άλλη ιδιοκτησία, η οποία γενικά μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Και τι ισούται με αυτήν την έκφραση:

Επομένως, πρέπει να ορίσουμε το σύμβολο κάτω από τη λειτουργική μονάδα. Είναι απαραίτητο να ορίσετε ένα σημάδι εδώ;

Φυσικά όχι, αν θυμάστε ότι οποιοσδήποτε αριθμός σε ένα τετράγωνο είναι πάντα μεγαλύτερος από το μηδέν! Εάν δεν θυμάστε, δείτε το θέμα. Και τι συμβαίνει; Εδώ είναι τι:

Ωραία, ε; Αρκετά βολικό. Και τώρα ένα συγκεκριμένο παράδειγμα για την επίλυση:

Λοιπόν, γιατί αμφιβάλλει; Δρούμε τολμηρά!

Το καταλάβατε; Τότε προχωρήστε και προπονηθείτε με παραδείγματα!

1. Βρείτε την τιμή της έκφρασης εάν.

2. Σε ποιους αριθμούς αντιστοιχεί η ενότητα;

3. Βρείτε το νόημα των εκφράσεων:

Εάν δεν είναι όλα σαφή ακόμα και υπάρχουν δυσκολίες στις λύσεις, ας το καταλάβουμε:

Λύση 1:

Ας αντικαταστήσουμε λοιπόν τις τιμές στην έκφραση

Λύση 2:

Όπως θυμόμαστε, οι αντίθετοι αριθμοί είναι ίσοι σε απόλυτη τιμή. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή της μονάδας ισούται με δύο αριθμούς: και.

Λύση 3:

και)
σι)
στο)
ρε)

Πήρατε τα πάντα; Τότε ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στο πιο δύσκολο!

Ας προσπαθήσουμε να απλοποιήσουμε την έκφραση

Απόφαση:

Έτσι, θυμόμαστε ότι η τιμή συντελεστή δεν μπορεί να είναι μικρότερη από το μηδέν. Εάν το σύμβολο συντελεστή είναι θετικό, τότε μπορούμε απλά να απορρίψουμε το σύμβολο: ο συντελεστής του αριθμού θα είναι ίσος με αυτόν τον αριθμό.

Αλλά αν το σύμβολο συντελεστή είναι αρνητικό, τότε η τιμή του συντελεστή είναι ίση με τον αντίθετο αριθμό (δηλαδή, ο αριθμός που λαμβάνεται με το σύμβολο "-").

Για να βρείτε το συντελεστή οποιασδήποτε έκφρασης, πρώτα πρέπει να μάθετε αν χρειάζεται θετική τιμή ή αρνητική.

Αποδεικνύεται η τιμή της πρώτης έκφρασης κάτω από την ενότητα.

Επομένως, η έκφραση κάτω από το σύμβολο συντελεστή είναι αρνητική. Η δεύτερη έκφραση κάτω από το σύμβολο συντελεστή είναι πάντα θετική, καθώς προσθέτουμε δύο θετικούς αριθμούς.

Έτσι, η τιμή της πρώτης έκφρασης κάτω από το σύμβολο συντελεστή είναι αρνητική, η δεύτερη είναι θετική:

Αυτό σημαίνει, επεκτείνοντας το σύμβολο συντελεστή της πρώτης έκφρασης, πρέπει να πάρουμε αυτήν την έκφραση με το σύμβολο "-". Σαν αυτό:

Στη δεύτερη περίπτωση, απλώς απορρίπτουμε το σύμβολο συντελεστή:

Ας απλοποιήσουμε πλήρως αυτήν την έκφραση:

Συντελεστής ενός αριθμού και των ιδιοτήτων του (αυστηροί ορισμοί και αποδείξεις)

Ορισμός:

Ο συντελεστής (απόλυτη τιμή) ενός αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός, εάν και ο αριθμός, εάν:

Για παράδειγμα:

Παράδειγμα:

Απλοποιήστε την έκφραση.

Απόφαση:

Βασικές ιδιότητες της ενότητας

Για όλα:

Παράδειγμα:

Αποδείξτε την ιδιότητα # 5.

Απόδειξη:

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τέτοια

Ας τετράγωνα την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της ανισότητας (αυτό μπορεί να γίνει, καθώς και οι δύο πλευρές της ανισότητας είναι πάντα μη αρνητικές):

και αυτό είναι αντίθετο με τον ορισμό μιας ενότητας.

Κατά συνέπεια, αυτά δεν υπάρχουν, και επομένως, για όλους, η ανισότητα

Παραδείγματα για μια ανεξάρτητη λύση:

1) Αποδείξτε την ιδιοκτησία 6.

2) Απλοποιήστε την έκφραση.

Απαντήσεις:

1) Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα # 3:, και από τότε

Για να διατηρήσετε τα πράγματα απλά, πρέπει να επεκτείνετε τις ενότητες. Και για να επεκτείνετε τις ενότητες, πρέπει να μάθετε εάν οι εκφράσεις κάτω από την ενότητα είναι θετικές ή αρνητικές;

ένα. Ας συγκρίνουμε τους αριθμούς και και:

σι. Τώρα ας συγκρίνουμε και:

Προσθέστε τις τιμές των ενοτήτων:

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού. Εν συντομία για το κύριο πράγμα.

Ο συντελεστής (απόλυτη τιμή) ενός αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός, εάν και ο αριθμός, εάν:

Ιδιότητες ενότητας:

Ο συντελεστής ενός αριθμού είναι ένας μη αρνητικός αριθμός :;
Οι ενότητες των αντίθετων αριθμών είναι ίσες :;
Η ενότητα του προϊόντος δύο (ή περισσότερων) αριθμών είναι ίση με το προϊόν των ενοτήτων τους:
Ο συντελεστής του πηλίκου δύο αριθμών είναι ίσος με το πηλίκο των ενοτήτων τους:
Ο συντελεστής του αθροίσματος των αριθμών είναι πάντα μικρότερος ή ίσος με το άθροισμα των συντελεστών αυτών των αριθμών:
Ένας σταθερός θετικός παράγοντας μπορεί να ληφθεί εκτός του σημείου του συντελεστή: at;