Αξιωματική κατασκευή του συνόλου των φυσικών αριθμών. Αξιωματική θεωρία φυσικών αριθμών

Στην αξιωματική κατασκευή οποιασδήποτε μαθηματικής θεωρίας, τηρούνται ορισμένοι κανόνες:

Ορισμένες έννοιες της θεωρίας επιλέγονται ως μείζωνκαι γίνονται δεκτά χωρίς ορισμό.

Κάθε έννοια της θεωρίας, η οποία δεν περιλαμβάνεται στον κατάλογο των βασικών, έχει έναν ορισμό, εξηγεί τη σημασία της με τη βοήθεια βασικών και προηγούμενων εννοιών.

Διατυπώθηκε αξιώματα- προτάσεις που στη θεωρία αυτή γίνονται αποδεκτές χωρίς απόδειξη · αποκαλύπτουν τις ιδιότητες των βασικών εννοιών.

Κάθε πρόταση μιας θεωρίας που δεν περιλαμβάνεται στον κατάλογο των αξιωμάτων πρέπει να αποδειχθεί. Τέτοιες προτάσεις ονομάζονται θεωρήματα και αποδεικνύονται με βάση τα αξιώματα και τα θεωρήματα που προηγούνται αυτού που εξετάζεται.

Εάν η κατασκευή μιας θεωρίας πραγματοποιείται με αξιωματική μέθοδο, δηλ. σύμφωνα με τους παραπάνω κανόνες, τότε λένε ότι η θεωρία είναι χτισμένη εκλεκτικά.

Με την αξιωματική κατασκευή μιας θεωρίας, στην ουσία, όλες οι δηλώσεις συνάγονται από απόδειξη από αξιώματα. Επομένως, επιβάλλονται ειδικές απαιτήσεις στο σύστημα αξιώσεων. Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να είναι συνεπές και ανεξάρτητο.

Το σύστημα των αξιωμάτων ονομάζεται σταθερός,αν είναι αδύνατο να συναγάγουμε λογικά δύο αμοιβαία αποκλειστικές προτάσεις.

Εάν ένα σύστημα αξιώσεων δεν έχει αυτήν την ιδιότητα, δεν μπορεί να είναι κατάλληλο για τεκμηρίωση μιας επιστημονικής θεωρίας.

Ένα συνεκτικό σύστημα αξιώσεων ονομάζεται ανεξάρτητος,εάν κανένα από τα αξιώματα αυτού του συστήματος δεν είναι συνέπεια άλλων αξιώσεων αυτού του συστήματος.

Στην αξιωματική κατασκευή της ίδιας θεωρίας, μπορούν να χρησιμοποιηθούν διαφορετικά συστήματα αξιωμάτων. Αλλά πρέπει να είναι ίσοι. Επιπλέον, κατά την επιλογή ενός συγκεκριμένου συστήματος αξιώματος, οι μαθηματικοί λαμβάνουν υπόψη τον τρόπο με τον οποίο μπορούν να ληφθούν στο μέλλον απλές και σαφείς αποδείξεις των θεωρημάτων. Αλλά εάν η επιλογή των αξιωμάτων είναι υπό όρους, τότε η ίδια η επιστήμη ή μια μεμονωμένη θεωρία δεν εξαρτάται από οποιεσδήποτε συνθήκες - είναι μια αντανάκλαση του πραγματικού κόσμου.

Αξιωματική κατασκευή του συστήματος φυσικοί αριθμοί πραγματοποιείται σύμφωνα με τους διατυπωμένους κανόνες. Μελετώντας αυτό το υλικό, πρέπει να δούμε πώς μπορεί να προκύψει όλη η αριθμητική των φυσικών αριθμών από τις βασικές έννοιες και αξιώματα. Φυσικά, η παρουσίασή της στο μάθημά μας δεν θα είναι πάντα αυστηρή - παραλείπουμε μερικές από τις αποδείξεις λόγω της μεγάλης πολυπλοκότητάς τους, αλλά θα συζητήσουμε κάθε τέτοια περίπτωση.

Ασκηση

1. Ποια είναι η ουσία του αξιωματικού τρόπου κατασκευής μιας θεωρίας;

2. Είναι αλήθεια ότι ένα αξίωμα είναι μια πρόταση που δεν απαιτεί απόδειξη;

3. Ποιες είναι οι βασικές έννοιες του μαθήματος σχολικής πλανημετρίας; Θυμηθείτε μερικά από τα αξιώματα από αυτό το μάθημα. Οι ιδιότητες των εννοιών που περιγράφονται σε αυτές;

4. Ορίστε ένα ορθογώνιο επιλέγοντας ένα παραλληλόγραμμο ως γενική ιδέα. Ονομάστε τρεις έννοιες που πρέπει να προηγούνται της έννοιας του «παραλληλόγραμμου» σε μια πορεία γεωμετρίας.

5. Ποιες προτάσεις λέγονται θεωρήματα; Θυμηθείτε ποια είναι η λογική δομή του θεωρήματος και τι σημαίνει να αποδείξετε το θεώρημα.

Βασικές έννοιες και αξιώματα. Προσδιορισμός ενός φυσικού αριθμού

Ως βασική ιδέα στην αξιωματική κατασκευή της αριθμητικής των φυσικών αριθμών, πήραμε τη σχέση «ακολουθήστε αμέσως», που δίνεται σε ένα άδειο σύνολο Ν.Επίσης γνωστές είναι οι έννοιες ενός συνόλου, ένα στοιχείο ενός συνόλου και άλλες θεωρητικές έννοιες του συνόλου, καθώς και οι κανόνες της λογικής.

Το στοιχείο αμέσως μετά το στοιχείο και,σημαίνω και".

Η ουσία της σχέσης «ακολουθήστε αμέσως» αποκαλύπτεται στα ακόλουθα αξιώματα.

Axiom 1. Το σετ N περιέχει ένα στοιχείο που δεν ακολουθεί αμέσως κανένα στοιχείο αυτού του συνόλου. Θα το ονομάσουμε μονάδα και θα το δηλώσουμε με το σύμβολο 1.

Αξίωμα 2. Για κάθε στοιχείο και από το Νυπάρχει μόνο ένα στοιχείο ένα"αμέσως μετά και.

Αξίωμα 3. Για κάθε στοιχείο καιυπάρχει το πολύ ένα στοιχείο του Ν ακολουθούμενο αμέσως από και.

Αξίωμα 4. Οποιοδήποτε υποσύνολο Μπλήθη Ν συμπίπτει με Ν,εάν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: 1) 1 περιλαμβάνεται στο Μ; 2) από το γεγονός ότι καιπου περιέχονται σε Μ, ακολουθεί αυτό και"που περιέχονται σε Μ.

Τα διαμορφωμένα αξιώματα ονομάζονται συχνά αξιώματα του Peano.

Χρησιμοποιώντας τη σχέση "ακολουθήστε αμέσως" και τα αξιώματα 1-4, μπορούμε να δώσουμε τον ακόλουθο ορισμό ενός φυσικού αριθμού.

Ορισμός. Ενα μάτσοΝ, για τα στοιχεία των οποίων καθιερώνεται η σχέση "αμέσως ακολουθεί", που ικανοποιεί τα αξιώματα 1-4, ονομάζεται σύνολο φυσικών αριθμών και τα στοιχεία του- φυσικοί αριθμοί.

Αυτός ο ορισμός δεν λέει τίποτα για τη φύση των στοιχείων του συνόλου Ν.Ως εκ τούτου, μπορεί να είναι οτιδήποτε. Επιλέγοντας ως

του συνόλου N κάποιο συγκεκριμένο σύνολο, στο οποίο δίνεται μια συγκεκριμένη σχέση "ακολουθεί άμεσα", ικανοποιώντας τα αξιώματα 1-4, παίρνουμε μοντέλο αυτού του συστήματος αξιώσεων.Στα μαθηματικά, έχει αποδειχθεί ότι μεταξύ όλων αυτών των μοντέλων είναι δυνατή η δημιουργία αλληλογραφίας ένας προς έναν που διατηρεί τη σχέση "αμέσως ακολουθήστε" και όλα αυτά τα μοντέλα θα διαφέρουν μόνο στη φύση των στοιχείων, στο όνομα και στην ονομασία τους. Το τυπικό μοντέλο του συστήματος αξιών Peano είναι μια σειρά αριθμών που προέκυψαν κατά τη διαδικασία της ιστορικής ανάπτυξης της κοινωνίας:

Κάθε αριθμός σε αυτήν τη σειρά έχει τη δική του ονομασία και το όνομά του, τα οποία θα θεωρήσουμε γνωστά.

Θεωρώντας τη φυσική σειρά αριθμών ως ένα από τα μοντέλα των αξιώσεων 1-4, πρέπει να σημειωθεί ότι περιγράφουν τη διαδικασία σχηματισμού αυτής της σειράς, και αυτό συμβαίνει όταν οι ιδιότητες της σχέσης "ακολουθούν αμέσως" αποκαλύπτονται στα αξιώματα. Έτσι, η φυσική σειρά ξεκινά με τον αριθμό 1 (αξίωμα 1). Κάθε φυσικός αριθμός ακολουθείται αμέσως από έναν μοναδικό φυσικό αριθμό (αξίωμα 2). κάθε φυσικός αριθμός ακολουθεί αμέσως το πολύ έναν φυσικό αριθμό (αξίωμα 3). ξεκινώντας από τον αριθμό 1 και περνώντας για τους αμέσως επόμενους φυσικούς αριθμούς, αποκτούμε ολόκληρο το σύνολο αυτών των αριθμών (αξίωμα 4). Σημειώστε ότι το αξίωμα 4 σε τυποποιημένη μορφή περιγράφει το άπειρο των φυσικών αριθμών και η απόδειξη των δηλώσεων σχετικά με τους φυσικούς αριθμούς βασίζεται σε αυτό.

Σε γενικές γραμμές, οποιοδήποτε μετρήσιμο σύνολο μπορεί να είναι ένα μοντέλο του συστήματος αξιών Peano, για παράδειγμα:! ..

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, μια ακολουθία συνόλων στα οποία το σετ (oo) είναι το αρχικό στοιχείο και κάθε επόμενο σύνολο λαμβάνεται από το προηγούμενο με την εκχώρηση ενός ακόμη κύκλου (Εικ. 108, α). Επειτα Νυπάρχει ένα σετ που αποτελείται από σύνολα του περιγραφέντος τύπου, και είναι ένα μοντέλο του συστήματος αξιώματος Peano. Πράγματι, το σετ N περιέχει ένα στοιχείο (oo) που δεν ακολουθεί αμέσως κανένα στοιχείο αυτού του συνόλου, δηλαδή

υπάρχει μόνο ένα σετ από ΚΑΙπροσθέτοντας έναν κύκλο, δηλαδή το κράτημα του Axiom 2. Για κάθε σετ ΚΑΙυπάρχει το πολύ ένα σετ από το οποίο το σετ ΚΑΙπροσθέτοντας έναν κύκλο, δηλαδή Διατηρεί το Axiom 3. Εάν ΜÌ Νκαι είναι γνωστό ότι το σετ ΚΑΙπου περιέχονται σε Μ,συνεπάγεται ότι το σύνολο στο οποίο υπάρχει ένας ακόμη κύκλος από ό, τι στο σύνολο ΚΑΙ,περιέχεται επίσης στο Μ,τότε Μ \u003d Ν(και ως εκ τούτου, το Axiom 4 κρατά).

Σημειώστε ότι κανένα από τα αξιώματα δεν μπορεί να παραλειφθεί κατά τον ορισμό ενός φυσικού αριθμού - για οποιοδήποτε από αυτά μπορεί να κατασκευαστεί ένα σύνολο στο οποίο ικανοποιούνται τα άλλα τρία αξιώματα, αλλά αυτό το αξίωμα δεν πληρούται. Αυτή η θέση επιβεβαιώνεται σαφώς από τα παραδείγματα που φαίνονται στα Σχήματα 109 και 110. Στο Σχ. 109, φαίνεται ένα σετ στο οποίο πληρούνται τα αξιώματα 2 και 3, αλλά το αξίωμα 1 δεν πληρούται (το αξίωμα 4 δεν θα έχει νόημα, καθώς δεν υπάρχει κανένα στοιχείο στο σετ, άμεσα δεν ακολουθεί κανένα άλλο). Το σχήμα 109, b δείχνει ένα σύνολο στο οποίο πληρούνται τα αξιώματα 1, 3 και 4, αλλά πίσω από το στοιχείο καιακολουθούν αμέσως δύο στοιχεία και όχι ένα, όπως απαιτείται στο αξίωμα 2. Το σχήμα 109, c δείχνει ένα σύνολο στο οποίο ικανοποιούνται τα αξιώματα 1, 2, 4, αλλά το στοιχείο απόακολουθεί αμέσως ως στοιχείο και,και πίσω από το στοιχείο σι.Το Σχήμα 110 δείχνει ένα σύνολο στο οποίο ικανοποιούνται τα αξιώματα 1, 2, 3, αλλά το αξίωμα 4 δεν είναι ικανοποιημένο - το σύνολο των σημείων που βρίσκονται στην ακτίνα, περιέχει τον αριθμό που ακολουθεί αμέσως, αλλά δεν συμπίπτει με ολόκληρο το σύνολο σημείων που φαίνεται στο σχήμα.

Το γεγονός ότι οι αξιωματικές θεωρίες δεν μιλούν για την «αληθινή» φύση των εννοιών που μελετώνται καθιστά, με την πρώτη ματιά, αυτές τις θεωρίες πολύ αφηρημένες και τυπικές - αποδεικνύεται ότι διαφορετικά σύνολα αντικειμένων και διαφορετικές σχέσεις μεταξύ τους ικανοποιούν τα ίδια αξιώματα. Ωστόσο, αυτή η φαινομενική αφαιρετικότητα είναι η δύναμη της αξιωματικής μεθόδου: κάθε δήλωση που συνάγεται από τα δεδομένα αξιώματα με λογικό μέσο ισχύει για οποιοδήποτε σύνολο αντικειμένων, αρκεί οι σχέσεις που ικανοποιούν τα αξιώματα να ορίζονται σε αυτά.

Έτσι, ξεκινήσαμε την αξιωματική κατασκευή ενός συστήματος φυσικών αριθμών με την επιλογή της βασικής σχέσης «ακολουθήστε αμέσως» και τα αξιώματα στα οποία περιγράφονται οι ιδιότητές του. Η περαιτέρω κατασκευή της θεωρίας συνεπάγεται την εξέταση των γνωστών ιδιοτήτων των φυσικών αριθμών και των λειτουργιών τους. Πρέπει να αποκαλυφθούν σε ορισμούς και θεωρήματα, δηλαδή συνάγονται από έναν καθαρά λογικό τρόπο από τη σχέση «αμέσως ακολουθήστε» και τα αξιώματα 1-4.

Η πρώτη ιδέα που θα εισαγάγουμε μετά τον ορισμό ενός φυσικού αριθμού είναι η σχέση «αμέσως προηγείται», η οποία χρησιμοποιείται συχνά όταν εξετάζουμε τις ιδιότητες ενός φυσικού αριθμού.

Ορισμός. Εάν ένας φυσικός αριθμός b ακολουθεί αμέσως έναν φυσικό αριθμό a, τότε ο αριθμός a καλείται αμέσως πριν (ή προηγείται) ο αριθμός b.

Η σχέση «προηγείται» έχει μια σειρά ιδιοτήτων. Διατυπώνονται με τη μορφή θεωρημάτων και αποδεικνύονται χρησιμοποιώντας τα Αξιώματα 1 - 4.

Θεώρημα 1... Η μονάδα δεν έχει κορυφαίο φυσικό αριθμό.

Η αλήθεια αυτής της δήλωσης προκύπτει αμέσως από το Axiom 1.

Θεώρημα 2. Κάθε φυσικός αριθμός και,εκτός του 1, έχει έναν προηγούμενο αριθμό σι,έτσι b ¢ \u003d α.

Απόδειξη. Ας το δηλώσουμε Μτο σύνολο των φυσικών αριθμών, που αποτελείται από τον αριθμό 1 και από όλους τους αριθμούς που έχουν προηγούμενο. Εάν ο αριθμός καιπου περιέχονται σε Μ,τότε ο αριθμός και"επίσης στο Μ,από το προηγούμενο για και"είναι ο αριθμός και.Αυτό σημαίνει ότι το σετ Μπεριέχει 1 και από το γεγονός ότι ο αριθμός καιανήκει στο σετ Μ,συνεπάγεται ότι ο αριθμός και"ανήκει Μ.Στη συνέχεια, από το Axiom 4, το σετ Μσυμπίπτει με το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι φυσικοί αριθμοί, εκτός από το 1, έχουν έναν προηγούμενο αριθμό.

Σημειώστε ότι βάσει του Axiom 3, αριθμοί διαφορετικοί από 1 έχουν έναν μόνο προηγούμενο αριθμό.

Η αξιωματική κατασκευή της θεωρίας των φυσικών αριθμών δεν εξετάζεται ούτε στο δημοτικό ή στο γυμνάσιο. Ωστόσο, αυτές οι ιδιότητες της σχέσης "αμέσως ακολουθούν", οι οποίες αντικατοπτρίζονται στα αξιώματα του Peano, αποτελούν αντικείμενο μελέτης στην αρχική πορεία των μαθηματικών. Ήδη στην πρώτη τάξη, όταν εξετάζουμε τους αριθμούς των πρώτων δέκα, γίνεται σαφές πώς μπορεί να ληφθεί κάθε αριθμός. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούνται οι έννοιες "πρέπει" και "προηγούνται". Κάθε νέος αριθμός λειτουργεί ως συνέχεια του μελετημένου τμήματος των φυσικών σειρών αριθμών. Οι μαθητές είναι πεπεισμένοι ότι κάθε αριθμός ακολουθείται από τον επόμενο και, επιπλέον, μόνο έναν, ότι η φυσική σειρά αριθμών είναι άπειρη. Και φυσικά, η γνώση της αξιωματικής θεωρίας θα βοηθήσει τον δάσκαλο να οργανώσει μεθοδικά σωστά την αφομοίωση των χαρακτηριστικών της φυσικής σειράς αριθμών από τα παιδιά.

Γυμνάσια

1. Το Axiom 3 μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: «Για κάθε στοιχείο καιτου Νυπάρχει μόνο ένα στοιχείο που ακολουθείται αμέσως από το "

2. Επισημάνετε την κατάσταση και το συμπέρασμα στο Αξίωμα 4, γράψτε τα χρησιμοποιώντας τα σύμβολα Î, \u003d\u003e.

3. Συνεχίστε τον ορισμό ενός φυσικού αριθμού: «Ένα στοιχείο του συνόλου Î, Þ ονομάζεται φυσικός αριθμός.

Πρόσθεση

Σύμφωνα με τους κανόνες για την κατασκευή μιας αξιοματικής θεωρίας, ο ορισμός της προσθήκης φυσικών αριθμών πρέπει να εισαχθεί χρησιμοποιώντας μόνο τη σχέση «αμέσως ακολουθήστε» και τις έννοιες του «φυσικού αριθμού» και του «προηγούμενου αριθμού».

Προλογίζουμε τον ορισμό της προσθήκης με τα ακόλουθα ορίσματα. Εάν σε οποιονδήποτε φυσικό αριθμό καιπροσθέστε 1, τότε παίρνουμε τον αριθμό και",αμέσως μετά ένα, δηλαδή και + 1 = και",και, επομένως, έχουμε τον κανόνα για την προσθήκη 1 σε οποιονδήποτε φυσικό αριθμό. Αλλά πώς να προσθέσετε στον αριθμό καιφυσικός αριθμός σι,άλλο από 1; Ας χρησιμοποιήσουμε το ακόλουθο γεγονός: εάν είναι γνωστό ότι 2 + 3 \u003d 5, τότε το άθροισμα 2 + 4 είναι ίσο με τον αριθμό 6, ο οποίος ακολουθεί αμέσως τον αριθμό 5. Αυτό συμβαίνει επειδή στο άθροισμα 2 + 4 ο δεύτερος όρος είναι ο αριθμός αμέσως μετά τον αριθμό 3 Έτσι, το άθροισμα και+ β "μπορεί να βρεθεί εάν το ποσό είναι γνωστό και+ σι.Αυτά τα γεγονότα είναι η βάση για τον ορισμό της προσθήκης φυσικών αριθμών στην αξιωματική θεωρία. Επιπλέον, χρησιμοποιεί την έννοια μιας αλγεβρικής λειτουργίας.

Ορισμός. Η προσθήκη φυσικών αριθμών είναι μια αλγεβρική λειτουργία που έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1) ("και Î Ν ) a + 1 \u003d a ",

2) (" και, σι Î) a + b "\u003d (a + b)".

Αριθμός και+ σιονομάζεται άθροισμα αριθμών καικαι σι,και οι ίδιοι οι αριθμοί καικαι β -όροι.

Όπως γνωρίζετε, το άθροισμα των δύο φυσικών αριθμών είναι επίσης ένας φυσικός αριθμός και για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό καικαι σιάθροισμα και+ σι- ο μοναδικός. Με άλλα λόγια, το άθροισμα των φυσικών αριθμών υπάρχει και είναι μοναδικό. Η ιδιαιτερότητα του ορισμού είναι ότι δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων εάν υπάρχει μια αλγεβρική λειτουργία που κατέχει τις υποδεικνυόμενες ιδιότητες, και εάν υπάρχει, είναι μοναδική; Επομένως, με την αξιωματική κατασκευή της θεωρίας των φυσικών αριθμών, αποδεικνύεται η ακόλουθη δήλωση:

Θεώρημα 3. Η προσθήκη φυσικών αριθμών υπάρχει και είναι μοναδική.

Αυτό το θεώρημα αποτελείται από δύο δηλώσεις (δύο θεωρήματα):

1) υπάρχει προσθήκη φυσικών αριθμών.

2) Η προσθήκη φυσικών αριθμών είναι μοναδική.

Κατά κανόνα, η ύπαρξη και η μοναδικότητα συνδέονται μεταξύ τους, αλλά συχνά είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Η ύπαρξη ενός αντικειμένου δεν συνεπάγεται τη μοναδικότητά του. (Για παράδειγμα, εάν λέτε ότι έχετε μολύβι, αυτό δεν σημαίνει ότι υπάρχει μόνο ένα.) Η δήλωση μοναδικότητας σημαίνει ότι δεν μπορούν να υπάρχουν δύο αντικείμενα με δεδομένες ιδιότητες. Η μοναδικότητα αποδεικνύεται συχνά με αντίφαση: υποτίθεται ότι υπάρχουν δύο αντικείμενα που ικανοποιούν μια δεδομένη προϋπόθεση και στη συνέχεια χτίζουν μια αλυσίδα αφαιρετικών συμπερασμάτων που οδηγούν σε αντίφαση.

Για να επαληθεύσουμε την αλήθεια του Θεωρήματος 3, αποδεικνύουμε πρώτα ότι εάν στο σύνολο Ν υπάρχει μια λειτουργία με τις ιδιότητες 1 και 2, τότε αυτή η λειτουργία είναι μοναδική. τότε αποδεικνύουμε ότι υπάρχει μια λειτουργία προσθήκης με τις ιδιότητες 1 και 2.

Απόδειξη της μοναδικότητας της προσθήκης. Ας υποθέσουμε ότι στο σύνολο Ν υπάρχουν δύο λειτουργίες προσθήκης με τις ιδιότητες 1 και 2. Υποδηλώνουμε μία από αυτές με το σύμβολο + και η άλλη με το σύμβολο M. Για αυτές τις λειτουργίες έχουμε:

1) ένα +1 = και";1) καιÅ \u003d α "\\

2) a + b "\u003d (a + b)"2) καιÅ b "\u003d (αÅ β) ".

Ας το αποδείξουμε αυτό

("α, βÎ Ν )ένα + b \u003d αÅ σι. (1)

Αφήστε τον αριθμό καιεπιλέγεται αυθαίρετα, και σι Μ σι,για την οποία ισχύει η ισότητα (1).

Δεν είναι δύσκολο να επιβεβαιωθεί ότι 1 Μ.Πράγματι, από το γεγονός ότι και+ 1 = και"= καιЕ 1 ακολουθεί αυτό ένα +1 \u003d αÅ 1.

Ας αποδείξουμε τώρα εάν σιÎ Μ,τότε β "Î М,εκείνοι. αν ένα a + b \u003d αÅ σι,τότε και+ b "\u003d αÅ β ".Επειδή α + β - αÅ σι,τότε με το αξίωμα 2 (a + b) "\u003d (αÅ β) ",και μετά a + b "- (a + b)" \u003d (αÅ β) "\u003d αÅ β ".Από το σετ Μπεριέχει 1 και μαζί με κάθε αριθμό σιπεριέχει επίσης τον αριθμό β ¢μετά από το Axiom 4, το σετ Μσυμπίπτει με Ν, και ως εκ τούτου ισότητα (1) σι.Από τον αριθμό καιεπιλέχθηκε αυθαίρετα, τότε η ισότητα (1) ισχύει για κάθε φυσικό καικαι σι,εκείνοι. λειτουργίες + και Е στο σετ Ν μπορεί να διαφέρουν μεταξύ τους μόνο σε ονομασίες.

Απόδειξη της ύπαρξης προσθήκης. Ας δείξουμε ότι υπάρχει μια αλγεβρική λειτουργία με τις ιδιότητες 1 και 2 που ορίζονται στον ορισμό της προσθήκης.

Ας είναι Μ -πολλά από αυτά και μόνο αυτούς τους αριθμούς και,για το οποίο μπορείτε να καθορίσετε α + βώστε να πληρούνται οι προϋποθέσεις 1 και 2. Ας δείξουμε ότι 1 Î Μ.Για αυτό, για οποιοδήποτε σιβάζω

1 + b \u003d b ¢.(2)

1) 1 + 1 \u003d 1 ¢ - σύμφωνα με τον κανόνα (2), δηλαδή ισχύει η ισότητα ένα +1 = και"στο και= 1.

2)1 + β "= (β ")¢ β= (1 + β) "-σύμφωνα με τον κανόνα (2), δηλαδή την ισότητα α + β "= (α + β) "στο α \u003d1.

Έτσι, 1 ανήκει στο σετ Μ.

Ας προσποιηθούμε ότι καιανήκει Μ.Με βάση αυτήν την υπόθεση, θα το δείξουμε αυτό και"που περιέχονται σε Μ,εκείνοι. που μπορείτε να ορίσετε την προσθήκη και"και οποιονδήποτε αριθμό σιέτσι ώστε να πληρούνται οι προϋποθέσεις 1 και 2. Για να το κάνουμε αυτό, βάζουμε:

και"+ β \u003d(ένα + β) ".(3)

Δεδομένου ότι, με την υπόθεση, ο αριθμός α + βορίζεται, μετά από το Αξίωμα 2, ο αριθμός (και+ β) ".Ας ελέγξουμε ότι πληρούνται οι προϋποθέσεις 1 και 2:

1)ένα "+1 = (ένα +1)" = (και")".Με αυτόν τον τρόπο, και"+ 1 = (ένα")".

2)a "+ b" \u003d (a + b ¢) "= ((a + b) ")"= (α "+ β)".Με αυτόν τον τρόπο, a "+ b" \u003d \u003d (a "+ b)".

Έτσι, έχουμε δείξει ότι το σετ Μπεριέχει 1 και μαζί με κάθε αριθμό καιπεριέχει αριθμό και".Με το Axiom 4, συμπεραίνουμε ότι το σετ Μυπάρχουν πολλοί φυσικοί αριθμοί. Έτσι, υπάρχει ένας κανόνας που επιτρέπει τυχόν φυσικούς αριθμούς καικαι σιβρείτε μοναδικά έναν τόσο φυσικό αριθμό α + β,ότι οι ιδιότητες 1 και 2 διατυπώνονται στον ορισμό της κράτησης προσθήκης.

Ας δείξουμε πώς μπορεί να προκύψει ο γνωστός πίνακας προσθήκης μονοψήφιου αριθμού από τον ορισμό της προσθήκης και το Θεώρημα 3.

Ας συμφωνήσουμε για τις ακόλουθες ονομασίες: 1 "\u003d 2; 2" \u003d 3; 3 ¢ \u003d 4; 4 "\u003d 5 κ.λπ.

Συνθέτουμε τον πίνακα με την ακόλουθη ακολουθία: πρώτα, προσθέστε έναν σε οποιονδήποτε μονοψήφιο φυσικό αριθμό, μετά δύο, μετά τρεις, κ.λπ.

1 + 1 \u003d 1 ¢ με βάση την ιδιότητα 1 του ορισμού της προσθήκης. Αλλά 1 ¢ συμφωνήσαμε να δηλώσουμε 2, επομένως, 1 + 1 \u003d 2.

Ομοίως, 2 + 1 \u003d 2 "\u003d 3; 3 + 1 \u003d 3" \u003d 4 κ.λπ.

Ας εξετάσουμε τώρα τις περιπτώσεις που σχετίζονται με την προσθήκη του αριθμού 2 σε οποιονδήποτε μονοψήφιο φυσικό αριθμό.

1 + 2 \u003d 1 + 1 ¢ - χρησιμοποιείται η αποδεκτή ονομασία. Αλλά 1 + 1 ¢ \u003d \u003d (1 + 1) "σύμφωνα με την ιδιότητα 2 από τον ορισμό της προσθήκης, το 1 + 1 είναι 2, όπως αναφέρθηκε παραπάνω. Έτσι,

1 +2 = 1 + 1" = (1 +1)" = 2" = 3.

Ομοίως 2 + 2 \u003d 2 + 1 "\u003d (2 + 1)" \u003d 3 "\u003d 4; 3 + 2 \u003d 3 + 1 ¢\u003d (3 + 1) "\u003d \u003d 4" \u003d 5 κ.λπ.

Εάν συνεχίσουμε αυτήν τη διαδικασία, λαμβάνουμε ολόκληρο τον πίνακα προσθήκης μονοψήφιου αριθμού.

Το επόμενο βήμα στην αξιωματική κατασκευή ενός συστήματος φυσικών αριθμών είναι να αποδείξει τις ιδιότητες της προσθήκης, με την ιδιότητα της συσχέτισης να λαμβάνεται υπόψη πρώτα, μετά από τη μεταγωγικότητα κ.λπ.

Θεώρημα 4.(" α, β, γΣΕ ) (α + β)+ από= και+ (σι+ από).

Απόδειξη. Αφήστε τους φυσικούς αριθμούς καικαι σιεπιλέγονται αυθαίρετα, και απόπαίρνει διάφορες φυσικές έννοιες. Ας το δηλώσουμε Μτο σύνολο όλων αυτών και μόνο αυτών των φυσικών αριθμών c για τους οποίους η ισότητα (a + b) + c \u003d a + (b + c)σωστά.

Πρώτον, ας αποδείξουμε ότι 1 1 Μ,εκείνοι. βεβαιωθείτε ότι η ισότητα είναι δίκαιη (και+ σι)+ 1 = και+ (σι+ 1) Πράγματι, από τον ορισμό της προσθήκης, έχουμε (α + β)+ 1 = (και+ β) "= και+ β "= και+ (σι+ 1).

Ας αποδείξουμε τώρα ότι εάν c Î M, τότε c "Î Μ,εκείνοι. από την ισότητα (και+ σι)+ c \u003d α+ (β + γ)ακολουθεί η ισότητα (και+ σι)+ από"= και+ (b + c "). (και+ σι)+ από"= ((και + σι)+ από)".Στη συνέχεια, με βάση την ισότητα (και+ β) + γ= α + (β + γ)μπορείς να γράψεις: ((και+ σι)+ c) "\u003d (α+ (σι+ από))".Από εκεί, με τον ορισμό της προσθήκης, έχουμε: ένα + (σι+ c)) "\u003d a + (b + c)" \u003d a + (b + c ") .

Μπεριέχει 1, και από το γεγονός ότι απόπου περιέχονται σε Μ,ακολουθεί αυτό από"που περιέχονται σε Μ.Επομένως, σύμφωνα με το Αξίωμα 4, Μ= Ν,εκείνοι. ισότητα ( και + σι)+ από= α + (β + γ)ισχύει για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό από,και αφού οι αριθμοί καικαι σιεπιλέχθηκαν αυθαίρετα, τότε είναι αλήθεια και για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό καικαι σι,Ε.Π.Ε.

Θεώρημα 5.("α, βÎ Ν) α+ σι= σι+ και.

Απόδειξη. Αποτελείται από δύο μέρη: πρώτον, αποδεικνύουν ότι (" ένα ΣΕ) και+1 = 1+ένακαι τότε αυτό (" α, βΣΕ ) a + b \u003d b+ και.

1 Ας αποδείξουμε ότι (" και ΣΕ) ένα + 1 \u003d 1 + α. Ας είναι Μ -σύνολο όλων αυτών και μόνο αυτών των αριθμών και,για την οποία η ισότητα και+ 1 = 1 + καιαληθής.

Εφόσον το 1 + 1 \u003d 1 + 1 είναι μια πραγματική ισότητα, τότε το 1 ανήκει στο σετ Μ.

Ας αποδείξουμε τώρα εάν καιÎ Μ,τότε και"Î Μ,δηλαδή, από την ισότητα ένα +1 = 1 + καιακολουθεί η ισότητα ένα "+1 = 1 + και".Πραγματικά, ένα "+1 = (ένα +1) + 1 από την πρώτη ιδιότητα προσθήκης. Περαιτέρω, η έκφραση (a + 1) + 1 μπορεί να μετατραπεί στην έκφραση (1 + α) +1, χρησιμοποιώντας την ισότητα και+ 1 = 1 + και.Στη συνέχεια, βάσει του σχετικού νόμου, έχουμε: (1 + και)+ 1 = 1 + (και + 1). Και τέλος, με τον ορισμό της προσθήκης, έχουμε: 1 + (α +1) = 1 + α ".

Έτσι, έχουμε δείξει ότι το σετ Μπεριέχει 1 και μαζί με κάθε αριθμό καιπεριέχει επίσης τον αριθμό και".Επομένως, σύμφωνα με το αξίωμα A, M \u003d I,εκείνοι. ισότητα και+ 1 = 1 + καιισχύει για κάθε φυσικό και.

2 . Ας αποδείξουμε ότι (" α, βÎ Ν ) και+ β \u003d β+ και.Ας είναι και -έναν αυθαίρετο φυσικό αριθμό και σιπαίρνει διάφορες φυσικές έννοιες. Ας το δηλώσουμε Μτο σύνολο όλων αυτών και μόνο αυτών των φυσικών αριθμών σι,για την οποία η ισότητα α + β \u003d β+ καιαληθής.

Από το στις β \u003d1 αποκτάμε την ισότητα και+ 1 = 1 + και,η αλήθεια του οποίου αποδεικνύεται στο σημείο 1, τότε το 1 περιέχεται στο Μ.

Ας αποδείξουμε τώρα εάν σιανήκει Μ,τότε και β "ανήκει επίσης Μ,εκείνοι. από την ισότητα και+ β \u003d β+ καιακολουθεί η ισότητα και+ β "= β "+ και.Πράγματι, από τον ορισμό της προσθήκης, έχουμε: και+ β "= (και+ β) ".Επειδή και+ σι= σι+ και,τότε (και+ b) "\u003d (β+ και)".Ως εκ τούτου, εξ ορισμού της προσθήκης: (σι+ και)"= σι+ και"= σι+ (ένα + 1). Με βάση το γεγονός ότι ένα +1 = 1 + και,παίρνουμε: σι+ (a + 1) \u003d σι+ (1 + και).Χρησιμοποιώντας τη συσχετιστική ιδιότητα και τον ορισμό της προσθήκης, εκτελούμε τους μετασχηματισμούς: b + (1 + a) \u003d (b + 1) + a \u003d b "+ a.

Έτσι, αποδείξαμε ότι το 1 περιέχεται στο σετ Μκαι μαζί με κάθε αριθμό σιπολλά Μπεριέχει επίσης τον αριθμό β ¢,αμέσως μετά β ¢.Με το Axiom 4, αποκτάμε Μ= ΚΑΙ,εκείνοι. ισότητα ένα+ σι= σι+ καιισχύει για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό σι,καθώς και για κάθε φυσικό και,καθώς η επιλογή του ήταν αυθαίρετη.

Θεώρημα 6. ("α, βÎ Ν) α + β¹ σι.

Απόδειξη. Ας είναι και -έναν φυσικό αριθμό που επιλέγεται αυθαίρετα, και σιπαίρνει διάφορες φυσικές έννοιες. Ας το δηλώσουμε Μτο σύνολο αυτών και μόνο αυτών των φυσικών αριθμών σι,για το οποίο ισχύει το Θεώρημα 6.

Ας αποδείξουμε ότι 1 Î Μ.Πράγματι, από τότε και+ 1 = και"(από τον ορισμό της προσθήκης), και το 1 δεν ακολουθεί κανέναν αριθμό (αξίωμα 1), τότε και+ 1 ¹ 1.

Ας αποδείξουμε τώρα εάν σιÎ Μ,τότε β "Î Μ,εκείνοι. από τι α + βÎ σιακολουθεί αυτό α + β "¹ β ".Πράγματι, από τον ορισμό της προσθήκης, a + b "\u003d (a + b)",αλλά από τότε α + βÎ σι,τότε (α + β) "¹ β "και ως εκ τούτου a + b ¢=β ¢.

Με το Axiom 4, τα σετ Μκαι Νσυμπίπτουν, επομένως, για κάθε φυσικό αριθμό α + βÎ σι,Ε.Π.Ε.

Η προσέγγιση της προσθήκης, που θεωρείται στην αξιωματική κατασκευή ενός συστήματος φυσικών αριθμών, είναι η βάση πρωτοβάθμια εκπαίδευση μαθηματικά. Η απόκτηση αριθμών με την προσθήκη 1 σχετίζεται στενά με την αρχή της κατασκευής μιας φυσικής σειράς και η δεύτερη ιδιότητα της προσθήκης χρησιμοποιείται σε υπολογισμούς, για παράδειγμα, σε τέτοιες περιπτώσεις: 6 + 3 \u003d (6+ 2) + 1 \u003d 8 + 1 \u003d 9.

Όλες οι αποδεδειγμένες ιδιότητες μελετούνται στο μάθημα μαθηματικών του αρχάριου και χρησιμοποιούνται για τον μετασχηματισμό των εκφράσεων.

Γυμνάσια

1. Είναι αλήθεια ότι κάθε φυσικός αριθμός λαμβάνεται από τον προηγούμενο με την προσθήκη ενός;

2. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της προσθήκης, βρείτε την έννοια των εκφράσεων:

α) 2 + 3 · β) 3 + 3; γ) 4 + 3.

3. Τι μετασχηματισμούς έκφρασης μπορείτε να εκτελέσετε χρησιμοποιώντας την ιδιότητα συσχετισμού της προσθήκης;

4. Μετατρέψτε την έκφραση εφαρμόζοντας τη συσχετιστική ιδιότητα προσθήκης:

α) (12 + 3) +17; β) 24 + (6 + 19); γ) 27 + 13 + 18.

5. Αποδείξτε ότι (" α, βÎ Ν) α + β¹ και.

6. Μάθετε πώς διατυπώνονται τα διάφορα βιβλία μαθηματικών δημοτικών σχολείων:

α) την ανταλλακτική ιδιότητα της προσθήκης ·

β) τη σχετική ιδιοκτησία της προσθήκης.

7 Σε ένα από τα βιβλία για το δημοτικό σχολείο, ο κανόνας της προσθήκης ενός αριθμού στο άθροισμα εξετάζεται χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα (4 + 3) + 2 και προτείνονται οι ακόλουθοι τρόποι εύρεσης του αποτελέσματος:

α) (4 + 3) + 2 \u003d 7 + 2 \u003d 9;

β) (4 + 3) + 2 \u003d (4 + 2) + 3 \u003d 6 + 3 \u003d 9;

γ) (4 + 3) + 2 \u003d 4 + (2 + 3) \u003d 4 + 5 \u003d 9.

Δικαιολογήστε τους μετασχηματισμούς που πραγματοποιήθηκαν. Μπορούμε να πούμε ότι ο κανόνας για την προσθήκη ενός αριθμού σε ένα άθροισμα είναι συνέπεια της συσχετιστικής ιδιότητας της προσθήκης;

8 .Είναι γνωστό ότι α + β\u003d 17. Τι είναι ίσο με:

και) a + (b + 3);σι) (και+ 6) + σι;γ) (13+ σι)+ένα?

9 .Περιγράφω πιθανοί τρόποι αξιολόγηση της τιμής μιας έκφρασης της φόρμας a + b + c.Δώστε τους λόγους για αυτές τις μεθόδους και επεξηγήστε τις με συγκεκριμένα παραδείγματα.

Πολλαπλασιασμός

Σύμφωνα με τους κανόνες για την οικοδόμηση μιας αξιωματικής θεωρίας, είναι δυνατόν να καθοριστεί ο πολλαπλασιασμός των φυσικών αριθμών χρησιμοποιώντας τη σχέση «ακολουθήστε αμέσως μετά» και τις έννοιες που εισήχθησαν νωρίτερα.

Προλογίζουμε τον ορισμό του πολλαπλασιασμού με τα ακόλουθα ορίσματα. Εάν υπάρχει κάποιος φυσικός αριθμός καιπολλαπλασιάστε με 1, παίρνετε και,εκείνοι. η ισότητα ισχύει α ×1 = καικαι παίρνουμε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό κάθε φυσικού αριθμού με 1. Αλλά πώς να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό καιγια έναν φυσικό αριθμό σι,άλλο από 1; Ας χρησιμοποιήσουμε το ακόλουθο γεγονός: εάν είναι γνωστό ότι 7 × 5 \u003d 35, τότε για να βρούμε το προϊόν 7 × 6, αρκεί να προσθέσουμε 7 έως 35, αφού 7 × 6 \u003d 7 × (5 + 1) \u003d 7 × 5 +7. Έτσι, το προϊόν α × β "μπορεί να βρεθεί εάν το προϊόν είναι γνωστό: a × b "\u003d a × b+ και.

Τα παρατηρηθέντα γεγονότα αποτελούν τη βάση για τον ορισμό του πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών. Επιπλέον, χρησιμοποιεί την έννοια μιας αλγεβρικής λειτουργίας.

Ορισμός. Ο πολλαπλασιασμός των φυσικών αριθμών είναι μια αλγεβρική λειτουργία με τις ακόλουθες ιδιότητες:

1) ("ένα Î Ν) α ×1 \u003d α;

2) ("ένα, Î Ν) α × β "= α × β+ και.

Αριθμός α × βπου ονομάζεται δουλειάαριθμοί καικαι σι,και οι ίδιοι οι αριθμοί καικαι σι-πολλαπλασιαστές.

χαρακτηριστικό αυτόν τον ορισμό, καθώς και ο ορισμός της προσθήκης φυσικών αριθμών, είναι ότι δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων εάν υπάρχει αλγεβρική λειτουργία με τις υποδεικνυόμενες ιδιότητες και εάν υπάρχει, τότε εάν είναι μοναδική. Από αυτήν την άποψη, υπάρχει ανάγκη να αποδειχθεί αυτό το γεγονός.

Θεώρημα 7.Υπάρχει πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών και είναι μοναδικός.

Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος είναι παρόμοια με την απόδειξη του Θεωρήματος 3.

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του πολλαπλασιασμού, το Θεώρημα 7 και τον πίνακα προσθήκης, Μπορείτε να αντλήσετε τον πίνακα πολλαπλασιασμού για μεμονωμένους αριθμούς. Το κάνουμε με την ακόλουθη σειρά: πρώτα θεωρούμε τον πολλαπλασιασμό με 1, μετά με το 2 κ.λπ.

Είναι εύκολο να δούμε ότι ο πολλαπλασιασμός με 1 πραγματοποιείται από την ιδιότητα 1 στον ορισμό του πολλαπλασιασμού: 1 × 1 \u003d 1; 2 × 1 \u003d 2; 3 × 1 \u003d 3 κ.λπ.

Ας εξετάσουμε τώρα τις περιπτώσεις πολλαπλασιασμού με 2: 1 × 2 \u003d 1 × 1 "\u003d 1 × 1 + 1 \u003d 1 + 1 \u003d 2 - η μετάβαση από το προϊόν 1 × 2 στο προϊόν 1 × 1 ¢ πραγματοποιείται σύμφωνα με τον προηγουμένως εγκριθέντα συμβολισμό · η μετάβαση από την έκφραση 1 × 1 στην έκφραση 1 × 1 + 1 - με βάση τη δεύτερη ιδιότητα πολλαπλασιασμού. Το προϊόν 1 × 1 αντικαθίσταται από τον αριθμό 1 σύμφωνα με το αποτέλεσμα που έχει ήδη ληφθεί στον πίνακα και, τέλος, η τιμή της έκφρασης 1 + 1 βρίσκεται σύμφωνα με τον πίνακα προσθήκης.

2 × 2 \u003d 2 × 1 "\u003d 2 × 1 +2 \u003d 2 + 2 \u003d 4;

3 × 2 \u003d 3 × 1 ¢ \u003d 3 × 1 + 3 \u003d 3 + 3 \u003d 6.

Εάν συνεχίσουμε αυτήν τη διαδικασία, λαμβάνουμε ολόκληρο τον πίνακα πολλαπλασιασμού για μεμονωμένους αριθμούς.

Όπως γνωρίζετε, ο πολλαπλασιασμός των φυσικών αριθμών είναι υπολογιστικός, συσχετιστικός και κατανεμητικός σε σχέση με την προσθήκη. Κατά την κατασκευή μιας θεωρίας αξιωματικής, είναι βολικό να αποδειχθούν αυτές οι ιδιότητες ξεκινώντας από τη διανομή.

Όμως, λόγω του γεγονότος ότι η ιδιότητα μεταγωγικότητας θα αποδειχθεί αργότερα, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η κατανομή στα δεξιά και αριστερά σε σχέση με την προσθήκη.

Θεώρημα 8. ("α, β, γÎ Ν) (και+ β) × c \u003d a × c+ β × γ.

Απόδειξη. Αφήστε τους φυσικούς αριθμούς a και σιεπιλέγονται αυθαίρετα, και απόπαίρνει διάφορες φυσικές έννοιες. Ας το δηλώσουμε Μτο σύνολο όλων αυτών και μόνο αυτών των φυσικών αριθμών c για τις οποίες η ισότητα (a + β) × c \u003d a × c+ β × γ.

Ας αποδείξουμε ότι 1 Î Μ,εκείνοι. αυτή η ισότητα ( ένα + β) ×1 = και× 1 + β ×1 αληθής. Σύμφωνα με την ιδιότητα 1 από τον ορισμό του πολλαπλασιασμού, έχουμε: (a + b) ×1\u003d α + β \u003d α ×1+ σι× 1.

Ας αποδείξουμε τώρα εάν απόÎ Μ,τότε από"Î Μ,εκείνοι. ότι από την ισότητα ( ένα + β) c \u003d a × c+ β × γακολουθεί η ισότητα (και+ β) × c "\u003d a × c"+ β × γ ".Με τον ορισμό του πολλαπλασιασμού, έχουμε: ( α + β) × γ "= (ένα + β) × γ+ (ένα + σι).Επειδή (a + b) × c \u003d a × c + b × c,τότε ( a + b) × γ+ (α + β)= (a × c + b × c) + (α+ σι).Χρησιμοποιώντας τις συσχετιστικές και μεταλλακτικές ιδιότητες της προσθήκης, εκτελούμε μετασχηματισμούς: ( ένα× από+ β × γ)+ (και+ β) \u003d(ένα× από + β × γ+ και)+ β \u003d(a × γ + α + β × γ)+ σι= = ((a × c+ ένα) + β × γ)+ b \u003d (α × γ+ ένα) + (β × γ+ σι).Τέλος, με τον ορισμό του πολλαπλασιασμού, έχουμε: (α × γ+ α) + (β × γ+ β) \u003d a × c "+ β × γ ".

Έτσι, έχουμε δείξει ότι το σετ Μπεριέχει 1, και από το γεγονός ότι περιέχει c, ακολουθεί αυτό και από"που περιέχονται σε Μ.Με το Axiom 4, αποκτάμε Μ= Ν.Αυτό σημαίνει ότι η ισότητα ( ένα + b) × c \u003d a × c + b × cισχύει για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό από,καθώς και για κάθε φυσικό ένα και σι,καθώς επιλέχθηκαν αυθαίρετα.

Θεώρημα 9. (" α, β, γÎ Ν) a × (b + c) \u003d a × b + a × c.

Αυτή η ιδιότητα παραμένει διανεμητική σε σχέση με την προσθήκη. Αποδεικνύεται με τον ίδιο τρόπο όπως και για τη σωστή διανομή.

Θεώρημα 10.(" α, β, γÎ Ν) (a × b) × c \u003d a × (b × c).

Αυτή είναι η ιδιότητα συσχετισμού του πολλαπλασιασμού. Η απόδειξή του βασίζεται στον ορισμό του πολλαπλασιασμού και των Θεωρημάτων 4-9.

Θεώρημα 11. ("α, β,Î Ν) α × β.

Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος έχει παρόμοια μορφή με την απόδειξη της μεταβλητής ιδιότητας της προσθήκης.

Η προσέγγιση του πολλαπλασιασμού, που θεωρείται στην αξιωματική θεωρία, είναι η βάση για την εκμάθηση του πολλαπλασιασμού στο δημοτικό σχολείο... Ο πολλαπλασιασμός με το 1 ορίζεται συνήθως και η δεύτερη ιδιότητα πολλαπλασιασμού χρησιμοποιείται κατά τη σύνταξη ενός πίνακα πολλαπλασιασμού για μονοψήφια αριθμούς και υπολογισμούς.

Στο αρχικό μάθημα, μελετάμε όλες τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού που έχουμε σκεφτεί: commatativity, associativity και distributivity.

Γυμνάσια

1 ... Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του πολλαπλασιασμού, βρείτε τις τιμές των εκφράσεων:

α) 3 × 3 · 6) 3 × 4; γ) 4 × 3.

2. Σημειώστε τη διανεμητική ιδιότητα του αριστερού πολλαπλασιασμού σε σχέση με την προσθήκη και αποδείξτε την. Ποιοι μετασχηματισμοί εκφράσεων είναι δυνατοί με βάση αυτό; Γιατί έγινε απαραίτητο να εξεταστεί η κατανομή του αριστερού και του δεξιού πολλαπλασιασμού σε σχέση με την προσθήκη;

3. Αποδείξτε την ιδιότητα συσχετισμού του πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών. Ποιοι μετασχηματισμοί εκφράσεων είναι δυνατοί με βάση αυτό; Αυτή η ιδιοκτησία μελετάται στο δημοτικό σχολείο;

4. Αποδείξτε τη μεταβλητή ιδιότητα του πολλαπλασιασμού. Δώστε παραδείγματα της χρήσης του σε ένα στοιχειώδες μάθημα μαθηματικών.

5. Ποιες ιδιότητες πολλαπλασιασμού μπορούν να χρησιμοποιηθούν κατά την εύρεση της τιμής μιας έκφρασης:

α) 5 × (10 + 4) · 6) 125 × 15 × 6; γ) (8 × 379) × 125;

6. Είναι γνωστό ότι 37 - 3 \u003d 111. Χρησιμοποιώντας αυτήν την ισότητα, υπολογίστε:

α) 37 × 18; β) 185 × 12.

Δικαιολογήστε όλους τους μετασχηματισμούς που πραγματοποιήθηκαν.

7 ... Προσδιορίστε την έννοια της έκφρασης χωρίς να εκτελέσετε γραπτούς υπολογισμούς. Δικαιολογήστε την απάντηση:

α) 8962 × 8 + 8962 × 2 · β) 63402 × 3 + 63402 × 97 · γ) 849+ 849 × 9.

8 ... Ποιες ιδιότητες πολλαπλασιασμού θα χρησιμοποιούν οι μαθητές του δημοτικού σχολείου όταν ολοκληρώνουν τις ακόλουθες εργασίες:

Είναι δυνατόν, χωρίς υπολογισμό, να πούμε ποιες εκφράσεις θα έχουν τις ίδιες τιμές:

α) 3 × 7 + 3 × 5 · β) 7 × (5 + 3); γ) (7 + 5) × 3;

Οι αλήθειες είναι αληθινές:

α) 18 × 5 × 2 \u003d 18 × (5 × 2) · γ) 5 × 6 + 5 × 7 \u003d (6 + 7) × 5;

β) (3 × 10) × 17 \u003d 3 × 10 × 17; δ) 8 × (7 + 9) \u003d 8 × 7 + 9 × 8;

Είναι δυνατόν, χωρίς να εκτελέσετε υπολογισμούς, να συγκρίνετε τις τιμές των εκφράσεων:

α) 70 × 32 + 9 × 32 ... 79 × 30 + 79 × 2;

β) 87 × 70 + 87 × 8 ... 80 × 78 + 7 × 78;

Polysemy

Η πολυσημεία, ή η πολυσημεία των λέξεων, προκύπτει εξαιτίας του γεγονότος ότι η γλώσσα είναι ένα σύστημα που είναι περιορισμένο σε σύγκριση με την άπειρη ποικιλία της πραγματικότητας, έτσι ώστε, σύμφωνα με τα λόγια του Ακαδημαϊκού Vinogradov, "Η γλώσσα αναγκάζεται να διανείμει ένα άπειρο σύνολο νοημάτων κάτω από τον ένα ή τον άλλο τίτλο βασικών εννοιών." (Vinogradov "Ρωσική γλώσσα" 1947). Είναι απαραίτητο να γίνει διάκριση μεταξύ διαφορετικών χρήσεων λέξεων σε μια λεξικο-σημασιολογική έκδοση και της πραγματικής διαφοράς της λέξης. Έτσι, για παράδειγμα, η λέξη (das) Ol μπορεί να υποδηλώνει έναν αριθμό διαφορετικών ελαίων, εκτός από την αγελάδα (για την οποία υπάρχει η λέξη Βούτυρο). Ωστόσο, δεν προκύπτει από αυτό ότι, δηλώνοντας διαφορετικά έλαια, η λέξη Ol θα έχει κάθε φορά διαφορετική σημασία: σε όλες τις περιπτώσεις η σημασία της θα είναι η ίδια, δηλαδή το λάδι (όλα εκτός από αγελάδα). Όπως επίσης, για παράδειγμα, η έννοια του πίνακα Tisch, ανεξάρτητα από το είδος του πίνακα που δείχνει η λέξη σε αυτή τη συγκεκριμένη περίπτωση. Η κατάσταση είναι διαφορετική όταν η λέξη Ol δηλώνει λάδι. Εδώ δεν είναι πλέον η ομοιότητα του λιπαντικού όσον αφορά τη λιπαντικότητα με διαφορετικές ποιότητες λαδιού που έρχονται στο προσκήνιο, αλλά η ειδική ποιότητα του λαδιού - καύση. Ταυτόχρονα, οι λέξεις που δηλώνουν διαφορετικούς τύπους καυσίμων θα αντιστοιχούν ήδη στη λέξη Ol: Kohl, Holz κ.λπ. Αυτό μας δίνει την ευκαιρία να διακρίνουμε δύο έννοιες της λέξης Ol (ή, με άλλα λόγια, δύο λεξικο-σημασιολογικές παραλλαγές): 1) λάδι (όχι ζωικό) 2) λάδι.
Συνήθως, νέες έννοιες προκύπτουν μεταφέροντας μία από τις υπάρχουσες λέξεις σε ένα νέο αντικείμενο ή φαινόμενο. Έτσι σχηματίζονται οι εικονιστικές έννοιες. Βασίζονται είτε στην ομοιότητα των αντικειμένων είτε στη σύνδεση ενός αντικειμένου με ένα άλλο. Είναι γνωστοί διάφοροι τύποι μεταφοράς ονόματος. Τα πιο σημαντικά από αυτά είναι η μεταφορά ή η μετονυμία.
Με τη μεταφορά, η μεταφορά βασίζεται στην ομοιότητα των πραγμάτων στο χρώμα, το σχήμα, τη φύση της κίνησης και ούτω καθεξής. Με όλες τις μεταφορικές αλλαγές, παραμένει κάποιο σημάδι της αρχικής έννοιας

Ομώνυμο

Η ασάφεια της λέξης είναι ένα τόσο μεγάλο και πολύπλευρο πρόβλημα που τα πιο διαφορετικά προβλήματα λεξικολογίας με τον έναν ή τον άλλο τρόπο αποδεικνύονται ότι συνδέονται με αυτήν. Συγκεκριμένα, το πρόβλημα της ομοφωνίας έρχεται επίσης σε επαφή με αυτό το πρόβλημα.
Τα ομώνυμα είναι λέξεις που ακούγονται ίδιες, αλλά διαφέρουν ως προς το νόημά τους. Σε ορισμένες περιπτώσεις τα ομώνυμα προκύπτουν από την πολυσημία, η οποία έχει υποστεί μια διαδικασία καταστροφής. Όμως, τα ομώνυμα μπορούν επίσης να προκύψουν ως αποτέλεσμα τυχαίων ηχητικών συμπτώσεων. Το κλειδί με το οποίο ανοίγει η πόρτα και το κλειδί - μια άνοιξη ή μια πλεξούδα - ένα χτένισμα και μια πλεξούδα - ένα γεωργικό εργαλείο - αυτές οι λέξεις έχουν διαφορετικές σημασίες και διαφορετικές προελεύσεις, αλλά συνέπεσαν συμπτωματικά στον ήχο τους.
Τα ομώνυμα διακρίνουν μεταξύ λεξικού (ανατρέξτε σε ένα μέρος της ομιλίας, για παράδειγμα ένα κλειδί - για να ανοίξετε την κλειδαριά και ένα κλειδί - ένα ελατήριο), μορφολογικά (ανατρέξτε σε διαφορετικά μέρη της ομιλίας, για παράδειγμα, τρία - ένας αριθμός, τρία - ένα ρήμα σε επιτακτική διάθεση), λεξικο-γραμματικός, που δημιουργούνται ως αποτέλεσμα μετατροπής όταν μια δεδομένη λέξη περνά σε άλλο μέρος της ομιλίας. για παράδειγμα στα Αγγλικά. look-look και look-look. Υπάρχουν ιδιαίτερα πολλά λεξικά και γραμματικά ομώνυμα αγγλική γλώσσα.
Τα ομόφωνα και οι ομογραφίες πρέπει να διακρίνονται από τα ομώνυμα. Τα ομόφωνα είναι διαφορετικές λέξεις που, διαφέρουν ως προς την απόδοσή τους, συμπίπτουν στην προφορά, για παράδειγμα: τόξο - λιβάδι, σελίδα Seite και σελίδα - saite.
Οι ομογραφίες είναι τόσο διαφορετικές λέξεις που συμπίπτουν με την ορθογραφία, αν και προφέρονται διαφορετικά (τόσο όσον αφορά τη σύνθεση του ήχου όσο και τον τόπο του στρες στη λέξη), για παράδειγμα, το Castle είναι ένα κάστρο.

Συνωνυμία

Τα συνώνυμα έχουν παρόμοια σημασία, αλλά διαφορετικές λέξεις που εκφράζουν τις αποχρώσεις μιας έννοιας.
Υπάρχουν τρεις τύποι συνωνύμων:
1. Εννοιολογική, ή ιδεογραφική. Διαφέρουν μεταξύ τους με λεξική σημασία. Αυτή η διαφορά εκδηλώνεται σε διάφορους βαθμούς του χαρακτηριστικού χαρακτηριστικού (παγετός - κρύος, ισχυρός, ισχυρός, δυνατός), στη φύση της ονομασίας του (καπιτονέ σακάκι - καπιτονέ μπουφάν - καπιτονέ μπουφάν), τόσο στην εκφρασμένη έννοια (banner - σημαία, τόλμη - τολμηρή), στον βαθμό της λεξικής συνοχής τιμές (καφέ - καφέ, μαύρο - μαύρο).
2. Συνώνυμα στυλ ή λειτουργικά. Διαφέρουν μεταξύ τους στον τομέα χρήσης, για παράδειγμα, μάτια - μάτια, πρόσωπο - πρόσωπο, μέτωπο - φρύδι. Συνώνυμα συναισθηματικά - αξιολογικά. Αυτά τα συνώνυμα εκφράζουν ανοιχτά τη στάση του ομιλητή προς το καθορισμένο άτομο, αντικείμενο ή φαινόμενο. Για παράδειγμα, ένα παιδί μπορεί να ονομαστεί πανηγυρικά παιδί, ένα στοργικό μικρό αγόρι και ένα αγόρι, ένα περιφρονητικό αγόρι και ένα θηλάζον γάλα, και επίσης εμφατικά - ένα περιφρονητικό κουτάβι, ένα θηλασμό, ένα τρελό.
3. Αντώνυμα - συνδυασμοί λέξεων που είναι αντίθετοι στη λεξική τους έννοια, για παράδειγμα: πάνω - κάτω, λευκό - μαύρο, μιλά - να είστε σιωπηλοί, δυνατά - απαλά.

Αντωνυμία

Υπάρχουν τρεις τύποι ανωνύμων:
1. Αντώνυμα βαθμιαίων και συντονισμένων αντιθέτων, για παράδειγμα, λευκό - μαύρο, ήσυχο - δυνατό, κοντά - απόμακρο, καλό - κακό και ούτω καθεξής. Αυτά τα ανώνυμα έχουν κάτι κοινό στην έννοια τους, το οποίο επιτρέπει την αντίθεσή τους. Έτσι, οι έννοιες μαύρο και άσπρο σημαίνουν αντίθετες έννοιες χρωμάτων.
2. Αντώνυμα της συμπληρωματικής και μετατρεπτικής αντίθεσης: ο πόλεμος είναι ειρήνη, ο σύζυγος είναι σύζυγος, ο παντρεμένος είναι ανύπαντρος, μπορείτε - δεν μπορείτε, να κλείσετε - να ανοίξετε.
3. Αντώνυμα της διχοτόμου κατανομής των εννοιών. Είναι συχνά οι ίδιες ρίζες: δημοφιλείς - αντι-δημοφιλείς, νόμιμες - παράνομες, ανθρώπινες - απάνθρωπες.
Το ενδιαφέρον είναι κ.λπ. ενδοχλωρική αντωνυμία, όταν αντιτίθενται οι έννοιες των λέξεων που έχουν το ίδιο κέλυφος υλικού. Για παράδειγμα, στα ρωσικά, το ρήμα για να δανείσει χρήματα σε κάποιον σημαίνει "να δανείσει" και να δανειστεί χρήματα από κάποιον σημαίνει ήδη να δανειστεί από κάποιον. Η ενδοκοιλιακή αντίθεση των νοημάτων ονομάζεται εναντιολογία.

6. Αξιωματική κατασκευή ενός συστήματος φυσικών αριθμών. Μια αξιωματική μέθοδος για την κατασκευή μιας μαθηματικής θεωρίας. Απαιτήσεις για το σύστημα αξιωματικών: συνέπεια, ανεξαρτησία, πληρότητα. Η αξιωματική του Peano. Η έννοια ενός φυσικού αριθμού από αξιωματικές θέσεις. Μοντέλα του συστήματος αξιών Peano. Προσθήκη και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών από αξιωματικές θέσεις. Η σειρά του συνόλου των φυσικών αριθμών. Ιδιότητες του συνόλου των φυσικών αριθμών. Αφαίρεση και διαίρεση ενός συνόλου φυσικών αριθμών από αξιωματικές θέσεις. Μέθοδος μαθηματική επαγωγή... Εισαγωγή μηδέν και κατασκευή ενός συνόλου ακέραιων αριθμών μη αρνητικοί αριθμοί... Θεώρημα διαίρεσης με το υπόλοιπο.

Βασικές έννοιες και ορισμοί

Αριθμός - είναι μια έκφραση ενός συγκεκριμένου ποσού.

Φυσικός αριθμός ένα στοιχείο μιας απεριόριστης ακολουθίας.

Φυσικοί αριθμοί (φυσικοί αριθμοί) -αριθμοί που προκύπτουν φυσικά κατά τη μέτρηση (τόσο με την έννοια της απαρίθμησης όσο και με την έννοια του λογισμού).

Υπάρχουν δύο προσεγγίσεις για τον ορισμό των φυσικών αριθμών - αριθμοί που χρησιμοποιούνται όταν:

απαρίθμηση (αρίθμηση) αντικειμένων (πρώτο, δεύτερο, τρίτο, ...) ·

προσδιορισμός του αριθμού των αντικειμένων (χωρίς αντικείμενα, ένα αντικείμενο, δύο αντικείμενα, ...).

Αξίωμα - Αυτά είναι τα βασικά σημεία εκκίνησης (αυτονόητες αρχές) μιας θεωρίας, από την οποία, με αφαίρεση, δηλαδή, με καθαρά λογικά μέσα, εξάγεται το υπόλοιπο περιεχόμενο αυτής της θεωρίας.

Ένας αριθμός που έχει μόνο δύο διαιρέτες (αυτός ο αριθμός και ένας) ονομάζεται - ένας πρώτος αριθμός.

Σύνθετος αριθμός είναι ένας αριθμός που έχει περισσότερους από δύο διαιρέτες.

§2. Αξιωματική του φυσικού αριθμού

Οι φυσικοί αριθμοί λαμβάνονται μετρώντας αντικείμενα και μετρώντας ποσότητες. Αν όμως, κατά τη διάρκεια της μέτρησης, οι αριθμοί εμφανίζονται διαφορετικοί από τους φυσικούς αριθμούς, τότε η μέτρηση οδηγεί μόνο σε φυσικούς αριθμούς. Για να διατηρήσετε το σκορ, χρειάζεστε μια ακολουθία αριθμών που ξεκινά με έναν και που σας επιτρέπει να μετακινηθείτε από έναν αριθμό στον άλλο και όσες φορές χρειάζεται. Με άλλα λόγια, χρειάζεστε ένα φυσικό τμήμα γραμμής. Επομένως, επιλύοντας το πρόβλημα τεκμηρίωσης του συστήματος των φυσικών αριθμών, πρώτα απ 'όλα ήταν απαραίτητο να απαντήσουμε στο ερώτημα του τι είναι ένας αριθμός ως στοιχείο ενός φυσικού αριθμού. Η απάντηση σε αυτό δόθηκε στα έργα δύο μαθηματικών - Γερμανικά Grassmann και Ιταλικά Peano.Πρότειναν μια αξιωματική στην οποία Ο φυσικός αριθμός ήταν δικαιολογημένος ως στοιχείο μιας απεριόριστης συνεχιζόμενης ακολουθίας.

Η αξιωματική κατασκευή ενός συστήματος φυσικών αριθμών πραγματοποιείται σύμφωνα με τους διατυπωμένους κανόνες.

Πέντε αξιώματα μπορούν να θεωρηθούν ως αξιωματικός ορισμός βασικών εννοιών:

1 είναι ένας φυσικός αριθμός.

Ο επόμενος φυσικός αριθμός είναι ένας φυσικός αριθμός.

1 δεν ακολουθεί κανέναν φυσικό αριθμό.

Εάν ένας φυσικός αριθμός και ακολουθεί τον φυσικό αριθμό σι και πέρα \u200b\u200bαπό τον φυσικό αριθμό απόέπειτα σι και από είναι πανομοιότυπα?

Εάν αποδειχθεί οποιαδήποτε πρόταση για 1 και εάν από την υπόθεση ότι ισχύει για έναν φυσικό αριθμό ν, προκύπτει ότι ισχύει για τα ακόλουθα ν έναν φυσικό αριθμό, τότε αυτή η πρόταση ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς.

Μονάδα Είναι ο πρώτος αριθμός στη φυσική σειρά , και επίσης ένα από τα ψηφία στο σύστημα δεκαδικών συμβολισμών.

Πιστεύεται ότι ο χαρακτηρισμός μιας μονάδας οποιασδήποτε κατηγορίας με το ίδιο σημείο (μάλλον κοντά στη σύγχρονη) εμφανίστηκε για πρώτη φορά στην Αρχαία Βαβυλώνα περίπου 2 χιλιάδες χρόνια π.Χ. μι.

Οι αρχαίοι Έλληνες, που θεωρούσαν μόνο τους φυσικούς αριθμούς ως αριθμούς, θεωρούσαν καθένα από αυτά ως μια συλλογή μονάδων. Η ίδια η μονάδα έχει μια ξεχωριστή θέση: δεν θεωρήθηκε αριθμός.

Ο Ι. Νεύτωνας έγραψε: "... από τον αριθμό δεν εννοούμε τόσο μια συλλογή μονάδων όσο μια αφηρημένη αναλογία μιας ποσότητας προς μια άλλη ποσότητα, που συνήθως λαμβάνουμε από εμάς ως μονάδα." Έτσι, η μονάδα έχει ήδη λάβει τη σωστή θέση μεταξύ άλλων αριθμών.

Οι αριθμητικές πράξεις σε αριθμούς έχουν μια ποικιλία ιδιοτήτων. Μπορούν να περιγραφούν με λέξεις, για παράδειγμα: "Το άθροισμα δεν αλλάζει από την αλλαγή θέσεων των όρων." Μπορεί να γραφτεί με γράμματα: a + b \u003d b + a. Μπορεί να εκφραστεί με ειδικούς όρους.

Εφαρμόζουμε τους βασικούς νόμους της αριθμητικής συχνά εκτός συνήθειας χωρίς να το συνειδητοποιούμε:

1) νόμος εκτόπισης (μεταγωγικότητα), - η ιδιότητα της προσθήκης και του πολλαπλασιασμού των αριθμών, εκφρασμένη από τις ταυτότητες

a + b \u003d b + a a * b \u003d b * a;

2) συνδυαστικός νόμος (συσχετισμός), - η ιδιότητα της προσθήκης και του πολλαπλασιασμού των αριθμών, εκφραζόμενη από ταυτότητες:

(a + b) + c \u003d a + (b + c) (a * b) * c \u003d a * (b * c);

3) νόμος διανομής (διανομή), - μια ιδιότητα που συνδέει την προσθήκη και τον πολλαπλασιασμό των αριθμών και εκφράζεται με ταυτότητες:

a * (b + c) \u003d a * b + a * c (b + c) * a \u003d b * a + c * a.

Αφού αποδείξει τους νόμους περί μετατόπισης, συνδυασμού και διανομής (σε σχέση με την προσθήκη) της δράσης του πολλαπλασιασμού, η περαιτέρω κατασκευή της θεωρίας των αριθμητικών πράξεων σε φυσικούς αριθμούς δεν παρουσιάζει θεμελιώδεις δυσκολίες.

Προς το παρόν, στο μυαλό μας ή σε ένα κομμάτι χαρτί, κάνουμε μόνο τους απλούστερους υπολογισμούς, όλο και πιο συχνά αναθέτουμε πιο περίπλοκη υπολογιστική εργασία σε υπολογιστές και υπολογιστές. Ωστόσο, η λειτουργία όλων των υπολογιστών - απλή και πολύπλοκη - βασίζεται στην απλούστερη λειτουργία - την προσθήκη φυσικών αριθμών. Αποδεικνύεται ότι οι πιο περίπλοκοι υπολογισμοί μπορούν να μειωθούν σε προσθήκη, μόνο αυτή η λειτουργία πρέπει να γίνει πολλές εκατομμύρια φορές.

Αξιωματικές μέθοδοι στα μαθηματικά

Ένας από τους κύριους λόγους για την ανάπτυξη της μαθηματικής λογικής είναι η ευρεία χρήση του αξιωματική μέθοδος στην κατασκευή διαφόρων μαθηματικών θεωριών, πρώτα απ 'όλα, της γεωμετρίας και στη συνέχεια της αριθμητικής, της ομαδικής θεωρίας κ.λπ. Αξιωματική μέθοδος μπορεί να οριστεί ως μια θεωρία που βασίζεται σε ένα προεπιλεγμένο σύστημα απροσδιόριστων εννοιών και τη σχέση μεταξύ τους.

Στην αξιωματική κατασκευή μιας μαθηματικής θεωρίας, προεπιλέγεται ένα ορισμένο σύστημα απροσδιόριστων εννοιών και σχέσεων μεταξύ τους. Αυτές οι έννοιες και οι σχέσεις ονομάζονται βασικές. Περαιτέρω εισήχθη αξιώματα εκείνοι. τις κύριες διατάξεις της υπό εξέταση θεωρίας, που λαμβάνονται χωρίς απόδειξη. Όλο το περαιτέρω περιεχόμενο της θεωρίας συνάγεται λογικά από τα αξιώματα. Για πρώτη φορά, η αξιωματική κατασκευή μιας μαθηματικής θεωρίας πραγματοποιήθηκε από τον Euclid στην κατασκευή της γεωμετρίας.

Απαιτήσεις για το σύστημα των αξιωμάτων, τα αξιώματα του Peano. Στην αξιωματική κατασκευή οποιασδήποτε μαθηματικής θεωρίας, παρατηρούνται ορισμένοι κανόνες: 1) ορισμένες έννοιες της θεωρίας επιλέγονται ως βασικές και γίνονται δεκτές χωρίς ορισμό. 2) Κάθε έννοια της θεωρίας που δεν περιλαμβάνεται στον κατάλογο των βασικών έχει οριστεί. Εξηγεί το νόημά του με τη βοήθεια των βασικών και προηγούμενων εννοιών. 3) τα αξιώματα διατυπώνονται, δηλαδή, η πρόταση, η οποία στη θεωρία αυτή γίνεται αποδεκτή χωρίς απόδειξη. Τα αξιώματα αποκαλύπτουν τις ιδιότητες των βασικών εννοιών. 4) πρέπει να αποδεικνύεται κάθε πρόταση της θεωρίας που δεν περιλαμβάνεται στον κατάλογο των αξιώσεων. Τέτοιες προτάσεις ονομάζονται θεωρήματα. Αποδεικνύονται με βάση τα αξιώματα και τα θεωρήματα που προηγούνται αυτού.

ΠΡΟΣ ΤΟ. Η αξιωματική μέθοδος κατασκευής μιας μαθηματικής θεωρίας περνά από διάφορα στάδια: 1) την εισαγωγή βασικών απροσδιόριστων εννοιών (π.χ. σύνολο, στοιχείο ενός συνόλου σε θεωρία συνόλου). 2) εισαγωγή βασικών σχέσεων (π.χ. σχέση συμμετοχής στη θεωρία συνόλων). 3) υποδεικνύοντας τις βασικές έννοιες και τις βασικές σχέσεις, εισάγεται ο ορισμός άλλων εννοιών και σχέσεων (για παράδειγμα: στη θεωρία των συνόλων οι έννοιες της ενοποίησης, της τομής, της διαφοράς, της προσθήκης).

Με την αξιωματική κατασκευή της θεωρίας, όλες οι δηλώσεις προέρχονται από απόδειξη από τα αξιώματα. Η βάση μιας τέτοιας θεωρίας είναι ένα σύστημα αξιώσεων, και επιβάλλονται ειδικές απαιτήσεις στο σύστημα των αξιώσεων: 1) το σύστημα των αξιωμάτων πρέπει να είναι συνεπές. Ένα σύστημα αξιώσεων ονομάζεται συνεπές εάν δύο αμοιβαία αποκλειστικές προτάσεις δεν μπορούν να προέρχονται λογικά από αυτό. Με άλλα λόγια, δεν μπορείτε να συμπεράνετε τη δήλωση και την άρνηση μιας δεδομένης δήλωσης, έτσι ώστε και οι δύο να ισχύουν ταυτόχρονα. Για να είμαστε πεπεισμένοι για τη συνέπεια του συστήματος των αξιωμάτων, αρκεί να κατασκευάσουμε ένα μοντέλο αυτού του συστήματος. 2) το σύστημα των αξιωμάτων πρέπει να είναι ανεξάρτητο. Ένα σύστημα αξιωμάτων ονομάζεται ανεξάρτητο εάν κανένα από τα αξιώματα αυτού του συστήματος δεν είναι συνέπειες άλλων αξιώσεων. Με άλλα λόγια, κάθε αξίωμα αυτού του συστήματος δεν μπορεί να συναχθεί από τα υπόλοιπα αξιώματα. Για να αποδείξουμε την ανεξαρτησία του συστήματος αξιώσεων, αρκεί να κατασκευάσουμε ένα μοντέλο αυτού του συστήματος. 3) το σύστημα των αξιωμάτων πρέπει να είναι πλήρες, δηλαδή Ο αριθμός των αξιωμάτων που επιλέγονται σε μια δεδομένη θεωρία θα πρέπει να είναι επαρκής για την εισαγωγή νέων εννοιών, σχέσεων, θεώρημα που αποδεικνύουν, για την οικοδόμηση ολόκληρης της θεωρίας.

Στην αξιωματική κατασκευή της ίδιας θεωρίας, μπορούν να χρησιμοποιηθούν διαφορετικά συστήματα αξιωμάτων, αλλά πρέπει να είναι ισοδύναμα. Ως βασική ιδέα στην αξιωματική κατασκευή ενός συστήματος φυσικών αριθμών, λαμβάνεται η σχέση «να ακολουθήσουμε άμεσα». Οι έννοιες "σύνολο", "στοιχείο ενός συνόλου", ο κανόνας της λογικής θεωρούνται επίσης γνωστές. Το στοιχείο που ακολουθεί αμέσως το στοιχείο α δηλώνεται με α - διαδρομή.

Η ουσία της σχέσης "αμέσως ακολουθήστε" αποκαλύπτεται στα ακόλουθα αξιώματα: 1) στο σύνολο των φυσικών αριθμών υπάρχει ένα στοιχείο που δεν ακολουθεί αμέσως κανένα στοιχείο αυτού του συνόλου, αυτό το στοιχείο είναι 1 (ένα). 2) για κάθε στοιχείο a από το σύνολο των φυσικών αριθμών (N) υπάρχει ένα μοναδικό στοιχείο a; όχι μέτρια μετά από α. 3) για κάθε στοιχείο α από το Ν, υπάρχει το πολύ ένα στοιχείο που ακολουθείται αμέσως από ένα. 4) οποιοδήποτε υποσύνολο M του συνόλου N έχει τις ιδιότητες: 1 M, και από το γεγονός ότι το a περιέχεται στο M τι και a; περιέχεται στο M, συμπίπτει με το σετ Ν.

Τα αναφερόμενα συστήματα αξιώματος ονομάζονται αξιώματα του Peano. ΠΡΟΣ ΤΟ. το σύνολο των αριθμών για τους οποίους η σχέση καθιερώνεται άμεσα να ακολουθήσει, ικανοποιώντας τα αξιώματα Peano, ονομάζεται το σύνολο των φυσικών αριθμών και το στοιχείο του ονομάζεται ένας φυσικός αριθμός. Το τέταρτο αξίωμα περιγράφει το άπειρο της φυσικής σειράς αριθμών και ονομάζεται επαγωγικό αξίωμα. Στη βάση του, πραγματοποιείται η απόδειξη διαφόρων δηλώσεων με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής, η οποία συνίσταται στα ακόλουθα: για να αποδείξει ότι αυτή η δήλωση ισχύει για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό, είναι απαραίτητο: 1) να αποδειχθεί ότι αυτή η δήλωση ισχύει για ενότητα, 2) από την πρόταση ότι η δήλωση ισχύει για αυθαίρετο αριθμός k, αποδείξτε ότι ισχύει για τον επόμενο αριθμό k?.

Ο ορισμός του συνόλου Ν δεν λέει τίποτα για τη φύση αυτού του συνόλου, πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί να είναι οτιδήποτε. Επιλέγοντας ως σύνολο N οποιοδήποτε σύνολο στο οποίο η σχέση έχει οριστεί να ακολουθεί άμεσα και ικανοποιώντας τα αξιώματα Peano, αποκτούμε ένα μοντέλο αυτού του συστήματος αξιώσεων. Μπορεί να δημιουργηθεί αλληλογραφία ένας προς έναν μεταξύ όλων αυτών των μοντέλων. Αυτά τα μοντέλα θα διαφέρουν μόνο στη φύση των στοιχείων, του ονόματος και της ονομασίας. Π.χ .: 1, 2, 3, 4, 5… 0,00,000,0000,00000,… Ѕ, 1/3, ј, 1/5,

Στην αξιωματική κατασκευή οποιασδήποτε θεωρίας, τηρούνται ορισμένοι κανόνες:

ορισμένες έννοιες της θεωρίας επιλέγονται ως κύριος, και γίνονται αποδεκτά χωρίς ορισμό και ονομάζονται ακαθόριστα.

Τα αξιώματα διατυπώνονται - προτάσεις που γίνονται αποδεκτές σε αυτήν τη θεωρία χωρίς απόδειξη. αποκαλύπτουν τις ιδιότητες των βασικών εννοιών.

δίδεται κάθε έννοια της θεωρίας που δεν περιλαμβάνεται στον κατάλογο των βασικών ορισμός, εξηγεί τη σημασία του με τη βοήθεια βασικών και προηγούμενων εννοιών.

Κάθε πρόταση μιας θεωρίας που δεν περιλαμβάνεται στον κατάλογο των αξιωμάτων πρέπει να αποδειχθεί. Τέτοιες προτάσεις ονομάζονται θεωρήματα και τις αποδεικνύουν με βάση τα αξιώματα και τα θεωρήματα που προηγούνται αυτού που εξετάζεται.

Στην περίπτωση μιας αξιωματικής κατασκευής μιας θεωρίας, ουσιαστικά όλες οι δηλώσεις συνάγονται από απόδειξη από τα αξιώματα. Επομένως, επιβάλλονται ειδικές απαιτήσεις στο σύστημα αξιώσεων. Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να είναι συνεπές και ανεξάρτητο.

Το σύστημα των αξιωμάτων ονομάζεται σταθερός,αν είναι αδύνατο να συναγάγουμε λογικά δύο αμοιβαία αποκλειστικές προτάσεις.

Καλείται ένα συνεπές σύστημα αξιώσεων ανεξάρτητος,εάν κανένα από τα αξιώματα αυτού του συστήματος δεν είναι συνέπεια άλλων αξιώσεων αυτού του συστήματος.

Τα αξιώματα, κατά κανόνα, αντικατοπτρίζουν την αιώνια πρακτική δραστηριότητα των ανθρώπων, και αυτό καθορίζει τη δικαιοσύνη τους.

Ως βασική ιδέα στην αξιωματική κατασκευή της αριθμητικής των φυσικών αριθμών, πήραμε τη σχέση "ακολουθήστε αμέσως", που δίνεται σε ένα άδειο σύνολο Ν.Επίσης γνωστές είναι οι έννοιες ενός συνόλου, ένα στοιχείο ενός συνόλου και άλλες θεωρητικές έννοιες του συνόλου, καθώς και οι κανόνες της λογικής.

Το στοιχείο αμέσως μετά το στοιχείο και,σημαίνω και".Η ουσία της σχέσης «αμέσως ακολουθεί» αποκαλύπτεται στα ακόλουθα αξιώματα, που πρότεινε ο Ιταλός μαθηματικός G. Peano το 1891.

Αξίωμα 1.Το σετ Νυπάρχει ένα στοιχείο που δεν ακολουθεί αμέσως κανένα στοιχείο αυτού του συνόλου. Ονομάζεται μονάδα και συμβολίζεται με το σύμβολο 1.

Αξίωμα 2.Για κάθε αντικείμενο καιτου Νυπάρχει μόνο ένα στοιχείο και",αμέσως μετά και.

Αξίωμα 3.Για κάθε στοιχείο a από Νυπάρχει το πολύ ένα στοιχείο που ακολουθείται αμέσως από και.

Αξίωμα 4. (Αξίωμα επαγωγής).Οποιοδήποτε υποσύνολο Μπλήθη Νσυμπίπτει με το N εάν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: 1) 1 περιέχεται στο Μ;2) από το γεγονός ότι οποιοδήποτε στοιχείο καιπου περιέχονται σε Μ,ακολουθεί αυτό και"που περιέχονται σε Μ.

Τα διαμορφωμένα αξιώματα ονομάζονται συχνά αξιώματα Peano και το τέταρτο αξίωμα ονομάζεται επαγωγικό αξίωμα.

Ας γράψουμε αυτά τα αξιώματα σε συμβολική μορφή.

ΚΑΙ 1 )( 1  Ν) ( ένα Ν)και"  1;

ΚΑΙ 2 )( ένα Ν) ( β Ν)και"\u003d β

ΚΑΙ 3 ) ( και,σι,από Ν) c \u003d a "c \u003d b"  και\u003d β;

Α 4) Μ Ν 1  Μ (ένα Μ και"  Μ)  Μ \u003d Ν

Χρησιμοποιώντας τη σχέση "ακολουθήστε αμέσως" και τα αξιώματα 1-4 του Peano, μπορεί να δοθεί ο ακόλουθος ορισμός ενός φυσικού αριθμού.

Ορισμός 1. Το σετ Ν. Για τα στοιχεία του οποίου δημιουργείται η σχέση «αμέσως ακολουθεί», το οποίο ικανοποιεί τα αξιώματα 1-4, ονομάζεται το σύνολο φυσικών αριθμών και τα στοιχεία του φυσικοί αριθμοί.

___________________________________________________________________

Ορισμός 2 ... Εάν ένας φυσικός αριθμόςσι αμέσως ακολουθεί τον αριθμό α, τότε ο αριθμός α καλείται αμέσως πριν (προηγουμένως) του αριθμούσι.

______________________________________________________________________________________________

Θεώρημα 1... Η μονάδα δεν έχει προηγούμενο φυσικό αριθμό (η αλήθεια του θεωρήματος ακολουθεί αμέσως από το αξίωμα ΚΑΙ 1 ).

Θεώρημα 2. Κάθε φυσικός αριθμός και,άλλο από ένα έχει έναν προηγούμενο αριθμό β , έτσι ώστε β " = και.

Ο ορισμός ενός φυσικού αριθμού δεν λέει τίποτα για τη φύση των στοιχείων του συνόλου Ν.Ως εκ τούτου, μπορεί να είναι οτιδήποτε. Το τυπικό μοντέλο του συστήματος αξιών Peano είναι μια σειρά αριθμών που προέκυψαν κατά τη διαδικασία της ιστορικής ανάπτυξης της κοινωνίας:

1, 2, 3, 4, 5 ,..,

Κάθε αριθμός αυτής της σειράς έχει τη δική του ονομασία και όνομα, το οποίο θα θεωρείται γνωστό.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον ορισμό ενός φυσικού αριθμού, κανένα από τα αξιώματα δεν μπορεί να παραλειφθεί.

1 ένα σι ντο ρε

    …

σι

Ρύζι. 16 Φιγούρα: 17

Στόχος 1.

Στα σχήματα, κάθε στοιχείο συνδέεται με ένα βέλος στο στοιχείο που το ακολουθεί.

Προσδιορίστε ποια από τις σειρές που φαίνονται στα Σχήματα 15 και 16 είναι μοντέλα του συστήματος αξιώματος Peano.

1. Στο σχ. Το Σχήμα 16 δείχνει ένα σύνολο στο οποίο ικανοποιούνται τα Αξιώματα 2 και 3, αλλά το Αξίωμα 1 δεν είναι ικανοποιημένο.

Το Axiom 4 δεν θα έχει νόημα, αφού δεν υπάρχει κανένα στοιχείο στο σετ που να μην ακολουθεί αμέσως κανένα άλλο.

2. Στο σχ. 17 δείχνει ένα σύνολο στο οποίο ικανοποιούνται τα αξιώματα 1, 2, 3, αλλά το αξίωμα 4 δεν ικανοποιείται - το σύνολο των σημείων που βρίσκονται στην ακτίνα περιέχει 1 και μαζί με κάθε αριθμό περιέχει τον αμέσως επόμενο αριθμό, αλλά δεν συμπίπτει με ολόκληρο το σετ σημεία που φαίνονται στο σχήμα. Συμπέρασμα: κανένα από τα σύνολα που φαίνεται στο Σχ. 16 και 17, δεν μπορούν να θεωρηθούν μοντέλα του συστήματος αξόνων Peano.

Στόχος 2.

Ας αποδείξουμε ότι κάθε φυσικός αριθμός είναι διαφορετικός από τον φυσικό αριθμό που τον ακολουθεί αμέσως, δηλαδή ( Χ ) Χ Χ "

Απόδειξη

Χρησιμοποιούμε το επαγωγικό αξίωμα - ΚΑΙ 4 .

Ας είναι Μ \u003d(x / x , Χ Χ "}, επειδή ... Χ  Μ Ν.

Η απόδειξη είναι σε δύο μέρη.

Ας το αποδείξουμε αυτό 1  Μ,εκείνοι. 1  1" ... Αυτό προκύπτει από ΚΑΙ 1 .

Ας το αποδείξουμε αυτό Χ Μ=> Χ " Μ. Ας είναι  Χ Μ εκείνοι. Χ Χ ". Ας το αποδείξουμε αυτό Χ " Μ , δηλ. Χ "  (Χ ")". ΚΑΙαξιώματα ΚΑΙ 3 πρέπει Χ " (Χ ")". Πράγματι, σύμφωνα με ΚΑΙ 3 , αν x "\u003d (x") "τότε x \u003d x", και από τότε με επαγωγή, x  Μ,τότε x  Χ ", επομένως, φτάνουμε σε μια αντίφαση. Ως εκ τούτου, Χ " (Χ ")" ,  Χ " Μ.

Εδώ εφαρμόζεται ο κανόνας της αντίθεσης (PC), ο οποίος χρησιμοποιείται ευρέως σε αποδεικτικά στοιχεία «από αντιφάσεις».

Έτσι έχουμε:

Μ Ν (1  Μ (x M \u003d\u003e x " Μ))  Μ \u003d Ν, δηλαδή δήλωση x  Το x "ισχύει για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό.

Ελέγξτε τις ερωτήσεις

Ποια είναι η ουσία της αξιωματικής κατασκευής της θεωρίας;

Ποιες είναι οι βασικές έννοιες του μαθήματος σχολικής πλανημετρίας; Θυμηθείτε το σύστημα των αξιωμάτων αυτού του μαθήματος. Οι ιδιότητες των εννοιών που περιγράφονται σε αυτές;

Διατυπώστε και συμβολίστε τα αξιώματα του Peano. "

Διατυπώστε τον αξιωματικό ορισμό ενός φυσικού αριθμού.

Συνεχίστε τον ορισμό ενός φυσικού αριθμού: "Ένας φυσικός αριθμός είναι ένα στοιχείο του συνόλου Ν,... » .

Δώστε παραδείγματα από σχολικά βιβλία μαθηματικών που:

α) ο νέος αριθμός (για μαθητές) λειτουργεί ως συνέχεια του λαμβανόμενου τμήματος της φυσικής σειράς ·

β) διαπιστώνεται ότι κάθε φυσικός αριθμός ακολουθείται αμέσως από έναν μόνο φυσικό αριθμό.

Γυμνάσια

285. Τα στοιχεία του σετ είναι ομάδες παύλων (I, II, III, IIII, ...). Αυτό το σετ ικανοποιεί τα αξιώματα του Peano; Όπως ορίζεται εδώ, η σχέση "αμέσως ακολουθήστε". Εξετάστε αυτές τις ίδιες ερωτήσεις για το σετ (0, 00, 000, 0000, ...).

Φιγούρα: 17

286. Στο σχήμα 17 α) κάθε στοιχείο συνδέεται με ένα βέλος στο επόμενο στοιχείο. Μπορεί ένα σετ να θεωρηθεί μοντέλο του συστήματος αξόνων του Peano; Οι ίδιες ερωτήσεις για τα σύνολα στα σχήματα 17 β), γ), δ).

287. Το σύνολο των αριθμών (1, 2, 3) Π, ...),εάν η σχέση ακολουθίας ορίζεται σε αυτήν ως εξής:

1 3  5 7….

2  4  6 8….

288. Δώστε παραδείγματα εργασιών από βιβλία μαθηματικών για πρωτοβάθμιες τάξεις, στα οποία η ορθότητα των εργασιών εξηγείται από τα αξιώματα του Peano.

Συμφωνία για τη χρήση υλικών ιστότοπου

Χρησιμοποιήστε τα έργα που δημοσιεύονται στον ιστότοπο αποκλειστικά για προσωπικούς σκοπούς. Απαγορεύεται η δημοσίευση υλικού σε άλλους ιστότοπους.
Αυτή η εργασία (και όλα τα άλλα) διατίθεται δωρεάν για λήψη. Μπορείτε να ευχαριστήσετε διανοητικά τη συγγραφέα της και την ομάδα του ιστότοπου.

Η αποστολή της καλής δουλειάς σας στη βάση γνώσεων είναι απλή. Χρησιμοποιήστε την παρακάτω φόρμα

Οι μαθητές, οι μεταπτυχιακοί φοιτητές, οι νέοι επιστήμονες που χρησιμοποιούν τη βάση γνώσεων στις σπουδές και την εργασία τους θα σας ευχαριστήσουν πολύ.

Παρόμοια έγγραφα

Προσθήκη και πολλαπλασιασμός ακέραιων p-adic, που ορίζονται ως όρος προσθήκη και πολλαπλασιασμός ακολουθιών. Δαχτυλίδι ακέραιων p-adic, διερεύνηση των ιδιοτήτων της διαίρεσής τους. Εξηγώντας αυτούς τους αριθμούς εισάγοντας νέα μαθηματικά αντικείμενα.

προστέθηκε έγγραφο όρων 06/22/2015


Πώς οι άνθρωποι έμαθαν να μετράνε, η εμφάνιση αριθμών, αριθμών και συστημάτων αριθμών. Πίνακας πολλαπλασιασμού στα "δάχτυλα": τεχνική πολλαπλασιασμού για τους αριθμούς 9 και 8. Παραδείγματα γρήγορης μέτρησης. Τρόποι πολλαπλασιασμού ενός διψήφιου αριθμού με 11, 111, 1111 κ.λπ. και έναν τριψήφιο αριθμό στο 999.

προστέθηκε έγγραφο 22/11/2011


Ένας νέος τρόπος πολλαπλασιασμού αριθμών. Η ομοιότητα που σχηματίζεται κατά τον υπολογισμό μιας μήτρας αριθμών, με ένα τρίγωνο είναι σχετική, αλλά εξακολουθεί να υπάρχει, ειδικά όταν πολλαπλασιάζεται τριψήφιος αριθμός και άνω. Τριγωνική μήτρα.

προστέθηκε άρθρο στις 02/06/2005


περίληψη, προστέθηκε 01/13/2011


Χαρακτηρισμός της ιστορίας της μελέτης του νοήματος πρώτοι αριθμοί στα μαθηματικά περιγράφοντας πώς να τα βρείτε. Συμβολή του Pietro Cataldi στην ανάπτυξη της θεωρίας του πρώτου αριθμού. Ο τρόπος της Ερατοσθένης για την κατάρτιση πινάκων πρωταρχικών αριθμών. Η φιλικότητα των φυσικών αριθμών.

δοκιμή, προστέθηκε 12/24/2010


Πολλά μη αρνητικά πραγματικοί αριθμοί ως ερμηνευμένο υποσύνολο του R. Divisibility σε πολλαπλασιαστικές ημι-ομάδες. Η δομή των αριθμητικών ομάδων gcd και LCM. Μελέτη πολλαπλασιαστικών ημι-ομάδων μη αρνητικών πραγματικών αριθμών με 0 και 1.

διατριβή, προστέθηκε 05/27/2008


Ιδιότητες πραγματικών αριθμών, ο ρόλος τους στην ανάπτυξη των μαθηματικών. Ανάλυση της κατασκευής του συνόλου των πραγματικών αριθμών στην ιστορική άποψη. Προσεγγίσεις στην κατασκευή της θεωρίας των πραγματικών αριθμών σύμφωνα με τους Cantor, Weierstrass, Dedekind. Μελετώντας τους στο σχολικό μάθημα.

η παρουσίαση προστέθηκε στις 10/09/2011


Τα αρχικά στοιχεία των μαθηματικών. Ιδιότητες φυσικών αριθμών. Έννοια θεωρίας αριθμών. Γενικές ιδιότητες συγκρίσεων και αλγεβρικές εξισώσεις... Αριθμητικές πράξεις με συγκρίσεις. Βασικοί νόμοι αριθμητικής. Έλεγχος των αποτελεσμάτων των αριθμητικών πράξεων.

προστέθηκε έγγραφο όρων στις 15/5/2015